Конспект по математике "Математическое ожидание и дисперсия случайной величины"

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины. Понятие о законе больших чисел.

Д/з § 24.4 п. 3-6, № 24.49

 Пример:

Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Найти величину a, математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp_i = 1
Σp_i = a + 0,32 + 2a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3a = 1
0.76 + 3a = 1 или 0.24=3a, откуда a = 0.08

Математическое ожидание и дисперсия - чаще всего применяемые числовые характеристики случайной величины. Они характеризуют самые важные черты распределения: его положение и степень разбросанности. Математическое ожидание часто называют просто средним значением случайной величины. Дисперсия случайной величины - характеристика рассеивания, разбросанности случайной величины около её математического ожидания.

Во многих задачах практики полная, исчерпывающая характеристика случайной величины - закон распределения - или не может быть получена, или вообще не нужна. В этих случаях ограничиваются приблизительным описанием случайной величины с помощью числовых характеристик.

Математическое ожидание дискретной случайной величины Х называется число, равное сумме произведений значений x_k, которые принимает Х, на соответствующие вероятности p_k:

Математическое ожидание случайной величины Х обозначается МХ

M(X)=∑ x_k⋅p_k.

Пример 1. Вычислить математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной рядом:

X_k   −1     2     5    10     20

P_k    0.1    0.2   0.3  0.3  0.1

Используем формулу для м.о. дискретной случайной величины:

M(X)=∑x_k⋅p_k.

Получаем:

M(X)=∑x_k⋅p_k=−1⋅0.1+2⋅0.2+5⋅0.3+10⋅0.3+20⋅0.1=6.8.

 Или МХ=np

Стр. 399 пример 3

Пример 1. Организована беспроигрышная лотерея. Имеется 1000 выигрышей, из них 400 по 10 руб. 300 - по 20 руб. 200 - по 100 руб. и 100 - по 200 руб. Каков средний размер выигрыша для купившего один билет?

Решение. Средний выигрыш мы найдём, если общую сумму выигрышей, которая равна 10*400 + 20*300 + 100*200 + 200*100 = 50000 руб, разделим на 1000 (общая сумма выигрышей). Тогда получим 50000/1000 = 50 руб. Но выражение для подсчёта среднего выигрыша можно представить и в следующем виде:

С другой стороны, в данных условиях размер выигрыша является случайной величиной, которая может принимать значения 10, 20, 100 и 200 руб. с вероятностями, равными соответственно 0,4; 0,3; 0,2; 0,1. Следовательно, ожидаемый средний выигрыш равен сумме произведений размеров выигрышей на вероятности их получения.

Пример 2. Издатель решил издать новую книгу. Продавать книгу он собирается за 280 руб., из которых 200 получит он сам, 50 - книжный магазин и 30 - автор. В таблице дана информация о затратах на издание книги и вероятности продажи определённого числа экземпляров книги.

Число проданных экземпляров	Вероятность	Затраты
500	0,20	225000
1000	0,40	250000
2000	0,25	300000
3000	0,10	350000
4000	0,05	400000

Найти ожидаемую прибыль издателя.

Решение. Случайная величина "прибыль" равна разности доходов от продажи и стоимости затрат. Например, если будет продано 500 экземпляров книги, то доходы от продажи равны 200*500=100000, а затраты на издание 225000 руб. Таким образом, издателю грозит убыток размером в 125000 руб. В следующей таблице обобщены ожидаемые значения случайной величины - прибыли:

Число	Прибыль xi	Вероятность pi	xipi
500	-125000	0,20	-25000
1000	-50000	0,40	-20000
2000	100000	0,25	25000
3000	250000	0,10	25000
4000	400000	0,05	20000
Всего:		1,00	25000

Таким образом, получаем математическое ожидание прибыли издателя:

.

Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

Дисперсия случайной величины Х обозначается DХ и принимает значение:

DX=M(X−M(X))²,

которую также часто записывают в более удобном для расчетов виде:

DX=M(X²) − (M(X))².

Эта универсальная формула для дисперсии может быть расписана более подробно для двух случаев.
Если мы имеем дело с дискретной случайной величиной (которая задана перечнем значений x_k и соответствующих вероятностей p_k), то формула принимает вид:

DX=∑(x_k-МХ)² p_k.

Или DX=npq

Рассмотрим еще раз пример:

дискретной случайной величины Х, заданной рядом:

X_k   −1     2     5    10     20

P_k    0.1    0.2   0.3  0.3  0.1

используем формулу для дисперсии дискретной случайной величины:

D(X)=M(X²)−(M(X))².

В случае, когда значений много, удобно разбить вычисления по шагам. Мы уже находили  математическое ожидание:

M(X)=∑x_k⋅p_k=−1⋅0.1+2⋅0.2+5⋅0.3+10⋅0.3+20⋅0.1=6.8.

Потом математическое ожидание квадрата случайной величины:

M(X²)=∑x²_k⋅p_k=(−1)²⋅0.1+2²⋅0.2+5²⋅0.3+10²⋅0.3+20²⋅0.1=78.4.

А потом подставим все в формулу для дисперсии:

D(X)=M(X²)−(M(X))²=78.4−6.8²=32.16.

Дисперсия равна 32.16 квадратных единиц.

Пример.

xi	1	3	4	7	9
pi	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x_kp_k.
Математическое ожидание MX.
Mx = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x²_kp_k - M[x]².
Дисперсия DX.
DX = 1²*0.1 + 3²*0.2 + 4²*0.1 + 7²*0.3 + 9²*0.3 - 5.9² = 7.69

Пример: Определить математическое ожидание случайной величины x числа попаданий при трёх выстрелах, если вероятность попадания при каждом выстреле p = 0,4.

Решение. Случайная величина x может принять значения

.

Составим таблицу распределения этой случайной величины. Вероятность этих значений находим по формуле Бернулли ():

Таблица распределения случайной величины будет

x	0	1	2	3
P(x=xk)	0,216	0,432	0,228	0,064

Теперь у нас есть всё, чтобы найти математическое ожидание случайной величины: