Инфоурок Математика КонспектыКонспект по математике на тему "Частные случаи квадратных уравнений"

Конспект по математике на тему "Частные случаи квадратных уравнений"

Скачать материал

ЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.

 

Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

 Уравнение вида 𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0 ,

 где x -переменная, a, b, c - некоторые числа,

 𝑎≠0 , называется квадратным уравнением.

 Примеры: 5𝑥2 −14𝑥+17=0;  3𝑥2+5𝑥=0; 3𝑥2−5𝑥=0.

Из школьного курса нам известны формулы:

𝐼.

𝐼𝐼.

И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

 𝑥2+𝑝𝑥+𝑞=0,

Если числа m и n таковы,

 что m+n=-p,

 а mn=q,  то: 𝑥1=𝑚, 𝑥2=𝑛.

Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

Мы заметили, что

1) Еслиа+в+с=0, то 𝒙1=𝟏; 𝒙2= 

Доказательство:

Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

В уравнение ах2+вх+с=0 подставим

в = -(а + с), получим

а 𝑥 2-(а+с)𝑥 +с=0,преобразуем:

 (а 𝑥 2 𝑥) - (с 𝑥 -с)=0 ,

а𝑥 (𝑥 -1)-с(𝑥 -1)=0,

(𝑥 -1)(а𝑥 -с)=0,

𝑥 -1=0 или а 𝑥 -с=0,

откуда 𝑥 =1 или 𝑥 =

2) Если а + с = в, то 𝒙𝟏 = −𝟏; 𝒙𝟐 = −

Доказательство.

В уравнение аx2𝑥 +с=0 подставим

в = а + с, получим

а 𝑥 2+(а + с) 𝑥 +с=0 , преобразуем:

𝑥 2𝑥) + (с𝑥 +с)=0 ,

а𝑥 (𝑥 +1)+с(𝑥 +1)=0,

(𝑥+1)(а𝑥 +с)=0,

𝑥 +1=0 или а 𝑥 +с=0,

откуда 𝑥 =-1 или 𝑥 =-

Назвали это:

Приѐмом «Коэффициентов»:

Например:

319𝑥2 + 1988𝑥 + 1669 = 0,   𝑥1 = −1;  𝑥2 =;

319𝑥2 − 4𝑥 − 315 = 0,   𝑥1 = 1;  𝑥2 = −.

Уравнение вида

𝒂𝒙2 + (𝒂2 + 𝟏) 𝒙 + 𝒂 = 𝟎

имеет корни : 𝒙𝟏 = −𝒂 𝒙𝟐 =

Доказательство:

По формуле I найдем:

 

𝑥 1= -a𝑥 2=     

Например:

Уравнение вида

𝒂𝒙2 -(𝒂2+1) 𝒙 + 𝒂  = 𝟎, имеет корни: 𝒙𝟏𝒂𝒙𝟐 =  

Доказательство:

По формуле I найдем:  ;𝑥1 = a𝑥 2= 

   Например:

Уравнение вида

ах2 +( а2 – 1 )х – а = 0

Доказательство:

По формуле  I найдём :

 

𝑥 1= -а;   𝑥 2=

 

Например:  

Уравнение вида

𝒂𝒙2 – (𝒂2𝟏) 𝒙𝒂 = 𝟎, имеет корни𝒙𝟏 = 𝒂𝒙𝟐 = −.

Доказательство:

По формуле I найдем:

 ; 𝑥 1= а; 𝑥 2=

Например:

Но это еще не  все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.

Пусть в уравнении ах2+вх+с=0

свободный член  c = m·n.

Тогда его можно записать  в виде:

ах2+вх+mn = 0 (1)

Сравним корни  уравнения  (1)    с  корнями  уравнения  аmх2+вх+n=0 (2)

Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть 
D=b2-4mn= b2-4ac.

Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

 , а  уравнения (2)  по формуле:

.

 Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения  (1)  на переброшенный множитель.

 

Например,  уравнение  имеет корни  х1=1х2=12 ,так как а+в+с=0,   значит,  уравнение  имеет корни: х1=; х2= 2

Уравнение   имеет корни  х1=; х2=4

Используя  рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например,  возьмем уравнение: , корни которого мы уже

нашли:  1 и 12.   

 Свободный  член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6  и 12. Отсюда уравнения:

x2-13x +12=0,  𝑥 1=12;  𝑥 2=1,

12х2-13х+1=0,  𝑥 1=1/12;  𝑥 2=1,

2x2-13x+6=0,  x1=1/2;  𝑥 2=6,

6x2 -13x +2 =0,  𝑥 1=1/6; 𝑥 2=2,

3x2-13x+4=0,  𝑥 1=1/3;  𝑥 2=4,

4x2 -13x +3=0,  𝑥 1=1/4;  𝑥 2=3,

 

                                    переброска

Решим  уравнение: 4x2-21x+5 =0 (1)

Получим уравнение:х2-21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

Разделим найденные корни на старший коэффициент число  4, получим     корни  исходного уравнения  (1) : 𝑥 1=1/4; 𝑥 2=5.

Проверь себя!

Вывод:

 данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.

 

                                       

 

 

 

   Приложение.

 

1) Если а+в+с=0, то 𝒙𝟏 = 𝟏; 𝒙𝟐 =  

2) Если а + с = в, то 𝒙𝟏 = −𝟏; 𝒙𝟐 = −

 

3)Уравнение вида

𝒂𝒙2 + (𝒂2 + 𝟏)2 𝒙 + 𝒂 = 𝟎

имеет корни: 𝒙𝟏 = −𝒂𝒙𝟐 =

4)Уравнение вида

𝒂𝒙2 -( 𝒂2+1)x  + 𝒂  = 𝟎

 имеет корни: 𝒙𝟏 = 𝒂; 𝒙𝟐 =  

5)Уравнение вида

𝒂𝒙2 – (𝒂2𝟏) 𝒙𝒂 = 𝟎

 имеет корни: 𝒙𝟏 = 𝒂; 𝒙𝟐 = −.

6)Уравнение вида

𝒂𝒙𝟐 +( 𝒂𝟐𝟏) 𝒙𝒂 = 0

имеет корни: 𝒙𝟏 = −𝒂; 𝒙𝟐 =

 

 

 

 

 

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал "Конспект по математике на тему "Частные случаи квадратных уравнений""

Методические разработки к Вашему уроку:

Получите новую специальность за 3 месяца

Специалист контроля качества

Получите профессию

Бухгалтер

за 6 месяцев

Пройти курс

Рабочие листы
к вашим урокам

Скачать

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 626 445 материалов в базе

Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 09.09.2015 2360
    • DOCX 124.3 кбайт
    • 28 скачиваний
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Романова Татьяна Павловна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Романова Татьяна Павловна
    Романова Татьяна Павловна
    • На сайте: 10 лет и 4 месяца
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 13157
    • Всего материалов: 10

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой

Курс профессиональной переподготовки

Фитнес-тренер

Фитнес-тренер

500/1000 ч.

Подать заявку О курсе

Курс повышения квалификации

Методические и практические аспекты развития пространственного мышления школьников на уроках математики

36 ч. — 144 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 47 человек из 27 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Педагогическая деятельность по проектированию и реализации образовательного процесса в общеобразовательных организациях (предмет "Математика и информатика")

Учитель математики и информатики

300 ч. — 1200 ч.

от 7900 руб. от 3950 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 35 человек из 16 регионов

Курс повышения квалификации

Аспекты преподавания самостоятельного учебного курса «Вероятность и статистика» в условиях реализации ФГОС ООО

36 ч. — 180 ч.

от 1700 руб. от 850 руб.
Подать заявку О курсе
  • Сейчас обучается 276 человек из 64 регионов

Мини-курс

Стратегии и инструменты для эффективного продвижения бизнеса в интернете

10 ч.

1180 руб. 590 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Психологическая помощь и развитие детей: современные вызовы и решения

6 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе

Мини-курс

Культурное наследие России: язык и фольклор

4 ч.

780 руб. 390 руб.
Подать заявку О курсе