Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект по математике на тему "Частные случаи квадратных уравнений"

Конспект по математике на тему "Частные случаи квадратных уравнений"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

hello_html_2e769837.gifЧАСТНЫЕ СЛУЧАИ КВАДРАТНЫХ УРАВНЕНИЙ.


Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное

здание алгебры. Квадратные уравнения находят широкое применение при решении тригонометрических, показательных, логарифмических, иррациональных и трансцендентных уравнений и неравенств.

В школьном курсе математики изучают формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения. Разберѐм некоторые из них.

Уравнение вида 2++=0 ,

где x -переменная, a, b, c - некоторые числа,

0 , называется квадратным уравнением.

Примеры: 52 −14+17=0; 32+5=0; 32−5hello_html_m4a49e1df.gif=0.

Из школьного курса нам известны формулы:

. hello_html_66668794.gif

. hello_html_m26f9fc91.gif

И теорема обратная теореме Виета, которая позволяет устно подбирать корни приведенного квадратного уравнения:

2++=0,

Если числа m и n таковы,

что m+n=-p,

а mn=q, то: 1=, 2=.

Часто можно обойтись без них. Рассмотрим некоторые приемы устного решения квадратных уравнений.

Мы заметили, что

1) Еслиа+в+с=0, то 1=; 2=hello_html_m46404a2b.gif

Доказательство:

Так как а+в+с=0 , то в = -(а + с) .

В уравнение ах2+вх+с=0 подставим

в = -(а + с), получим

а 2-(а+с) +с=0,преобразуем:

2 ) - (с -с)=0 ,

а ( -1)-с( -1)=0,

( -1)(а -с)=0,

-1=0 или а -с=0,

откуда =1 или = hello_html_m46404a2b.gif

2) Если а + с = в, то = −; = − hello_html_m46404a2b.gif

Доказательство.

В уравнение аx2 +с=0 подставим

в = а + с, получим

а 2+(а + с) +с=0 , преобразуем:

2) + (с +с)=0 ,

а ( +1)+с( +1)=0,

(+1)(а +с)=0,

+1=0 или а +с=0,

откуда =-1 или =-hello_html_m46404a2b.gif

Назвали это:

Приѐмом «Коэффициентов»:

Например: hello_html_mef523a4.gif

3192 + 1988 + 1669 = 0, 1 = −1; 2 =hello_html_m3d3b2703.gif;

3192 − 4 − 315 = 0, 1 = 1; 2 = −hello_html_44fcfa7d.gif.

Уравнение вида

2 + (2 + ) + =

имеет корни : = − ; = hello_html_566824bf.gif

Доказательство:

По формуле I найдем: hello_html_m5774c97f.gif

hello_html_274f5404.gif; hello_html_360f2ba6.gif

1= -a; 2= hello_html_566824bf.gif

Например: hello_html_m785913bb.gif

Уравнение вида

2 -(2+1) + = , имеет корни: = ; = hello_html_m5e5e9d.gif

Доказательство:

По формуле I найдем: hello_html_m5774c97f.gif hello_html_2e9693ea.gif;hello_html_m66bc3d6d.gif; 1 = a; 2=hello_html_66414753.gif

Например: hello_html_2f9c8864.gif

Уравнение вида

ах2 +( а2 – 1 )х – а = 0

Доказательство:

По формуле I найдём :

hello_html_5b52c3a0.gifhello_html_m4c16c2d4.gif

hello_html_m6aef4482.gif; 1= -а; 2=hello_html_66414753.gif


Например: hello_html_240848ef.gif

Уравнение вида

2 – (2) = , имеет корни: = ; = −hello_html_66414753.gif.

hello_html_m7df1a24c.gifДоказательство:

По формуле I найдем: hello_html_m664023d8.gif

hello_html_77e2d2e1.gif; hello_html_m2a3064e2.gif ; 1= а; 2=hello_html_566824bf.gif

Например: hello_html_m17913347.gif

hello_html_m33da657c.gifhello_html_med38499.gifНо это еще не все открытия , связанные с коэффициентами квадратного уравнения.

Пусть в уравнении ах2+вх+с=0

свободный член c = m·n.

Тогда его можно записать в виде:

hello_html_77546d06.gifах2+вх+mn = 0 (1)

Сравним корни уравнения (1) с корнями уравнения аmх2+вх+n=0 (2)

Замечаем, что при переброске одного из множителей свободного члена к старшему коэффициенту дискриминант не изменяется,
то есть
D=b2-4mn= b2-4ac.

Корни уравнения (1) вычисляются по формуле:

hello_html_m4084f3a8.gif, а уравнения (2) по формуле:

hello_html_314cfb79.gif.

Делаем вывод, что корни уравнения (2) получаются делением корней уравнения (1) на переброшенный множитель.


Например, уравнение hello_html_6ede1c2b.gif имеет корни х1=1 , х2=12 ,так как а+в+с=0, значит, уравнение hello_html_m3241c8a9.gif имеет корни: х1=hello_html_1a84bf8d.gif; х2= 2

Уравнение hello_html_m3241c8a9.gif имеет корни х1=hello_html_m4a49e1df.gif; х2=4

Используя рассмотренные приемы, можно придумывать уравнения с рациональными корнями.

Например, возьмем уравнение: hello_html_6ede1c2b.gif, корни которого мы уже

нашли: 1 и 12.

Свободный член 12 делится на 1, 2, 3, 4, 6 и 12. Отсюда уравнения:

x2-13x +12=0, 1=12; 2=1,

12х2-13х+1=0, 1=1/12; 2=1,

2x2-13x+6=0, x1=1/2; 2=6,

6x2 -13x +2 =0, 1=1/6; 2=2,

3x2-13x+4=0, 1=1/3; 2=4,

4x2 -13x +3=0, 1=1/4; 2=3,

переброска

Решим уравнение: 4x2-21x+5 =0 (1)

Получим уравнение:х2-21х+20=0, корнями которого будут числа 1 и 20.

Разделим найденные корни на старший коэффициент число 4, получим корни исходного уравнения (1) : 1=1/4; 2=5.

Проверь себя!

hello_html_3969f331.gif

hello_html_m5d6d86d5.gif

hello_html_m7c73cf03.gif

hello_html_m1a07eb38.gif

hello_html_m531897ca.gif

hello_html_m41f289a4.gif

hello_html_m117fca7b.gif

hello_html_mfdbe06.gif

Вывод:

данные приемы заслуживают внимания, поскольку они не отражены в школьных учебниках;

овладение данными приемами поможет учащимся экономить время и эффективно решать уравнения;

потребность в быстром решении обусловлена применением тестовой системы вступительных экзаменов.





Приложение.


1) Если а+в+с=0, то = ; = hello_html_m614e3202.gif

2) Если а + с = в, то = −; = −hello_html_m614e3202.gif


3)Уравнение вида

2 + (2 + )2 + =

имеет корни: = −; = hello_html_566824bf.gif

4)Уравнение вида

2 -( 2+1)x + =

имеет корни: = ; = hello_html_m5e5e9d.gif

5)Уравнение вида

2 – (2) =

имеет корни: = ; = −hello_html_66414753.gif.

6)Уравнение вида

+( ) = 0

имеет корни: = −; = hello_html_m5e5e9d.gif







Выберите курс повышения квалификации со скидкой 50%:

Автор
Дата добавления 09.09.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров318
Номер материала ДA-034640
Получить свидетельство о публикации

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх