Конспект по математике на тему "Метод математической индукции"

ТЕМА: Метод математической индукции

Умозаключение – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких суждений на основании правил выводится новое суждение. В состав умозаключения входят посылки, вывод и заключение.

Посылки – это исходные суждения.

Заключение есть новое суждение, полученное из посылки логическим путем.

Вывод – логический переход от посылки к умозаключению.

По направлениям логического следования умозаключения делятся на: дедуктивные – от общих суждений к частным, индуктивные – от частных суждений к общим, по аналогии – от частных суждений к частным.

По степени достоверности умозаключения бывают: достоверными (истинными, демонстративными) и вероятностными (правдоподобными, недемонстративными).

Умозаключения являются логическими моделями рассуждений.

Индуктивные умозаключения и их виды

Индукция – вид умозаключений, при котором на основании анализа частных суждений о принадлежности признака отдельным элементам множества делается вывод о принадлежности этого признака всему множеству.

Индукция: полная (математическая, перечисление элементов); неполная: (популярная, научная, выборка).

В математике разработан способ, позволяющий сделать достаточно точный правдоподобный вывод, не проверяя непосредственно все элементы исследуемого множества. Этот метод называется методом (полной) математической индукции (ММИ).

Как правило, индуктивные выводы осуществляются по следующему алгоритму.

1. Сравнить различные элементы некоторого множества.

2. Подметить некоторое общее свойство, которым обладают элементы этого множества.

3. Сформулировать это свойство для изученных элементов, т. е. сформулировать гипотезу.

4. Обобщить вывод на более широкий класс элементов, на все множество.

Метод математической индукции

Смысл ММИ заключается в применении аксиомы Пеано в виде некоторого алгоритма.

1. Утверждение проверяется для некоторого начального элемента, например, для n = 1.

2. Формулируется гипотеза о том, что утверждение справедливо для некоторого k

3. Доказывается (устанавливается истинность утверждения), что если из того, что утверждение справедливо для произвольного k следует, что оно справедливо и для любого k+1, то оно справедливо для любого натурального числа: .

Примеры

1. Доказать, что справедливо равенство:

1+4+7+…+ (3n-2) = .

Решение

Проверим равенство при n = 1.

Получим 1=, 1=1 – значит равенство при n = 1 верна.

Гипотеза: пусть формула справедлива для n = k.

= .

Докажем, что формула верна для n = k+1, т.е. имеет место выражение

=

Упростим и воспользуемся гипотезой, получим

Вывод: формула справедлива для n = k+1 при условии её выполнимости при n = k, следовательно, она справедлива для любого натурального числа .

2. Доказать, что кратно 35.

Решение

Проверим справедливость утверждения при n = 1.

Имеем

Гипотеза: пусть при n = k справедливо .

Докажем тогда, что при n = k +1 верно .

Имеем

Чтобы доказать, необходимо в выражении «увидеть» гипотезу. Для этого к нему одновременно добавим и вычтем число 36. После группировки и вынесения общего множителя имеем

В полученном выражении каждое слагаемое делится на 35. Произведение кратно 35 по гипотезе. Так как второе слагаемое тоже делится на 35, то и вся сумма кратна 35, что и требовалось доказать.

3. Доказать:

Решение.

n = 1,

n = k,

n=k+1,

.

, что и требовалось доказать.

Выполнить упражнения

Методом математической индукции докажите тождества:

1. =

2. 

3. 

Докажите, что при любых выражение:

1. 

2. 

3. 

4. Если