Задачи
на построение сечений
(геометрия
10 класс; авторы учебника: Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов и др.) 2часа
Цели
и задачи урока:
·
вести понятие
сечения многогранника плоскостью
·
повторить
способы задания плоскости, аксиому пересечения плоскостей и теорему принадлежности
прямой и плоскости
·
показать
решение задач на построение многогранника плоскостью, проходящей через три
заданные точки, среди которых есть две, лежащие в одной грани
·
отработать
умения построения сечений
·
формировать
навыки исследовательской работы; в том числе умения синтезировать и
анализировать, обобщать, выделять главное
·
формирование
специальных умений и навыков, в том числе навыков использования математического
языка.
·
развитие
технического, логического, образно-пространственного мышления учащихся.
·
воспитание
культуры графического труда.
Материалы и оборудование:
·
Рабочая
тетрадь.
·
Компьютер.
·
Ручка,
карандаш, резинка.
·
Раздаточный
материал.
·
Проектор
·
«Живая
математика»
Педагогические средства для
решения поставленных задач:
Тип урока: комбинированный, закрепление знаний.
Для повышения
эффективности урока и подачи материала в более доступной динамичной форме,
использована слайдовая презентация
Для закрепления
знаний материала применены приемы фронтальной работы со слайдом, задана
самостоятельная проблемная работа по построению сечений многогранников,
стимулирующая - саморазвитие учащихся и мотивирующая учащихся на изучение темы
«Сечения многогранников» (задача ЕГЭ).
Ход урока
1. Организационный
момент
2. Проверка
домашнего задания
(Фронтально, ответы
на доске.)
3. Актуализация
прежних знаний (повторение
аксиом планиметрии, стереометрии и теорем о существовании плоскости,
многогранники и их элементы), методы построения сечений.
Учитель: давайте выясним, какие фигуры
должны быть заданы, чтобы можно было говорить о плоскости сечения.
Ученики перечисляют
способы задания плоскостей.
Учитель: выделим только один из этих
способов задания плоскости с помощью трех точек, не лежащих на одной прямой. Во
всех задачах, которые мы будем решать, будет дан многогранник и три точки,
определяющие секущую плоскость. Нужно будет построить сечение, т.е. показать
пересечение секущей плоскости с гранями многогранника. Какая фигура является
пересечением плоскости сечения и плоскости какой-то грани, если известно, что
они имеют одну общую точку?
Ученик: пересечением двух плоскостей,
имеющих общую точку, является прямая ( по аксиоме пересечения плоскостей)
Учитель: итак, наша задача будет
состоять в том, чтобы построить прямые пересечения секущей плоскости с
плоскостями граней. А сколько точек нужно знать, чтобы такие прямые построить?
Ученик: для каждой прямой нужно
знать две точки, так как если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся
прямая принадлежит плоскости (по теореме принадлежности прямой и плоскости).
Учитель: итак, всякий раз нам нужно
будет найти в плоскостях граней многогранника по две точки, принадлежащие
сечению.
Решим
несколько подготовительных упражнений:
Устно:
1)найдите
точки, лежащие в одной грани (МN, PL ,RM, RP);
2)найдите линию пересечения граней: ВВ1С1С и АВСД (
задней и нижней граней),
ВС
ДД1С1С
и АА1Д1Д (правой боковой и передней); ДД1
АА1В1В и А1В1С1Д1
( левой боковой и верхней); А1В1
3)Слайд
(заполнить таблицу)
пр
|
ВСС1
|
АВС
|
ДСС1
|
АВВ1
|
А1В1С1
|
МN
|
параллельны
|
пересекаются
|
Пересекаются в точке N
|
Пересекаются
|
Пересекаются в точке М
|
АВ
|
Пересекаются (перпендикуляр.)
|
Лежит в ней
|
параллельны
|
Лежит в ней
|
параллельны
|
СС1
|
Лежит в ней
|
Пересекаются
(перпендик.)
|
Лежит в ней
|
параллельны
|
пересекаются
|
4.Закрепление
навыка построения сечений и запись алгоритма .
Задача.
Дано: АВСДА1В1С1Д1-параллелепипед;
М,P,К – точки, определяющие секущую плоскость; точки М ,Р,К принадлежат
соответственно ребрам АА1, ВВ1, ДС.
Построить:
сечение плоскостью, проходящей через эти точки.
В
процессе построения можно задавать следующие вопросы:
1)Можно
ли построить пересечение секущей плоскости с какой-нибудь гранью?
Можно
провести прямую МР, так как точки М и Р принадлежат одной грани.
2)По
условию задачи дана еще одна точка К. В каких гранях она лежит?
Строим
точку Е, которая является пересечением прямых АВ и МР.
3)
Будет ли прямая ЕК пересечением секущей плоскости с нижней гранью?
Да
4)О;
О = ЕК ∩ АД , 5) ОМ , 6) КN // МР 7)РN
8)РМОКN
– искомое сечение
5. Обобщение полученных знаний при построении сечений куба (слайд).
Работа
в парах постоянного состава.
1.На
рисунке 1 и 2 даны точки: М, Р, К. Построить сечение плоскостью, проходящей
через эти точки.
Краткое
решение по рис.1:1) МР, 2)РК, 3)точку Е, Е= ВС ∩ РК, 4) МЕ, 5)точку N , N= МЕ
∩ДС, 6) NК, 7) РМNК – искомое сечение.
2.краткое
решение по рис.2:1)МР, 2) РК, 3) точку Е, Е=DD1 ∩M Р, 4) ЕК, 5) точку
N,
N=ЕK ∩CС1, 6)NQ//MP, 7) MQ 8)MPKNQ – искомое
сечение
рис.1
рис.2
По
учебнику: №80;№ 82(а,б,в), №83(а),№84,№75,№87, стр. 31-32
№82(а,б,в)
Дано:
АВСДА1В1С1Д1 – параллелепипед,
точка М €(АА1В1В)
а)
Построить : сечение плоскостью, проходящей через т. М, параллельно плоскости
АВСД.
Построение.
1)КР // АВ, М€КР. 2) КQ //AD 3)QN //DC 4) KQ //AD.
б) Построить сечение плоскостью,
проходящей через точку М, параллельно плоскости ВВ1С1С
XYFE – искомое сечение
в)
Построить сечение плоскостью, проходящей через точку М, параллельно плоскости
ВДД1 (XERT – искомое сечение)
№83(а)
и №84 рассмотреть в парах постоянного состава. Для тех, кто выполнит раньше
свое задание, решить № 75.
№
83(а)
Краткое
решение:
1.
МК, МК //
СС1, О€МК
2.
МС1
3.
КС
4.
МКСС1
– искомое сечение
№84
Краткое
решение:
1)В1Д1;
2)Д1О; 3) ОК, ОК //В1Д1; 4)КВ1; 5)
В1Д1ОК – искомое сечение
№75
Решение.
(LKN) // (EFO), так как EF //LK (ЕF – средняя линия треугольника LKM),
FO //KA (FO- средняя линия треугольника KMA), EF × FO,LK × AK ( согласно признаку
параллельности двух плоскостей)
SLKA
: SEFA= k2 ,k=LK : EF=2
24 :
SEFA=4 , SEFO=24:4 = 6(см2) Ответ: 6см2
6. Применение полученных знаний при решении задачи из сборника ЕГЭ (Пример 12,
2005 год – учебно-тренировочные задания для подготовки к ЕГЭ). На уроке
рассматривается только построение сечений. Рассмотрим задачу:
Дан куб ABCDA1B1C1D1. Через точки С,
D1 и середину ребра АА1 проведена плоскость.
Найдите площадь сечения, если ребро куба равно 4.
7. Обсуждение и проверка полученного
результата (слайд
)
На данном этапе усиливается мотивация
изучения данной темы, как необходимость для успешной сдачи ЕГЭ.
Самостоятельная работа
Критерии оценки знаний:
·
на «3» –
построить сечение на бумажном носителе без описания;
·
на «4» –
построить сечение с пошаговым описанием построения
·
на «5» –
построить сечение с полным обоснованием (пошаговым описанием построения и
ссылками на аксиомы и теоремы)
Вариант -1
Вариант -2
8.
Домашнее задание: п.14, №74, № 83(б), №85.
задача ЕГЭ: найти площадь сечения.
Подведение
итогов урока.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.