Конспект по математике на тему "Приемы быстрого счета"

Код 108010

Математика

Приемы быстрого счета

Муниципальное бюджетное образовательное учреждение

Бискамжинская средняя общеобразовательная школа

Математика

Приемы быстрого счета

                                                                          Автор:

                                                                          Щекочихина Дарья, 8 класс

                                                                          Руководитель:

                                                                          Романова Татьяна Павловна,

                                                                          учитель математики.

Бискамжа, 2014

      Содержание

1.     Введение

2.     Частные случаи умножения и деления

3.     Умножение на 11 и 111

4.     Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

5.     Умножение чисел, заключенных  между 10 и 20

6.     Умножение двузначных чисел, когда оба числа начинаются и оканчиваются  цифрой 5 или одно число состоит из одних пятерок можно выполнять по формуле:

7.     Способы умножения для тех, кто не знает таблицу умножения.

8.     Русский способ умножения

9.     Таблица умножения на пальчиках

10.  Диагональное умножение

11. Заключение

12. Литература

3

Мы живем в быстро меняющемся мире. Чтобы идти в ногу со временем, нужно обладать определенным набором знаний, умений, навыков, которые развивают в школе. К ним я отношу вычислительные навыки. Может возникнуть вопрос: «Зачем считать устно, если есть микрокалькулятор?» Но МК не может быть под рукой все время, да и умение считать на нем требует тоже определенных знаний, т.е. хорошо, когда своя голова всегда находится при себе.

Особый разговор об изучении и запоминании таблицы умножения. Учить ее начинают со 2 класса, но даже в 7, 8 ,9 классах есть учащиеся, которые не знают всю таблицу умножения. А незнание таблицы умножения приводит к плохому усвоению дальнейшего материала по математике, к неумению выполнить правильно даже несложные вычисления. Пользование МК на уроках  по данному предмету запрещается, т.к. математику сдают в обязательном порядке в выпускных классах, где нельзя МК даже приносить в место сдачи экзамена.

Обозначенную проблему можно разрешить, если использовать различные способы и приемы умножения.

За многие годы развития общества математики придумали много способов умножения, которые довольно просто дают результат.

Цель: изучить различные приемы и правила для упрощения вычислений.

Задачи:

1.найти и разобрать различные способы умножения чисел, научиться демонстрировать некоторые из этих способов;

2. научить пользоваться данными способами учащихся;

3.Научиться работать с информацией: искать, отбирать, оформлять найденный материал.

Актуальность:  Полученные знания позволят заинтересовать учащихся математикой (изученный материал применим и для учеников начальной школы, и для старшеклассников), позволят мне избавиться от долгих и скучных вычислений при решении задач, а также помогут успешно сдать на следующий год ГИА по математике.

4

·        Умножение и деление на 4.

Чтобы число умножить на 4, его дважды удваивают.

Например: 213·4 = (213·2) · 2 = 426· 2 = 852

Чтобы число разделить на 4, его дважды делят на 2.

 Например: 124:4 = (124:2) :2 = 62:2 = 31

·        Умножение и деление на 5,50,500,…

Чтобы число умножить на 5, 50, 500…нужно  умножить его на 10, 100, 1000, … и разделить на 2.

 Например: 138·5 = (138·10) : 2 = 1380 :2 = 690

Чтобы разделить число  на 5, 50,500, … нужно разделить  его на 10,100, 1000,…и умножить на 2.       

  Например: 10800 : 50 = 10800:100·2 =216

·        Умножение на 25, 250,2500,…

Чтобы число умножить на 25, 250, 2500, … нужно    умножить его 100,1000,10000,… и полученный результат разделить на 4.

 (На 4 делятся - те числа, у которых две последние цифры числа выражают  число, делящееся на 4)

Например: 124 × 25 = 124 : 4 × 100 = 3100

1716 × 25 = 1716 : 4 × 100 = 42900

1716 × 25 = 1716 : 4 × 100 = 42900

·        Умножение на 125, 1250, 12500,…

Чтобы число умножить на 125, надо это число разделить на 8 и умножить на 1000. ( На 8 делятся  те числа, у которых три последние цифры выражают число, делящаяся на 8).

Например: 32 × 125 = 32 : 8 × 1000 = 4000

3168 × 125 = 3168 : 8 × 1000 = 396 000

·        Умножение на 1,5

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину.

 Например: 24·1,5 = 24 + 12 = 36

129·1,5 = 129 + 64,5 = 193,5

·        Умножение на 9

Чтобы умножить число на 9, к нему приписывают 0 и отнимают исходное число.

Например: 249·9 = 2490 – 249 = 2169

·        Умножение на 11

Чтобы умножить число на 11, к нему приписывают 0

и прибавляют исходное число.

 Например:

47·11 = 470 + 47 = 517;   241·11 = 2410 + 241 = 2651

·        Умножение на 11

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого 10 или больше 10, надо мысленно раздвинуть цифры этого числа, поставить между ними сумму этих цифр, а затем к первой цифре

5

прибавить единицу, а вторую и последнюю (третью) оставить без изменения.

94 ´ 11 = 9 ( 9 + 4 ) 4 = 9 (13 ) 4 = (9 +1) 34 = 1034

 73 ´ 11 = 7 ( 7 + 3 ) 3 = 7 ( 10 ) 3 = ( 7 + 1) 03 = 803

·        Умножение двухзначного числа на 111

 Умножим 42 на 111.

Мысленно  раздвигаем цифры первого сомножителя 42 (4…2), предварительно найдя сумму его цифр: 4+2=6, и вставляем полученную сумму, повторив эту операцию дважды:

      4…2=4662,

      42 · 111=4662

36x111= 3996;       72x111=7992

35x111=3885;        61x111=6771

·        Возведение в квадрат числа, оканчивающегося цифрой 5

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5 (например, 65), умножают число его десятков (6) на число десятков, увеличенное на 1 (на 6+1 = 7), и к полученному числу приписывают 25  

  65² = (6·7)25=  4225

 Например: 95² =9025;  125² = 15625

·        Умножение чисел, заключенных  между 10 и 20

можно выполнять по формуле:

АС·ВК = (АС + К) ·10  + С·К

Например:

18·16 = (18 + 6) ·10 + 8·6 = 240 + 48 = 284

·        Умножение двузначных чисел, когда оба числа начинаются и оканчиваются  цифрой 5 или одно число состоит из одних пятерок можно выполнять по формуле:

(АС) ´ (ВЕ) = (А´ В + полусумма не пятерок) ´ 100 + С´ Е

Пример:

52 · 57 = (25 +(2+7):2) · 100+14= (25 +4,5) · 100 +14 =2950 +14 =2964;

65 · 35 = (18+(6+3):2) · 100+25=(18+4,5) ·100+25=2250+25=2275

55 · 87=(40+(8+7):2) · 100+35=(40+7,5) · 100+35=4750+35=4785

·        Способы умножения для тех, кто не знает таблицу умножения.

Графический способ умножения.

Например, 2·3 = 6.   Для этого рисуют 3 вертикальные и 2 горизонтальные линии так, чтобы они пересекались. Количество точек пересечения – результат.

Умножим: 12х321

Считаем точки пересечения прямых, при этом двигаемся справа налево (по часовой стрелке): 2,5,8,3. Число – результат будем

собирать слева направо (против часовой стрелки) и получим результат 3852

6

Умножим 24х34

В этом примере есть нюанс: при подсчете точек  в первой части получилось 16. Единицу отправляем, т.е. прибавляем к точкам второй части (20 + 1)

Плюсы данного способа – наглядность. Минусы – при устном счете каждый раз выполнять рисунок – это потеря времени. Вывод: пользоваться можно, со временем таблица запомнится через эту наглядность.

·        Русский способ умножения:

Способ этот был в обиходе русских крестьян и унаследован ими от глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа и таблица умножения в этом деле без надобности.

7

Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном не получится 1, при этом одновременно удваивают другое число. Последнее удвоенное число и есть результат (пример1). Нетрудно понять, на чем этот способ основан: произведение не меняется, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое же увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение.         

 1 пример: 16·29 = 469

2 пример: 21· 12 = 252

3 пример: 6·215 = 1290

16· 29 = 469                      21· 12 = 252                6· 215 = 1290

8	58
4	116
2	232
1	464

3	430
1	860

10	24
5	48
2	96
1	192

                                       192  + 48 + 12 = 252          430 + 860 = 1290

Однако как поступить, если при этом приходится делить пополам нечетное число? В этом случае от нечетного числа откидываем единицу и делим остаток пополам, при этом к последнему числу правого столбца нужно будет прибавить все те числа этого столба, которые стоят против нечетных чисел левого столбца – сумма и будет  искомым произведением (рисунок 2 и 3). Иными словами, все строки с четными левыми числами зачеркиваем, а затем суммируем не зачеркнутые числа правого столбца.

Для рисунка 2:  192 + 48 + 12 = 252.

Правильность приема станет ясна, если принять во внимание, что:

5×48 = (4 +1) × 48 =4×48 +48;

21× 12 = (20 +1) ×12 = 20×12 + 12.

Ясно, что числа 48, 12, утраченные  при вычеркивании, необходимо прибавить к результату последнего умножения.

·        Таблица умножения на пальчиках

Если до 5 таблицу умножения можно еще быстро заучить, то умножение на 6, 7, 8, 9 считается камнем преткновения для многих.

Поэтому предложенный способ помогает быстро освоить таблицу умножения на данные числа.

8

Способ умножения на 9.

Положить все 10 пальцев веером перед собой ладошками вниз и мысленно пронумеруем их слева направо от 1 до 10. Чтобы выполнить умножение, допустим 9×6.  Загибаем 6-й слева палец. Слева от этого пальца будет 5 пальцев, это- число десятков, а справа от  него будет 4 пальца – это число единиц. Итак: 9×6 =54

Можно вместо 10 пальцев использовать 10 клеток в тетради:

9×8=72 , найти 8 клетку (можно ее зачеркнуть), посмотреть слева от 8 клетки- 7 клеток (7 десятков), справа- 2 (единицы), т.е. получаем 72.

Способ умножения на 8.

Умножим например, 8 на 4. загибаем 4 палец, и за ним 5 палец (4 +1).Слева осталось 3 не загнутых пальца, значит надо загнуть еще 3 пальца после пальца с номером 5(это будут пальцы с номерами 6, 7 и 8). Осталось 3 пальца не загнуто слева (3 десятка) и 2 пальца справа (2 единицы). Получилось 32.

Плюсы – очень понравился этот способ, жаль, что в свое время не знала о нем. Минусов нет.

Вывод: применять можно всегда и очень успешно.

9

·        Диагональное умножение.

Умножим  47×28. Чертим таблицу 2х2, проводим диагонали во всех клетках. Подписываем над таблицей число 47 поразрядно, справа около таблицы пишем поразрядно число 28. Перемножаем цифры строки и столбца и записываем результат в  соответствующую клетку таблицы по разные стороны относительно диагонали: над диагональю пишем разряд десятков а, а под диагональю – единиц. В данном примере получилось 4 диагонали. Складываем числа по каждой диагонали, начиная с нижней правой, в направлении к верхней левой, и пишем результат под диагональю. Если в результате сложения чисел одной диагонали получилось двузначное число, то число десятков прибавляем к результату следующей диагонали. А результат считываем в обратном направлении. В нашем случае результатом будет число 1316.

                         4               7

1	8	1                4	2
13	3         2	5         6	8
	11	6

Результат: 1316

Умножим 1229x374. В данном случае таблица имеет  размеры 4х3, а алгоритм вычисления тот же.

	1	2	2	9
	3	6	6	2             7	3
4	1               7	1                4	1             4	6             3	7
15	1                4	2               8	1               8	3             6	4
	19	26	14	6

Результат:  459646

10

Заключение.

Работая над этой темой, я узнала, что существует много различных,  способов забавных и интересных способов умножения (более 30). ). Некоторыми в различных странах пользуются до сих пор. Используя некоторые из этих методов на уроках или дома, можно развить скорость вычислений, привить интерес к математике, добиться успехов в изучении всех школьных предметов.

Но не все способы удобны в использовании, особенно при умножении многозначных чисел. В общем, таблицу умножения все-таки знать нужно!

Я думаю, что данная работа может быть использована для занятий на кружках, дополнительных занятиях во внеурочное время, как дополнительный материал. Думаю, что это привлечет внимание и интерес учащихся к математике.

11

Литература

1.Перельман Я. И. Быстрый счёт. Приемы быстрого счета

2. Л.Г. Петерсон – тетрадь по математике 5 класс

3. Шарыгин И.Ф. Математика. Задачи на смекалку. 2000г.

4. Шевкин А.В.Школьная олимпиада по математике. 2003г.

5. Ресурсы Интернета.

Размещено на

12