Урок:
Уравнение касательной к графику функции
Цель урока: На
уроке рассмотреть тему «Уравнение касательной к графику функции». Вывести
уравнение касательной к графику функции. Затем, чтобы успешно решать задачи на
касательную, рассмотреть смысл каждого его элемента.
1.
Уравнение касательной к графику функции
На предыдущих
занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные
задачи, и нахождение производных необходимо в разных задачах, в том числе и в
составлении уравнения касательной.
Построим кривую (см.
рис.1).
Рис. 1. График
функции .
Зафиксируем точку х=а. Если х=а, то
значение функции равно . Значит, имеем точку с координатами (.
Задача: составить
уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение
касательной к функции в точке с абсциссой х=а, в которой -
существует.
Уравнение
касательной – это прямая, которая задается формулой
Любая прямая, в
том числе и касательная, определяется двумя числами: и . Исходя
из геометрического смысла производной (тангенс угла
наклона касательной) – это есть угловой коэффициент .
Параметр найдем из
условия, что касательная проходит через точку (, то есть .
.
Стало быть .
Запишем уравнение
касательной
.
Или, .
Получили уравнение
касательной к кривой в точке с абсциссой .
2. Смысл
элементов уравнения касательной
Смысл каждого
элемента, который входит в уравнение касательной.
1) ( – точка
касания касательной и графика функции.
2) -
угловой коэффициент касательной к графику функции.
3) –
произвольная точка на касательной.
Очень много задач,
когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо
провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что – это
произвольная точка на касательной.
Итак, получили
уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной,
и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.
3.
Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции
Задача.
К кривой в точке
с абсциссой провести
касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).
Рис. 2.
Касательная к графику функции .
Зафиксируем точку . Значение
функции в этой точке равно 1.
Алгоритм составления
уравнения касательной к графику функции:
1) Найти и точку
касания.
-
дано.Точка касания: (;.
2) Найти
производную в любой точке .
.
3) Найти значение
производной в точке с абсциссой .
4) Выписать и
проанализировать уравнение касательной.
.
Упрощаем и
получаем: .
Ответ: .
4.
Сопутствующие задачи
Задача 1.
Пусть дано
уравнение касательной .
Найдите точки
пересечения касательной с осями координат.
Если , то . – это
первая точка.
Если , то . - вторая
точка.
Итак, первая точка
– это точка с
координатами . Вторая
точка – точка пересечения с осью , точка с координатами (см.
рис.3).
Рис.3. Точки
пересечения касательной к графику функции с осями
координат. Задача 2.
Найти длину
отрезка касательной,
которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка .
Рассмотрим
прямоугольный треугольник (Рис. 3). Длина катета равна 1.
Длина катета . Длину
отрезка из
прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:
Задача 3.
Найти площадь
треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это
площадь треугольника (Рис. 3) - площадь треугольника,
образованного касательной и осями координат.
Следующая задача
для самостоятельного решения.
Найдите радиус
окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около
треугольника .
5.
Касательная к графику тригонометрической функции
Рассмотрим пример.
Дана функция . Написать
уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.
Рассмотрим
графическую иллюстрацию (см. рис.4).
Рис. 4.
Касательная к графику функции .
Нахождение точки
касания.
1. Точка
касания имеет координаты .
2. Найти .
3. Найти
И, последнее
действие, – написать уравнение касательной.
4. .
Упростим и
получим .
Заметим в точке (0;0)
синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки х=0 синусоида и прямая
почти не различаются.
6. Итог
урока
Итак, мы вывели
уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их
смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных
функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.
Список
рекомендованной литературы
1. Алгебра и
начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных
учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина,
2009.
2. Алгебра и
начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных
учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина,
2007.
3. Виленкин Н.Я.,
Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10
класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением
математики).-М.: Просвещение, 1996.
4. Галицкий М.Л., Мошкович
М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического
анализа.-М.: Просвещение, 1997.
5. Сборник задач
по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа,
1992.
6. Мерзляк А.Г.,
Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.
7. ЗвавичЛ.И.,
Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и
классов с углубленным изучением математики (дидактические материалы).-М.:
Дрофа, 2002.
8. Саакян С.М.,
Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для
учащихся 10-11 классов общеобразов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.
9. Карп А.П.
Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с
углубл. изуч. математики.-М.: Просвещение, 2006.
10. Глейзер Г.И.
История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.:
Просвещение, 1983
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.