Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект по математике на тему "Уравнение касательной"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект по математике на тему "Уравнение касательной"

библиотека
материалов


Урок: Уравнение касательной к графику функции

Цель урока: На уроке рассмотреть тему «Уравнение касательной к графику функции». Вывести уравнение касательной к графику функции. Затем, чтобы успешно решать задачи на касательную, рассмотреть смысл каждого его элемента.


1. Уравнение касательной к графику функции


На предыдущих занятиях были рассмотрены задачи на технику дифференцирования. Это очень важные задачи, и нахожде­ние производных необходимо в разных задачах, в том числе и в составлении уравнения касательной.


Построим кривую hello_html_m769f00db.png (см. рис.1).


hello_html_18a77f09.png



Рис. 1. График функции . hello_html_m769f00db.png


Зафиксируем точку х=а. Если х=а, то значение функции равно hello_html_5f2cbf2d.jpg . Значит, имеем точку с координатами (hello_html_m7a27218.png.


Задача: составить уравнение касательной. Более строгая формулировка – написать уравнение касательной к функции hello_html_m769f00db.pngв точке с абсциссой х=а, в которой hello_html_mb380c21.png- существует.


Уравнение касательной – это прямая, которая задается формулой hello_html_495e56d1.png


Любая прямая, в том числе и касательная, определяется двумя числами: hello_html_m7ae9f9a5.jpg и hello_html_m2e41f38e.jpg. Исходя из геометрического смысла производ­ной hello_html_md573832.png (тангенс угла наклона касательной) – это есть угловой коэффициент hello_html_51981e93.png.


Параметр hello_html_m2e41f38e.jpg найдем из условия, что касательная проходит через точку (hello_html_db50e5e.png, то есть .

hello_html_m556166c3.png


hello_html_m1c2ae567.png.


Стало быть . hello_html_m578496d6.png


Запишем уравнение касательной

hello_html_m3b9f2333.png.


Или, hello_html_733cebc.png.


Получили уравнение касательной к кривой hello_html_m769f00db.png в точке с абсциссой hello_html_5011da10.jpg.


2. Смысл элементов уравнения касательной


Смысл каждого элемента, который входит в уравнение касательной.


1) (hello_html_db50e5e.png – точка касания касательной и графика функции.


2) hello_html_51981e93.png - угловой коэффициент касательной к графику функции.


3) hello_html_m26fc172c.png – произвольная точка на касательной.


Очень много задач, когда задана точка, которая не лежит на графике функции, и через нее надо провести касательную к данной функции. Надо четко понимать, что hello_html_m26fc172c.png – это произвольная точка на касательной.


Итак, получили уравнение касательной, проанализировали смысл каждого элемента этой касательной, и теперь приведем пример, и на нем изложим методику построения касательной.


3. Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции


Задача.


К кривой hello_html_3624f105.png в точке с абсциссой hello_html_m40ce850c.png провести касательную. Проиллюстрируем поиск касательной на рисунке (см. рис.2).


hello_html_m1e70607c.png



Рис. 2. Касательная к графику функции hello_html_3624f105.png.


Зафиксируем точку hello_html_m40ce850c.png. Значение функции в этой точке равно 1.


Алгоритм составления уравнения касательной к графику функции:


1) Найти hello_html_21d234a9.jpg и точку касания.


hello_html_21d234a9.jpg- дано.Точка касания: (hello_html_m16e9f02c.png;.


2) Найти производную в любой точке . hello_html_4bdc7f3e.jpg


hello_html_164f7564.png.


3) Найти значение производной в точке с абсциссой hello_html_21d234a9.jpg.

hello_html_m1de7e312.png

4) Выписать и проанализировать уравнение касательной.


hello_html_7afb3518.png.


Упрощаем и получаем: hello_html_m7505aed1.png.


Ответ: hello_html_m7505aed1.png.


4. Сопутствующие задачи


Задача 1.


Пусть дано уравнение касательной hello_html_m7505aed1.png.


Найдите точки пересечения касательной с осями координат.


Если hello_html_m235c596d.jpg, то hello_html_m7a451c13.png hello_html_2a650932.png. – это первая точка.


Если hello_html_a18ca29.png, то hello_html_66a8e5d0.png. hello_html_1c83e2ca.png - вторая точка.


Итак, первая точка – это точка hello_html_56ddec86.jpg с координатами hello_html_2a650932.png . Вторая точка – точка пересечения с осью hello_html_4bdc7f3e.jpg, точка hello_html_m6dcca953.jpg с координатами hello_html_1c83e2ca.png (см. рис.3).


hello_html_me993fc8.png


Рис.3. Точки пересечения касательной к графику функции hello_html_3624f105.png с осями координат. Задача 2.


Найти длину отрезка касательной, которая отсекается осями координат, то есть надо найти длину отрезка hello_html_m10d4a3a0.jpg.


Рассмотрим прямоугольный треугольник hello_html_511a9c64.jpg (Рис. 3). Длина катета hello_html_m7cea58be.jpg равна 1. Длина катета hello_html_38a9d3b0.png . Длину отрезка hello_html_m10d4a3a0.jpg из прямоугольного треугольника найдем по теореме Пифагора:


hello_html_m20d3e323.png


Задача 3.


Найти площадь треугольника, образованного касательной и осями координат. Ясно, что это площадь треугольника hello_html_511a9c64.jpg (Рис. 3) - площадь треугольника, образованного касательной и осями координат.


hello_html_m3d91c285.png


Следующая задача для самостоятельного решения.


Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник . Радиус окружности, описанной около треугольника .


5. Касательная к графику тригонометрической функции


Рассмотрим пример.


Дана функция . hello_html_265696ab.png Написать уравнение касательной к данной кривой в точке с данной абсциссой.


Рассмотрим графическую иллюстрацию (см. рис.4).

hello_html_53ac8201.png



Рис. 4. Касательная к графику функции hello_html_265696ab.png.


Нахождение точки касания.


1.hello_html_m7a811bfb.png Точка касания имеет координаты .


2. Найти . hello_html_226b4cc4.png


3. Найти hello_html_6cbba0ee.png


И, последнее действие, – написать уравнение касательной.


4. . hello_html_299a2ae4.png


Упростим и получим . hello_html_8bcd0a1.jpg


Заметим в точке (0;0) синусоида и касательная соприкасаются. В районе точки х=0 синусоида и прямая почти не различаются.


6. Итог урока


Итак, мы вывели уравнение касательной. Рассмотрели все элементы этой касательной. Выяснили их смысл. Сформулировали одну из методик нахождения касательных в конкретных функциях, в конкретных точках и решили некоторые сопутствующие задачи.



Список рекомендованной литературы


1. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2009.


2. Алгебра и начала анализа, 10 класс (в двух частях). Задачник для общеобразовательных учреждений (профильный уро­вень) под ред. А. Г. Мордковича. –М.: Мнемозина, 2007.


3. Виленкин Н.Я., Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математический анализ для 10 класса (учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики).-М.: Просвещение, 1996.


4. Галицкий М.Л., Мошкович М.М., Шварцбурд С.И. Углубленное изучение алгебры и математического анализа.-М.: Просвеще­ние, 1997.


5. Сборник задач по математике для поступающих во ВТУЗы (под ред. М.И.Сканави).-М.:Высшая школа, 1992.


6. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир М.С. Алгебраический тренажер.-К.: А.С.К., 1997.


7. ЗвавичЛ.И., Шляпочник Л.Я., Чинкина Алгебра и начала анализа. 8-11 кл.: Пособие для школ и классов с углубленным изуче­нием математики (дидактические материалы).-М.: Дрофа, 2002.


8. Саакян С.М., Гольдман А.М., Денисов Д.В. Задачи по алгебре и началам анализа (пособие для учащихся 10-11 классов обще­образов. учреждений).-М.: Просвещение, 2003.


9. Карп А.П. Сборник задач по алгебре и началам анализа : учеб. пособие для 10-11 кл. с углубл. изуч. математики.-М.: Просве­щение, 2006.


10. Глейзер Г.И. История математики в школе. 9-10 классы (пособие для учителей).-М.: Просвещение, 1983

Автор
Дата добавления 26.08.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров145
Номер материала ДБ-166264
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх