Конспект по математике о применении пропорции

Пропорция спасет! Но как её составить?

        Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена  неполноценной.

Для начала вспомним, что такое пропорция. Это равенство вида:

что то же самое (это разная форма записи).

Основное правило пропорции:

произведение крайних членов равно произведению средних ,то есть a∙d=b∙c.

Если какая-либо величина в пропорции неизвестна, ее можно найти именно по этому правилу.

Если рассматривать форму записи вида: ,то используют ещё следующее правило, его называют «правило креста»: записывается равенство произведений элементов (чисел или выражений) стоящих по диагонали

a∙d=b∙c

Как видите результат тот же.

Если три элемента пропорции известны, то мы всегда можем найти четвёртый.

Именно в этом суть пользы и необходимость пропорции при решении задач.

Давайте рассмотрим все варианты, где неизвестная величина х находится в «любом месте» пропорции, где a,  b,  c – числа:

 Таким образом, величина, стоящая по диагонали от х записывается в знаменатель дроби, а известные величины стоящие по диагонали записываются в числитель, как произведение.

Теперь главный вопрос, связанный с названием статьи. Когда пропорция  может спасти и где используется? Например:

1.     Решение  задач на проценты.

2.     Многие формулы заданы в виде пропорций:

·        теорема синусов

              

·        отношение элементов в треугольнике

               

·        теорема Фалеса и другие.

3.     В задачах по геометрии в условии часто задаётся отношение сторон (других элементов) или площадей, например 1:2, 2:3  и прочие.

4.     Перевод единиц измерения, причём пропорция используется для перевода единиц как в одной  мере, так и для перевода из одной меры в другую:

ü часы в минуты (и наоборот).

ü единицы объёма, площади.

ü длины, например мили в километры (и наоборот).

ü градусы в радианы  (и наоборот).

Ключевой момент в том, что нужно правильно установить соответствие, рассмотрим простые примеры:

Задача 1: Необходимо определить число, которое составляет 35%  от 700.

В задачах на проценты за 100% принимается та величина, с которой сравниваем. Неизвестное число обозначим как х. Установим соответствие:

Можно сказать, что семисот тридцати пяти соответствует 100 процентов.

Иксу соответствует 35 процентов. Значит, 700    –    100%

                                                                                 х       –     35 %.

Решаем

Ответ: 245

 Задача 2: Переведём 50 минут в часы.

Мы знаем, что одному часу соответствует 60 минут, x часов - это 50 минут. Значит,  1    –    60

                х    –    50

Решаем:

То есть 50 минут это пять шестых часа.

Ответ: 5/6

       Для перевода  градусов в радианы (и обратно) существуют  формулы. Но можно не зная их, перевести градусы в радианы (и обратно), если воспользоваться пропорцией.

Задача 3 :Перевести  65 градусов в радианную меру.                          

Главное это запомнить, что 180 градусов это  радиан.

Обозначим искомую величину как х. Устанавливаем соответствие.

Ста восьмидесяти градусам соответствует     радиан.

Шестидесяти пяти градусам соответствует х радиан.

Если необходимо перевести градусы в радианы, то  в эту пропорцию нужно подставить градусы и вычисляете радианы; если необходимо перевести радианы в градусы, то подставить радианы  и вычислить градусы.

Если вспомнить само определение математики, то в нём есть такие слова: математика изучает количественные ОТНОШЕНИЯ (ОТНОШЕНИЯ — здесь ключевое слово). Как можно видеть, в самом определении математики заложена пропорция. В общем, математика без пропорции это не математика!

Краткое описание документа:

Понимать, что такое пропорция, уметь составлять её – это очень важно, она действительно спасает. Это вроде бы маленькая и незначительная «буковка» в большом алфавите математики, но без неё математика  обречена  неполноценной.

Работа предполагает помочь читателю или слушателю разобраться  в понятии математической пропорции, применении данного понятия для решения различного рода математических задач. Конечно, данный материал рассматривается в школьном курсе математики, но никто не проводит линию его взаимосвязи с другими темами, а также возможности применения пропорций для решения задач , что называется, из жизни.