Задачи № 19(база)
1) Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пояснение.
Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8.
Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры образуют число, которое делится на 8. Перебрав трёхзначные числа из 1 и 2, получим, что только 112 делится на 8. Это число образует последние три цифры искомого числа.
Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Последние три цифры 112 дают к сумме 4. Рассмотрим первые три цифры. Их сумма может быть от 3 до 6. Условиям задачи удовлетворяет сумма цифр, равная 5. Троек с данной суммой цифр три: 122, 212, 221.
Таким образом, подходят числа: 122112, 212112, 221112.
2) Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 2 и 0 и делится на 24. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пояснение.
Если число делится на 24, то оно делится на 3 и на 8.
Если число делится на 8, то число, образованное последними его тремя цифрами, тоже делится на 8. Трёхзначных чисел из 0 и 2, делящихся на 8, два: 000 и 200. Это окончания исходного числа.
Если число делится на 3, то сумма его цифр тоже делится на 3.
000 даёт к сумме 0, то есть сумма первых цифр должна равняться 6, то есть это 222.
200 даёт к сумме 2, то есть сумма первых цифр должна равняться 4, то есть 220 или 202 (022 не может быть, так как это первые цифры, а первая цифра в числе не может равняться 0).
Таким образом, искомые числа: 220200, 202200, 222000.
3) Приведите пример шестизначного натурального числа, которое записывается только цифрами 1 и 2 и делится на 72. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пояснение.
Если число делится на 72, то но делится на 8 и на 9.
Если число делится на 8, то число, образованное последними его тремя цифрами, тоже делится на 8. Шестизначных чисел из 1 и 2, делящиеся на 8 должны заканчиваться тройкой цифр 112.
Если число делится на 9, то сумма его цифр тоже делится на 9.
112 даёт к сумме 4, то есть сумма первых цифр должна равняться 5, то есть должна состоять из перестановок двух двоек и единицы.
Таким образом, искомые числа: 122112, 212112, 221112.
Ответ: 122112, 212112 или 221112.
4) Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 500, которое при делении на 8 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пояснение.
По модулю 5 и 8 число имеет одинаковые остатки. Оно будет
иметь тот же остаток и при делении на 40. Этот остаток больше нуля и меньше
пяти. Пусть наше число имеет вид
xyz, тогда имеем:
5< x <9?
0 < y < 9
0 < z < 5
2x = y + z
Заметим, также, что искомое число должно быть чётным. Переберём все варианты, их четыре: 564, 684.
Ответ: 564; 684.
5) Приведите пример трёхзначного натурального числа большего 500, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и средняя цифра которого является средним арифметическим крайних цифр. В ответе укажите ровно одно такое число.
Пояснение.
Найдём все трёхзначные числа, большие пятисот, такие, что средняя цифра равна среднему арифметическому крайних. Пусть первая цифра числа 5, тогда если последняя цифра чётная, то средняя — не целое число. Следовательно, последняя цифра должна быть нечётной, тогда это 1, 3, 5, 7 или 9. Среднюю цифру находим как среднее арифметическое крайних. Получаем: 531, 543, 555, 567, 579.
Рассуждая аналогично, находим оставшиеся трёхзначные числа, обладающие этим свойством: 660, 642, 654, 666, 678, 741, 753, 777, 789, 840, 852, 864, 876, 888, 951, 963, 975, 987, 999.
Определим, какие из найденных чисел дают одинаковые остатки при делении на 5 и на 6. Это числа 543 (остаток 3), 660 (остаток 0), 642 (остаток 2), 753 (остаток 3), 840 (остаток 0), 963 (остаток 3).
Ненулевые равные остатки дают числа 543, 753, 963.
6) Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами:
· сумма цифр числа A делится на 4;
· сумма цифр числа (A + 2) делится на 4;
· число A больше 200 и меньше 400.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пояснение.
Пусть число имеет вид 
. Если 
, то сумма цифр в новом числе
будет на 2 больше, чем в исходном, и обе они не могут делиться на 4. Значит, 
. Рассмотрим теперь 2 случая:
1) 
Число
перейдёт в 
(для 
) или в 
(для 
), сумма изменится на 16
2) 
Число
перейдёт в 
, сумма изменится на 7.
Итак, условиям задачи удовлетворяют
числа вида 
. Так как 
, несложно найти такие числа: 299, 398
Ответ: 299, 398.
7) Найдите трёхзначное число A, обладающее всеми следующими свойствами:
· сумма цифр числа A делится на 8;
· сумма цифр числа A + 1 делится на 8;
· в числе A сумма крайних цифр кратна средней цифре.
В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пояснение.
Пусть число имеет вид аbс, если с< 9, то сумма цифр в новом числе будет на 1 больше, чем в исходном, и обе они не могут делиться на 8. Значит с > или = 9. Рассмотрим теперь 2 случая:
1) аb9, b #9. Число перейдёт в а(b +1)(d- 9), сумма изменится на 8.
2) а99, а #9. Число перейдёт в (а + 1)(b – 9)(с – 9), сумма изменится на 18.
Итак, условиям задачи удовлетворяют числа вида аb9 , b #9, где а + 9 кратно b. Одним из таких чисел является 349.
Ответ: 349.
8) Сумма цифр трёхзначного числа A делится на 13. Сумма цифр числа A+5 также делится на 13. Найдите такое числоA.
9) Приведите пример трёхзначного числа, сумма цифр которого равна 20, а сумма квадратов цифр делится на 3, но не делится на 9.
Пояснение.
Разложим число 20 на слагаемые различными способами:
20 = 9 + 9 + 2 = 9 + 8 + 3 = 9 + 7 + 4 = 9 + 6 + 5 = 8 + 8 + 4 = 8 + 7 + 5 = 8 + 6 + 6 = 7 + 7 + 6.
При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578. Ответ: 578.
10) Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пояснение.
Число имеет одинаковые остатки при делении на 5 и на 6, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 30, причём этот остаток не равен нулю и меньше пяти. Таким образом, искомое число может иметь вид: 30n+ 1, 30n+ 2, 30n+ 3, 30n+ 4
При. n = 1,2,3, 13. Ни одно из чисел не больше 400
При n = 14 : 421, 422, 423, 424. Первая слева цифра не является средним арифметическим двух других цифр
При n = 15 : 451, 452, 453, 454. Число 453 удовлетворяет всем условиям задачи.
Также подходят числа 573 и 693. Ответ: 453,573, 693.
11) Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 4536. Приведите ровно один пример такого числа.
Пояснение.
Число делится
на 5, значит, его последняя цифра или 0, или 5. Но так как при записи в обратном
порядке цифры также образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо
число не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид 
авс5. Тогда условие можно записать так:100а +
100в + 10с + 5 – (5000 + 100с + 10в + а) = 4536 следовательно: 999(а – 5)
+ 90(в – с) = 4536.
Второе слагаемое в левой части делится на 10. Значит, за разряд единиц в сумме отвечает только первое слагаемое. То есть 9(а – 5) mod 10. Откуда а = 9. Подставив полученное значение в уравнение, получим, что 90(в – с) = 540, в – с = 6. Перебрав все пары b и с, которые являются решением этого равенства, выпишем все числа, являющиеся ответом: 9605, 9715, 9825, 9935.
Ответ: 9605, 9715, 9825, 9935.
12) Найдите трёхзначное число, сумма цифр которого равна 25, если известно, что его квадрат делится на 16.
Пояснение.
Разложим число 25 на слагаемые: 25 = 9 + 9 + 7 = 9 + 8 + 8.
Квадрат числа делится на 16, значит, само число делится на 4. Это значит, что оно как минимум заканчивается на чётную цифру. То есть первый набор отпадает, так как в нём таковых нет. Из второго мы можем составить числа 988 и 898. Первое число удовлетворяет условиям задачи.
13) Найдите шестизначное натуральное число, которое записывается только цифрами 1 и 0 и делится на 24.
Пояснение.
Чтобы число делилось на 24 оно должно делится на 3 и на 8.
Число делится на 8, если три его последние цифры образуют число, делящееся на 8. Искомое число записывается только нулями и единицами, значит, оно заканчивается на 000.
Число делится на 3, если его сумма цифр числа делится на 3. Поскольку три послледние цифры числа нули, первые три должны быть единицами.
Таким образом, единственное число, удовлетворяющее условию задачи, это число 111 000.
Ответ: 111 000.
14) Сумма цифр трёхзначного числа A делится на 13. Сумма цифр числа A+5 также делится на 13. Найдите такое числоA.
15) Вычеркните в числе 141565041 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Пояснение.
Если число делится на 30, то оно также делится на 3 и на 10. Поэтому в последнем разряде числа должен быть ноль. Тогда вычёркиваем 41. Остаётся 1415650. Для того, чтобы число делилось на три необходимо, чтобы сумма цифр была кратна трём, значит, нужно вычеркнуть цифру 1 или цифру 4. Таким образом, получаем числа 145650, 115650 и 415650
Ответ: 145650, 115650 или 415650.
16) Вычеркните в числе 85417627 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 18. В ответе укажите ровно одно получившееся число.
Пояснение.
Если число делится на 18, то оно также делится на 9 и на 2. Число должно быть чётным, для этого вычеркнем цифру 7, получим 8541762. Посчитаем сумму цифр — 33. Для того, чтобы число делилось на девять необходимо, чтобы сумма цифр была кратна девяти. Можно вычеркнуть цифры 5 и 1, получив число 84762, либо вычеркнуть цифры 4 и 2 и получить число 85176. Также возможно вычеркнуть цифры 7 и 8 и получить число 54162.
Ответ: 84762, 85176 или 54162.
17) Найдите трехзначное натуральное число, большее 500, которое при делении на 4, на 5 и на 6 дает в остатке 2, и в записи которого есть только две различные цифры. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пояснение.
При делении на 4 число даёт в остатке 2, следовательно, оно чётное. Поскольку число при делении на 5 даёт в остатке 2, то оно может оканчиваться на 2 или на 7. Таким образом, число обязательно должно заканчиваться цифрой 2.
Подбором находим, что условию задачи удовлетворяют числа 662 и 722.
Ответ: 662, 722.
18) Найдите четырёхзначное число, кратное 88, все цифры которого различны и чётны. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Пояснение.
Число делится на 88, если оно делится на 8 и на 11. Признак делимости на 8: число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры — нули или образуют число, которое делится на 8. Признак делимости на 11: число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо разность этих сумм делится на 11. Используя признак делимости на 8, и учитывая, что все цифры искомого числа должны быть чётны и различны получаем, что последними цифрами числа могут быть: 024, 048, 064, 208, 240, 264, 280, 408, 480, 608, 624, 640, 648, 680, 824, 840, 864. Используя признак делимости на 11 получим, что условию задачи удовлетворяют числа: 6248, 8624, 2640.
Ответ: 2640, 6248 или 8624.
Приведём идею другого решения.
Искомое число должно быть записано четырьмя из пяти цифр 0, 2, 4, 6 и 8, каждая из которых взята один раз. Причём сумма цифр в разрядах тысяч и десятков должна быть равна сумме цифр в разрядах сотен и единиц, а три последние цифры искомого числа должны образовывать трёхзначное число, кратное восьми. Пусть в разряде тысяч стоит 8, тогда в разряде десятков должна быть 2, а в разряде сотен и единиц — цифры 4 и 6. Заметим, что число 8624 удовлетворяет условию. Далее аналогично для чисел, начинающихся с 2, 4 и 6.
19) Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь такое число.
Пояснение.
Наименьшее четырехзначное число, кратное 66, — число 1056. Чтобы первая цифра была четной удвоим его, получим 2112, добавим 66 · 2 = 132, чтобы и вторая цифра стала четной, получим 2244, и будем добавлять по 66 до тех пор, цифры не станут различными. Добавив 6 раз, получим 2640. (Возможны и другие примеры.)
20)
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 654 524 материала в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Белоногова Светлана Вячеславовна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
500/1000 ч.
Курс повышения квалификации
72 ч. — 180 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 144 ч.
Курс повышения квалификации
36 ч. — 180 ч.
Мини-курс
4 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.