Задачи
на смекалку № 20.
1) На палке отмечены поперечные линии красного,
жёлтого и зелёного цвета. Если распилить палку по красным линиям, получится
15 кусков, если по жёлтым — 5 кусков, а если по зелёным — 7 кусков. Сколько
кусков получится, если распилить палку по линиям всех трёх цветов?
Решение:
Если распилить палку по
красным линиям, то получится 15 кусков, следовательно, линий — 14.
Если распилить палку по желтым — 5 кусков, следовательно, линий — 4. Если
распилить по зеленым — 7 кусков, линий — 6. Всего линий:
14 + 4 + 6 = 24 линии, следовательно, кусков
будет 25. Ответ:
25
2) Кузнечик прыгает вдоль координатной
прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик
начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных
точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться,
сделав ровно 11 прыжков?
Решение:
Заметим, что кузнечик
может оказаться только в точках с нечётными координатами, поскольку
число прыжков, которое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик
может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати.
Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3,
−1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.
Ответ: 12.
3) В корзине лежит 40 грибов: рыжики и грузди. Известно,
что среди любых 17 грибов имеется хотя бы один рыжик, а среди любых 25 грибов
хотя бы один груздь. Сколько рыжиков в корзине?
Решение:
Согласно условию задачи: (40 -17) + 1 = 24 - должно быть рыжиков. (40 – 25) + 1 = 16 - должно быть груздей. Таким образом, рыжиков
в корзине . Ответ: 24.
4) Саша пригласил Петю в
гости, сказав, что живёт в седьмом подъезде в квартире № 462, а этаж сказать
забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил, что дом семиэтажный. На каком
этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир одинаково, номера квартир
в доме начинаются с единицы.)
Решение:
Поскольку в первых 7
подъездах не меньше 462 квартир, в каждом подъезде не меньше 462 : 7 =
66 квартир. Следовательно, на каждом из 7 этажей в подъезде не меньше
9 квартир.
Пусть на каждой лестничной
площадке по 9 квартир. Тогда в первых семи подъездах всего
9 · 7 · 7 = 441 квартира, и квартира 462 окажется
в восьмом подъезде, что противоречит условию.
Пусть на каждой площадке
по 10 квартир. Тогда в первых семи подъездах 10 · 7 · 7 = 490 квартир, а в
первых шести — 420. Следовательно, квартира 462 находится в седьмом
подъезде. Она в нем 42-ая по счету, поскольку на этаже по 10 квартир, она
расположена на пятом этаже.
Если бы на каждой площадке
было по 11 квартир, то в первых шести подъездах оказалось бы
11 · 7 · 6 = 462 квартиры,
то есть 462 квартира в шестом подъезде, что противоречит условию.
Тем самым, Саша живёт на
пятом этаже. Ответ: 5
5) Саша пригласил Петю в гости, сказав, что живёт в двенадцатом
подъезде в квартире № 465, а этаж сказать забыл. Подойдя к дому, Петя обнаружил,
что дом пятиэтажный. На каком этаже живёт Саша? (На всех этажах число квартир
одинаково, номера квартир в доме начинаются с единицы.)
Решение:
Поскольку в первых 12
подъездах не меньше 465 квартир, в каждом подъезде не меньше 465 : 12 =
38,75 квартир. Следовательно, на каждом из 5 этажей в подъезде не меньше
7 квартир.
Пусть на каждой лестничной
площадке по 7 квартир. Тогда в первых двенадцати подъездах всего 12 ·
7 · 5 = 420 квартир, и квартира 465 окажется в тринадцатом подъезде,
что противоречит условию.
Пусть на каждой площадке
по 8 квартир. Тогда в первых двенадцати подъездах
12 · 8 · 5 = 480 квартир,
а в первых одиннадцати — 440. Следовательно, квартира 465 находится
в двенадцатом подъезде. Она в нем 25-ая по счету, поскольку на этаже по
8 квартир, она расположена на четвертом этаже.
Тем самым, Саша живёт на четвертом
этаже. Ответ:
4.
6) Тренер
посоветовал Андрею в первый день занятий провести на беговой дорожке
15 минут, а на каждом следующем занятии увеличивать время, проведённое
на беговой дорожке, на 7 минут. За сколько занятий Андрей проведёт на
беговой дорожке в общей сложности 2 часа 25 минут, если будет следовать
советам тренера?
Ответ: 5.
7) Произведение
десяти идущих подряд чисел разделили на 7. Чему может быть равен остаток?
Решение:
Среди 10 подряд идущих
чисел одно из них обязательно будет делиться на 7, поэтому произведение
этих чисел кратно семи. Следовательно, остаток от деления на 7 равен
нулю.
Ответ: 0.
8) В бак объёмом 38 литров каждый час, начиная
с 12 часов, наливают полное ведро воды объёмом 8 литров. Но в днище бака
есть небольшая щель, и из неё за час вытекает 3 литра. В какой момент времени
(в часах) бак будет заполнен полностью.
Решение:
К концу каждого часа
объём воды в баке увеличивается на 8 − 3 = 5 литров. Через 6 часов, то
есть в 18 часов, в баке будет 30 литров воды. В 18 часов в бак дольют 8 литров
воды и объём воды в баке станет равным 38 литров.
Ответ: 18.
9) В меню ресторана имеется
6 видов салатов, 3 вида первых блюд, 5 видов вторых блюд и 4 вида десерта.
Сколько вариантов обеда из салата, первого, второго и десерта могут
выбрать посетители этого ресторана?
Решение:
Салат можно выбрать шестью способами, первое —
тремя, второе — пятью, десерт — четырьмя. Следовательно, всего
6 · 3 · 5 · 4 = 360 вариантов обеда.
Ответ: 360.
10)
В обменном пункте можно совершить
одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и одну медную;
2) за 7 серебряных монет получить 4 золотых и одну медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений обменного пункта
серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 42
медных. На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николы?
РЕШЕНИЕ:
Ответ: 30.
11) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
• за 2 золотых монеты
получить 3 серебряных и одну медную;
• за 5 серебряных монет
получить 3 золотых и одну медную.
У Николая были только серебряные
монеты. После нескольких посещений обменного пункта серебряных
монет у него стало меньше, золотых не появилось, зато появилось 50 медных.
На сколько уменьшилось количество серебряных монет у Николая?
Решение:
Пусть Николай сделал сначала операций
второго типа, а затем операций первого типа. Тогда
имеем:
Тогда серебряных монет
стало на больше,
то есть на 10 меньше.
Ответ: 10.
12) Прямоугольник разбит на четыре меньших
прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с
левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны A, B и C. Найдите площадь
четвёртого прямоугольника.
ПРИМЕР ЗАДАЧИ:
№ 1. Прямоугольник разбит на четыре меньших
прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с
левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 18 и 30. Найдите площадь
четвёртого прямоугольника.
РЕШЕНИЕ:
Для удобства дадим
название каждой стороне прямоугольника (см. рисунок).
И распишем, чему равна
площадь каждого маленького прямоугольника по часовой стрелке:
S1 = a ⋅ c = 12 (1)
S2 = b ⋅ c = 18 (2)
S3 = b ⋅ d = 30 (3)
S4 = a ⋅ d = ? (4)
Выразим стороны a и d
из первой и третьей площади и подставим их в площадь четвертого прямоугольника:
a = 12 / c
d = 30 / b
S4 = 12 / c ⋅ 30 / b
Мы также можем выразить
сторону b через вторую площадь, чтобы площадь четвертого прямоугольника была
выражена только через одну сторону:
b = 18 / c
S4 = 12 / c ⋅ 30 / 18 ⋅ c = 12 ⋅ 30 / 18 = 20
В результате все
неизвестные сократились и была найдена площадь четверного прямоугольника,
равная 20. ОТВЕТ:
20
В общем виде решение данной
задачи на смекалку выглядит следующим образом:
ПЛОЩАДЬ ПРЯМОУГОЛЬНИКА =
A ⋅ C / B где A , B и C – площади трех других
прямоугольников, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке. Осталось лишь подставить все
значения и получить ответ.
№ 20 (2) ПРИМЕР
ЗАДАЧИ:
13) На кольцевой дороге
расположено четыре бензоколонки: А, Б, В и Г. Расстояние между А и Б — 50
км, между А и В — 40 км, между В и Г — 25
км, между Г и А — 35 км (все расстояния измеряются вдоль кольцевой дороги по
кратчайшей дуге). Найдите расстояние (в километрах) между Б и В.
РЕШЕНИЕ:
Данную задачу проще
всего решать графически. Рассмотрим всевозможные варианты расположения
бензоколонок по кольцевой дороге, но перед этим посчитаем количество различных
вариантов (начиная с точки А по часовой стрелке):
АВГБ и АБГВ
АГБВ и АВБГ
АБВГ и АГВБ
Всего разных вариантов
получается 3, рассмотрим каждый из них.
Вариант 1.
Отмечаем
местоположение бензоколонки А. Бензоколонку Б расположим на расстоянии 50
км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку В – на расстоянии 40
км по часовой стрелке относительно А. Бензоколонку Г – на расстоянии 25
км по часовой стрелке относительно В. Тогда расстояние от А до Г равно 65
км (40 + 25 через В) или более 50 км (через Б), а оно должно быть равно 35. Значит,
данный вариант не подходит.
Вариант 2
Отмечаем
местоположение бензоколонки А. Бензоколонку Б расположим на расстоянии 50
км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку В – на расстоянии 40
км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку Г – на расстоянии 25
км против часовой стрелки относительно В. Тогда расстояние от А до Г через В и
Б равно 65 км, а по часовой стрелке оно вполне может быть равно 35
км. В этом случае расстояние между Б и В равно 10
км.
Вариант 3
Отмечаем местоположение бензоколонки А.
Бензоколонку Б расположим на расстоянии 50
км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку В – на расстоянии 40
км против часовой стрелки относительно А. Бензоколонку Г – на расстоянии 25
км по часовой стрелке относительно В. Тогда расстояние от А до Г по кратчайшей
дуге равно 15 км, а оно должно быть равно 35
км. Значит, данный вариант не подходит. Все остальные варианты будут совпадать
с предыдущими. Получается, что расстояние между бензоколонками Б и В равно 10
км. ОТВЕТ: 10
14) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 2 золотых монеты получить 3 серебряных и
одну медную;
2) за 5 серебряных монет получить 3 золотых и
одну медную.
У Николая были только серебряные монеты. После
нескольких посещений обменного пункта серебряных монет у него стало меньше,
золотых не появилось, зато появилось 50 медных. На сколько уменьшилось
количество серебряных монет у Николая?
15)
16) В обменном пункте можно совершить одну из двух операций:
1) за 3 золотых монеты получить 4 серебряных и
одну медную;
2) за 6 серебряных монет получить 4 золотых и одну
медную.
У Николы были только серебряные монеты. После посещений
обменного пункта серебряных монет у него стало меньше, золотых не появилось,
зато появилось 35 медных. На сколько уменьшилось количество серебряных
монет у Николы?
Ответ 10. Решение: в тетради
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.