Конспект по математике "В мире симметрии"

 

     Содержание

1.    “Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

2.    Симметрия в математике

3.    Симметрия в ботанике

4.    Симметрия в архитектуре

5.    Симметрия в зоологии

6.    Симметрия в транспорте

“Принцип симметрии охватывает все новые и новые области…”

      Понятие симметрии проходит через всю историю человечества. Оно встречается уже у истоков человеческого знания. Возникло оно в связи с изучением живого организма, а именно человека. И употреблялось скульпторами ещё в 5 веке до н. э.

Слово “симметрия” греческое, оно означает “соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей”.

       Об этой закономерности задумывались многие великие люди. Например,

Л. Н. Толстой говорил: “Стоя перед черной доской и рисуя на ней мелом разные фигуры, я вдруг был поражен мыслью: почему симметрия понятна глазу? Что такое симметрия? Это врожденное чувство, отвечал я сам себе. На чем же оно основано?”. Действительно симметричность приятна глазу. Кто не любовался симметричностью творений природы: листьями, цветами, птицами, животными; или творениями человека: зданиями, техникой, – всем тем, что нас с детства окружает, тем, что стремится к красоте и гармонии.

Понятие «Симметрия» широко используют все без исключения направления современной науки.

Симметрия в математике

Герман Вейль сказал: “Симметрия является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство”. Герман Вейль – это немецкий математик. Его деятельность приходится на первую половину ХХ века. Именно он сформулировал определение симметрии, установил по каким признакам усмотреть наличие или, наоборот, отсутствие симметрии в том или ином случае. Таким образом, математически строгое представление сформировалось сравнительно недавно – в начале ХХ века. Оно достаточно сложное. Мы же обратимся и еще раз вспомним те определения, которые даны нам в учебнике.

Две точки А и А’ назы­ваются симметричными относительно прямой а, если эта прямая проходит через середину отрезка АА’ и перпендикулярна к нему (рис.1 а). Каждая точка  прямой a считается симметричной самой себе. На рисунке 2б точки М и М’, N к N’ симметричны относительно прямой b, а точка Р симметрична самой себе отно­сительно этой прямой.

    Фигура называется симметричной относительно прямой а, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относитель­но прямой а также принадлежит этой фигуре. Прямая а назы­вается осью симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обла­дает осевой симметрией. Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией (рис.2)

       У неразвернутого угла одна ось симметрии — прямая, на которой расположена биссектриса угла.

Равнобедренный (но не равносторонний) треугольник имеет также одну ось симметрии

Равносторонний треугольник — три оси сим­метрии.

Прямоугольник и ромб, не являющиеся квадратами, имеют по две оси симметрии.

Квадрат — четыре оси симметрии.

У ок­ружности их бесконечно много — любая прямая, проходящая че­рез ее центр, является осью симметрии.

Имеются фигуры, у кото­рых нет ни одной оси симметрии. К таким фигурам относятся параллелограмм,  отличный от  прямоугольника,  разносторонний треугольник.

Две точки А и А’  называются симметричными относительно точки О, если  О — середина  отрезка АА’   (рис. 3).

                                                           б

рис.3

      О считается симметричной самой себе. На рисунке 3б точ­ки М и М’, N и N’ симметричны относительно точки О, а точки Р и Q не симметричны относительно этой точки.

Фигура называется симметричной относительно точки О, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно точки О также принадлежит этой фигуре. Точка О называется центром симметрии фигуры. Говорят также, что фигура обладает центральной симметрией. Примерами фигур, обладающих цент­ральной симметрией, являются окружность и параллелограмм (рис.4).

рис.4

      Центром симметрии окружности является центр окружности, а центром симметрии параллелограмма—точка пе­ресечения его диагоналей. Прямая также обладает централь­ной симметрией, однако в отличие от окружности и параллело­грамма, которые имеют только один центр симметрии (точка О на рисунке 4), у прямой их бесконечно много — любая точка прямой является ее центром симметрии. Примером фигуры, не имеющей центра симметрии, является треугольник.

Симметрия в ботанике

Ботаника – наука о растениях. Она охватывает огромный круг проблем: их систематику; развитие в течение геологического времени; возможности хозяйственного использования растений; закономерности внешнего и внутреннего строения растений.
       Вопрос поиска закономерностей внешнего строения растений  возник ещё в 5 веке до н. э. На явление симметрии в живой природе обратили внимание в Древней Греции пифагорейцы в связи с развитием ими учения о гармонии. В 19 веке появлялись отдельные работы, касающиеся этой темы. А в 1961 году как результат многовековых исследований, посвященных поиску красоты и гармонии окружающей нас природы, появилась наука биосимметрика.
Начнем с показа примеров осевой симметрии в ботанике. Ребята представляют рисунки с различными частями растений, обладающими осевой симметрией.

Центральная симметрия наиболее характерна для цветов и плодов растений. Центральная симметрия характерна для различных плодов, но мы остановились на ягодах: голубика, черника, вишня, клюква. Рассмотрим разрез любой из этих ягод. В разрезе она представляет собой окружность, а окружность, как нам известно, имеет центр симметрии.
Центральную симметрию можно наблюдать на изображении следующих цветов: цветок одуванчика, цветок мать-и-мачехи, цветок кувшинки, сердцевина ромашки, а в некоторых случаях центральной симметрией обладает и изображение всего цветка ромашки. На данном рисунке представлена ромашка. Её сердцевина представляет собой окружность, и поэтому центрально симметрична, так как мы знаем, что окружность имеет центр симметрии. Весь же цветок обладает центральной симметрией только в случае четного количества лепестков. В случае же нечетного количества лепестков, вспомните анютины глазки, он обладает только осевой.

Выводы:

1.                      По нашим наблюдениям, в любом растении можно найти какую-то его часть, обладающую осевой или центральной симметрией. Это могут быть листья, цветы, стебли, стволы деревьев, плоды, и более мелкие части, такие как сердцевина цветка, пестик, тычинки и другие.

2.                      Осевая симметрия присуща различным видам растений и грибам, и их частям.

3.                      Центральная симметрия наиболее характерна для плодов растений и некоторых цветов.

Симметрия в архитектуре

Архитектура – удивительная область человеческой деятельности. В ней тесно переплетены и строго уравновешены наука, техника, искусство. Только соразмерное, гармоничное сочетание этих начал делает возводимое человеком сооружение памятником архитектуры. Архитектурный облик здания архитектор создает с помощью строительного материала, образ же его созидается творческим мышлением. Одним из художественных средств, которые он использует, является композиция здания. От неё в первую очередь зависит впечатление, которое оставляет архитектурное сооружение. Мы предлагаем Вам прогуляться по Петербургу и особенно обратить внимание на композиции зданий города, на их симметричность.
Начнем с XVIII века. Именно в это время началась застройка города. Из зданий этого века мы представим Вам здание Кунсткамеры, сооруженного в 1718-1734 годах на Васильевском острове.
      К середине XVIII века архитектурный облик Петербурга становится все более торжественным и нарядным. Эта эпоха оставила замечательные образцы стиля барокко. Этот стиль отличается присутствием криволинейных форм. Грандиозные архитектурные ансамбли (группа зданий, объединенных общим замыслом) поражают воображение множеством украшений на фасадах. Архитектурные формы изгибаются, переплетаются со скульптурой. Примером является Екатерининский дворец, воздвигнутый по проекту Ф.-Б. Растрелли в Царском селе. В этом же стиле воздвигнуты по проектам С. И. Чевакинского Никольский морской собор и дворец Шереметьевых. Проведём математическое обоснование осевой симметрии фасада Никольского морского собора.

Во второй половине XVIII - первой трети XIX века Петербург приобрёл воспетый А.С. Пушкиным “строгий, стройный вид”, который придала городу архитектура классицизма. Все здания, построенные в стиле классицизм, имеют четкие прямолинейные симметричные композиции. На фоне гладких стен выступают портики и колоннады, которые придают сооружениям торжественную монументальность и парадность. Проведём математическое обоснование осевой симметрии фасада Таврического дворца.

В начале XIX века по проекту А.Н. Воронихина было сооружено выдающееся произведение искусства – Казанский собор. Перед Казанским собором симметрично установлены памятники М.И. Кутузову и М.Б. Барклаю-де-Толли, полководцам, разгромившим армию Наполеона.

Примером современных зданий, построенных в середине ХХ века, является гостиница “Прибалтийская”. Симметричность, как видно из чертежа присутствует как в общей композиции, так и в каждой из трех его составляющих.

Мы также представим Вам пример современной архитектуры. Недавно проходил конкурс на лучший проект по созданию нового здания Мариинского театра. Мы выбрали один из них. На первый взгляд это сооружение абсолютно несимметрично. Но в нем присутствуют элементы, обладающие тем или иным видом симметрии. Французский архитектор Доминик Перро в данном случае ищет самовыражение в преобладании асимметричности.

Выводы:

1.    Принципы симметрии являются основополагающими для любого архитектора, но вопрос о соотношении между симметрией и асимметрией каждый архитектор решает по-разному. Асимметричное в целом сооружение может являть собой гармоническую композицию симметричных элементов.

2.    Удачное решение определяется талантом зодчего, его художественным вкусом и его пониманием прекрасного. Прогуляйтесь по нашему городу и убедитесь, что удачных решений может быть очень много, но неизменным остается одно – стремление архитектора к гармонии, а это в той или иной степени связано с симметрией.

Симметрия в зоологии

Рассмотрим, как связаны животный мир и симметрия. Сначала расскажем, что же такое зоология и чем эта наука занимается. Её предмет – изучение животного мира и именно строения и деятельности тела животных, их развития, распределения по земле и отношений к окружающей (животной и мертвой) природе. Конечная цель ее – выяснение законов, управляющих явлениями животного мира, объяснение с их помощью происхождение современного мира животных и установление естественной системы животных.

Существует множество таких законов и один из них это закон симметрии. Как мы знаем, на плоскости существует два вида симметрии: осевая и центральная. Наше исследование заключалось в поиске примеров этих двух видов симметрии в животном мире.

Начнём с осевой симметрии. По нашим наблюдениям, она присуща большому количеству видов животных. Мы остановили свой выбор на тех животных, которые занесены в “Красную книгу”, чтобы ещё раз подчеркнуть необходимость заботливого отношения к братьям нашим меньшим. Ребята представляют животных различных видов, для некоторых из них проводят математическое обоснование.

Теперь рассмотрим центральную симметрию. По нашим наблюдениям, центральная симметрия наиболее характерна для животных, ведущих подводный образ жизни <Рисунок 12>, <Рисунок 13>.

Мы также нашли пример асимметричных животных: инфузория-туфелька и амёба <Рисунок 14>.

Выводы:

1.    Симметрию живого существа определяет направление его движения. Для живых существ, для которых ведущим направлением является направление движения “вперед”, наиболее характерна осевая симметрия. Так как в этом направлении животные устремляются за пищей и в этом же спасаются от преследователей. А нарушение симметрии привело бы к торможению одной из сторон и превращению поступательного движения в круговое.

2.    Центральная симметрия чаще встречается в форме животных, обитающих под водой.

3.    Асимметрию можно наблюдать на примере простейших животных.

Симметрия в транспорте

В жизни большого города  транспорт играет значительную роль. И мы ежедневно сталкиваемся с различными его проявлениями. Зачем же нам нужен транспорт? Когда человеку понадобилось быстро перемещаться на большие расстояния и перевозить тяжелые грузы, он задумался о транспорте. Сначала он использовал силу животных: лошадей, верблюдов, оленей, собак.
И сейчас мы встречаем в нашем городе повозки и сани, запряженные лошадьми.
В основе такой повозки лежит фигура, обладающая осевой симметрией.

С дальнейшим развитием городов появилась потребность в общественном транспорте. Так в 1863 году началось регулярное пассажирское движение вагонов “конно-железных дорог” или, попросту, конок, по центральным улицам  города. Форма самой повозки принципиально не изменилась, а лишь вытянулась вдоль первоначальной оси симметрии. Представьте её вид сверху, в основе также прямоугольник <Рисунок 15>.

С историей  Петербурга непосредственно связано развитие железнодорожного транспорта. Год 1836. Николай I утверждает устав постройки первой в России железной дороги – Царскосельской: от Петербурга до Павловска. Уже через год рельсы были проложены. Создатели первых в стране железных путей и паровозов – Ефим и Мирон Черепановы, отец и сын. В 1834 году на Выйском заводе, Черепановы построили одну из первых в мире железных дорог, а уже в 1837 году первые составы пошли по железной дороге Петербург – Царское Село.

После этого были изобретены тепловозы и электровозы. Замечательно то, что с развитием науки и техники стремление человека к симметричности форм сохраняется. Мы продемонстрируем её на примере вида спереди электровоза.

Дальнейшее развитие рельсового транспорта предполагает создание капсулы. Представьте её вид сверху. У этой фигуры две оси симметрии.

Центральная симметрия не совместима с формой наземного и подземного транспорта. Причиной этого служит его направление движения. При рассмотрении вида сверху трамвая, электровоза, телеги, мы видим, что ось симметрии проходит вдоль направления движения. Таким образом, центральную симметрию следует искать в воздушном и подводном транспорте, т. е. в таких видах, где направления: вперед, назад, вправо, влево, – равноценны.

Один из таких видов транспорта – это воздушный шар. В России первый полет на воздушном шаре был совершен 20 июня 1803 года. Французский воздухоплаватель Андре Жак Герне с женой Женевьевой поднялись на шаре с Васильевского острова и, благополучно пролетев над городом, опустились на Малой Охте. Воздушный шар связан с мечтами человека покорить небо.Другой пример воздушного транспорта – это парашют. Ученые относят его изобретение еще к 13 веку. На нашем чертеже мы представили вид сверху воздушного шара. Отметим, что он аналогичен виду сверху парашюта. Как мы видим, эта фигура центрально симметрична. О – центр симметрии.

Дальнейшее развитие парашют получил в изобретении нашими учеными “надувного тормозного устройства”. Оно предназначено для спуска грузов и человека с орбиты. Надувное тормозное устройство представляет собой эластичную оболочку, наполняемую в космосе. Она имеет гибкую теплозащиту и дополнительную надувную оболочку. На базе него предполагается конструирование и спасательных устройств, которые могут использоваться, например, при пожаре в многоэтажных домах. Вид сверху этого устройства представляет собой круг. А круг, как мы знаем, не только обладает осевой симметрией, но и центральной. Центр симметрии совпадает с центром круга.

Выводы:

1.    Вид сверху и вид спереди различных видов транспорта обладает либо центральной, либо осевой симметрией.

2.    Для наземного вида транспорта в большей степени характерна осевая симметрия. Причиной этого является направление его движения.

3.    Центральная симметрия чаще встречается в форме воздушного и подводного транспорта, для которого направления: вправо, влево, вперед, назад, – равноценны.

4.    Модели транспорта будущего в той же степени, что и модели настоящего и прошлого обладают различными видами симметрии.