Конспект по начертательной геометрии

Министерство образования и науки РФ

Федеральное государственное образовательное учреждение

среднего профессионального образования

«Тольяттинский технический колледж ВАЗа»

Методическая разработка занятия

по теме: « Метод проекций. Эпюр Монжа»

(тип урока – лекция с созданием проблемных ситуаций)

Тольятти 2011

Методическая разработка занятия по теме: « Метод проекций. Эпюр Монжа»

Разработал: Костенко Н.М., преподаватель инженерной графика

Методическое пособие предназначено для использования преподавателями инженерной графики при подготовке к занятию (очной и заочной форм обучения).

Содержание

Введение

1 Краткая историческая справка. Предмет начертательная геметрия………..3

2

Выписка из рабочей программы – 2 часа

 Тема 2.1 Метод проекций. Эпюр Монжа

Студент должен:

знать:

— методы проецирования;

        — проецирование точки на три плоскости проекции;

—   приемы построения комплексного чертежа точки;

—   расположение точек относительно плоскостей проекции;

—   проецирование отрезка прямой на три плоскости проекции;

уметь:

—   измерять координаты точки;

—   читать комплексные чертежи проекций точек и прямых;

—   строить третью проекцию по двум заданным.

Образование проекций. Методы и виды проецирования. Типы проекций и их свойства. Комплексный чертеж. Понятие об эпюре Монжа. Проецирование точки на две и три плоскости проекций. Обозначение плоскостей проекций, осей проекций и проекций точки. Расположение проекций точки на комплексных чертежах, координаты точки. Проецирование отрезка прямой на две и на три плоскости проекций. Расположение отрезка прямой относительно плоскостей проекций. Относительное положение точки и прямой. Относительное положение двух прямых.

Упражнение. Построение наглядных изображений и комплексных чертежей проекции точки и отрезка прямой.

Введение

Ко времени ознакомления с данной темой студенты приобрели знания основных правил оформления чертежей, овладели навыками по вычерчиванию линий, окружностей и их дуг, плоских фигур. Вопрос, что  изображают эти плоские фигуры, не ставился. Поэтому вопрос о видах проецирования является принципиально новым и, следовательно, объяснение темы следует начать с обоснования ее назначения. Студентам следует сообщить о переходе  к новому разделу курса инженерной графики, называемого «Основы начертательной геометрии». Необходимо сделать краткий экскурс в историю становления начертательной геометрии,  ее задач и методах их решения.    

1 Краткая историческая справка

С древних времён человек пытался сохранить образ увиденного. Так появилась наскальная живопись. Затем человек стал украшать рисунками стены своего жилища, посуду, орудия труда и другие предметы быта. Цивилизация развивалась, и перед человеком стали возникать все более серьёзные технические задачи: составление схем и карт местности, изображение военных сооружений и жилых домов, мостов, орудий и предметов труда. Различные сферы человеческой деятельности, развитие производства требовали выработки неких общих правил и стандартов представления пространственной информации на плоскости. Ещё греческие и римские учёные, начав с изучения перспективы, пытались выработать некоторые правила представления имеющейся информации. В эпоху Возрождения начинается расцвет архитектуры, скульптуры, живописи, что приводит к разработке теоретических основ перспективы. Основателем теоретической перспективы был итальянский учёный Л. Альберти (1404-1472). Гениальный итальянский учёный и художник Леонардо да Винчи (1452-1519) дополнил линейную перспективу учением "Об уменьшении цветов и отчётливости очертаний". Французский математик и архитектор Ж. Дезарг (1593-1662) впервые применил для построения перспективы метод координат, положив этим начало аксонометрическому методу в начертательной геометрии. В 1795 году вышел труд "Начертательная геометрия" Гаспара Монжа (1746-1818), где он систематизировал и обобщил накопленный годами опыт геометрических построений, систематизировал метод проекций, ввел понятие "комплексный чертёж". Развитию начертательной геометрии в нашей стране способствовали такие художники, зодчие и учёные как А. Рублёв, Дионисий, В. Баженов, А. Воронихин, И. Ползунов, И. Кулибин и другие. Первым русским профессором начертательной геометрии был Я. А. Севостьянов (1796-1849), который создал оригинальный курс начертательной геометрии. Далее начертательная геометрия развивалась, открывая такие имена, как Н. И. Макаров, В. И. Курдюмов, А. К. Власов, Н. А. Глаголев, Н. Ф. Четверухин и многие другие. Начертательная геометрия проделала многотысячелетний путь от рисунка на песке, от древнеегипетской ортогональной живописи до современных систем автоматизированного проектирования, трехмерного моделирования и анимации  ( слайды 1..4).

2 Виды проецирования

Начертательная геометрия - наука, изучающая пространственные формы и способы изображения их на плоскости. Основная задача начертательной геометрии состоит в изучении методов построения изображения пространственных форм и в разработке способов решения пространственных задач при помощи изображений. Начертательная геометрия является базой для изучения инженерно-технических дисциплин: черчения, архитектуры, деталей машин и механизмов, теоретической и строительной механики и др. Начертательная геометрия имеет особое значение для развития пространственного воображения, которое необходимо в практической деятельности инженера, конструктора, дизайнера.

Прямой задачей начертательной геометрии является задача построения чертежа, т.е. изображения предмета на плоскости и изучение способов этого построения.
       Обратной задачей является восстановление по проекционному чертежу формы, размеров оригинала, взаимного расположения его элементов и других геометрических параметров.

Велика роль черчения в науке и на производстве. Чертеж - хорошее средство для получения и запоминания информации поскольку ~ 80 % информации человек получает с помощью зрения. В современном техническом чертеже передается информация, необходимая для производства, поэтому чертеж является одним из основных производственных документов. При составлении чертежа приходится преодолевать противоречие между непрерывностью изображаемого материального предмета и линейностью его изображения. Например, непрерывная поверхность на чертеже может быть задана только конечным количеством линий и точек. Изображаемый предмет называют оригиналом или моделью. Чертеж должен содержать геометрическую информацию о форме и размерах оригинала. К такому чертежу предъявляются следующие основные требования:

• Наглядность, т.е. давать пространственное представление об оригинале;
• Простота с точки зрения графического выполнения;
• Точность - графические операции, выполняемые на чертеже, должны давать достаточно точные решения.

 Для отображения точек оригинала на чертеже применяют операцию проецирования. Проецированием называется процесс отображения предмета на плоскости посредством проецирующих лучей. Имеется плоскость проецирования (ее иногда называют картинная плоскость), на которой получается изображение оригинала - точки А. Операция проецирования заключается в проведении через точку А прямой, которая называется проецирующей до пересечения с картинной плоскостью (слайды 5, 6).               

                                     

                                             Рисунок 1

Эти прямые называются проецирующими прямыми. Та плоскость, на которой мы получили изображение предмета, называется плоскостью проекции, а изображение предмета, которое мы получим на этой плоскости, называется его проекцией. Любой предмет представляет собой множество точек, поэтому изображение пространственной формы предмета сводится к отображению принадлежащих ему точек, и, следовательно, сущность метода проецирования можно рассмотреть на примере точки.

                                       

                                            Рисунок 2

П₁- плоскость проекций;

S – центр проекций;

А, В, С – точки пространства;

А₁, В₁, С₁ – проекции точек А, В, С на плоскость П₁

l_AэS; l_AэA; l_A∩П₁=А₁ – закон образования центральной проекции.

Студентам предлагается самостоятельно построить центральную проекцию точки В на плоскости П₁.

Вопрос: Что для этого надо сделать?

Ответ: Нужно провести прямую через точки S и  B.

Но, при построении студенты не знают, где эта прямая пересечет плоскость. Здесь нужно дать пояснения, что выполняемый чертеж является неопределенным, поэтому точку В₁ как и точку А₁ назначаем произвольно на l_A и  l_B соответственно в пределах П₁. Далее следует напомнить студентам о назначении чертежа в машиностроении. По чертежу необходимо представить объемные предметы, изображаемые на плоскости, т.е. прочитать чертеж.

По изображению точки нужно определить ее положение в пространстве. Обучающимся предлагается центральная проекция С₁ точки С. Требуется найти пространственное положение точки С.

В зависимости от положения центра проецирования и направления проецирующих лучей по отношению к плоскости проекций проецирование может быть либо центральным (коническим) (рисунок 2), либо параллельным (цилиндрическим) (рисунок 3).

 Проекцией точки А на плоскость проекций П₁, назы­вается точка А₁ пересечения проецирующей прямой l, проходящей через точку А,  с плоскостью проекций П₁, в соответствии с рисунком 1.

A' = l∩П₁ ,1эА.

Проекция любой геометрической фигуры есть мно­жество проекций всех ее точек. Направление проеци­рующих прямых I и положение плоскости проекций П  определяют аппарат проецирования.

В пространстве выбирают произвольную точку S (рисунок 1) в качестве центра проецирования и плоскость П₁, не проходящая через точку S, в качестве плоскости проекций (картинной плоскости). Чтобы спроецировать точку А на плоскость Пi , через центр проецирования S проводят луч SА до его пересечения с плоскостью Пi в точке А^’. Точку А^’ принято называть центральной проекцией точки А, а луч SА - проецирующим лучом.

Итак: центральным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие лучи исходят из одной точки S — центра проецирования, в соответствии с рисунком 2.

                 Рисунок 1                                   Рисунок 2

Параллельным проецированием называется такое проецирование, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению s, в соответствии с рисунком 3. Парал­лельное проецирование представляет собой частный слу­чай центрального проецирования, когда точка S нахо­дится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций П.

                 Рисунок 3                                                  Рисунок 4

Операция проецирования заключается в следующем. В пространстве задают плоскость проекций П ₁  и направление проецирования s (рисунок 5). Для проецирования произвольной точки А через нее проводят проецирующий луч l_А, параллельно заданному направлению проецирования s. Точка пересечения этого луча с плоскостью проекций и является проекцией заданной точки на плоскости проекций. Такое проецирование называется параллельным.

                                       А- точка в пространстве;

                                      П₁- плоскость проекций;

                                       s- направление проециро-

                                              вания;

                                          l_A // s, s ┴ П₁, l_A^П₁=А₁

                                          А₁- проекция точки А

     Рисунок 5                        на плоскость П₁                    

Если  направление   проецирования   перпендикулярно   плоскости  проекций

s ┴ П₁, то проецирование называют ортогональным.

                                      Рисунок 6

При заданном аппарате проецирования каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости проекций. Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А' может соответствовать бесчисленное множество точек А₁, А₂,…, А_n,…, расположенных на проецирующей прямой l, в соответствии с рисунком 4. Для определения поло­жения точки в простран­стве при любом аппарате проецирования необходи­мо иметь две ее проекции, полученные при двух раз­личных направлениях проецирования (или при двух различных центрах проецирования). 

Так, из рисунка 5 видно, что две проекции точки А (А'₁и А'₂), полученные при двух направлениях проеци­рования S₁ и S₂, определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве — как пере­сечение проецирующих прямых 1₁ и 1₂, проведенных из проекций этой точки А'₁ и А'₂ параллельно направ­лениям проецирования S₁ и S₂.

Основные свойства ортогонального проецирования:

1 Проекция точки есть точка.

2 Проекция прямой, в общем случае, есть прямая.

3 Если точка принадлежит прямой, то и проекция этой точки будет принадлежать проекции прямой.

4 Если прямые в пространстве параллельны, то и проекции их тоже параллельны.

5 Проекция отрезка, в общем случае всегда меньше самого отрезка.

6 Проекция окружности, в общем случае, есть эллипс.

Однозначное определение положения геометрической фигуры в пространстве по проекциям может быть обеспечено проецированием на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Основоположником этого метода является французский геометр Гаспар Монж (18в.)

Одну из плоскостей проекций располагают горизонтально – ее называют горизонтальной плоскостью проекций (П₁), вторую – вертикально – ее называют фронтальной плоскостью проекций (П₂), третью – вертикально и перпендикулярно П₁ и П₂. Ее называют профильной плоскостью проекций (П₃) (рисунок 2.3).

Линии пересечения плоскостей проекций – x, y, z.

Ортогонально проецируем точку А на плоскости проекций.

Чтобы получить плоское изображение точки, необходимо путем поворота плоскостей П₁ и П₃  совместить их с плоскостью П₂. В результате получается чертеж точки известный под названием эпюр Монжа (рисунок 2.4).

                                                       АА₁, АА₂, АА₃ – проецирующие лучи;

                                                       АА₁┴П₁, АА2┴П₂, АА₃┴П₃

                                                       А₁ – горизонтальная проекция точки А;

                                                       А₂ – фронтальная проекция точки А;

                                                       А₃ – профильная проекция точки

         Рисунок 2.3

                                                      А₁А₂, А₂А₃ – линии связи;

                                                      А₁А₂┴x, А₂А₃┴z;

                                                      А₁1=А₃2

         Рисунок 2.4

Задание точки двумя ортогональными проекциями равносильно заданию ее тремя прямоугольными координатами.

А₁ – определяется координатами X_А и  Y_А;

А₂ - определяется координатами X_А и  Z_А;

А₃ - определяется координатами Z_А и Y_А.

Упражнение. Построение наглядных изображений и комплексных чертежей проекции точки и отрезка прямой [    ], [    ] .