- 23.01.2018
- 5031
- 1
1. Центральное растяжение и сжатие. Метод сечений. Внутренние силы в поперечных сечениях. Правило знаков. Построение эпюр нормальных сил.
Понятие центрального растяжения (сжатия)
Центральным растяжением или сжатием называется деформация стержня под действием двух равных и прямопротивоположных сил, приложенных к концевым сечениям и направленных по оси стержня. Если эти силы направлены наружу от концевых сечений, то стержень растягивается, если внутрь, то – сжимается.
При растяжении или сжатии в поперечных сечениях стержня возникают только нормальные силы Nx ≠ 0, а все остальные внутренние усилия (поперечные силы, крутящий и изгибающие моменты) равны нулю. При растяжении нормальная сила считается положительной (Nx > 0), т.к. она увеличивает длину стержня (вызывает удлинение); при сжатии – отрицательной (Nx ˂ 0), стержень укорачивается.
Обычным является растяжение стержня силами, приложенными к его концам. Передача усилия к стержню может быть осуществлена различными способами, как это показано на рис. 2. Однако во всех случаях система внешних сил образует равнодействующую F, направленную вдоль оси стержня. Поэтому независимо от условий закрепления стержня расчётная схема в рассматриваемых случаях оказывается одной и той же (рис. 2 г). Все места закрепления согласно принципу Сен-Венана исключаются из расчётной схемы растяжения стержня.
Рис. 2. Способы передачи усилий при растяжении стержня (конструкции захватов)
Если воспользоваться методом сечений, то обнаружим, что во всех поперечных сечениях стержня возникают нормальные силы Nx, равные силе F (рис. 3): N = F.
Рис. 3. Определение нормальной силы при растяжении
На рисунке 4 показано применение метода сечений к стальному ступенчатому стержню круглого поперечного сечения. Левый конец стержня заделан, например, приварен к опоре сваркой. К правому концу приложена внешняя сила F, направленная вдоль продольной оси стержня. В соответствии с условием равновесия в месте закрепления стержня возникнет опорная реакция R = F, т.е. стержень фактически растягивается силами F. Диаметр сечения I меньше диаметра сечения II. Поэтому площадь сечения A1 меньше площади сечения A2.
Рис. 4. Растяжение стержня со ступенчатым поперечным сечением
Применяем метод сечений. В сечении I мысленно отбрасываем правую часть стержня, и её действие на левую часть заменяем нормальной силой N1. По правилу метода сечений нормальная сила N1 равна сумме проекций на продольную ось x всех внешних сил, действующих слева от рассматриваемого сечения I (т.к. отброшена правая часть стержня). Так как слева находится только одна сила R = F, направленная вдоль оси стержня, то N1 = F.
Аналогично, мысленно отбрасывая левую часть, к сечению II приложим нормальную силу N2. Применяя этот же метод к сечению II, получаем N2 = F. В итоге N1 = N2 = F.
Таким образом, при центральном растяжении во всех сечениях стержня независимо от их размеров возникает одна и та же нормальная сила N = F. Следовательно, нормальная сила не может быть принята за меру прочности, т.к. при одной и той же нормальной силе разрушение стержня произойдет в его тонкой части.
Поэтому за меру прочности принимается нормальное напряжение σ, которое определяется делением нормальной силы N на площадь поперечного сечения A, по которому напряжение равномерно распределено
σ = N/A = F/A. (Р01)
Так как площадь поперечного сечения тонкой части стержня A1 меньше площади сечения A2, то напряжение σ1 > σ2. Напряжение σ1 является опасным, но нему следует вести расчёт на прочность этого стержня.
Правило знаков N≥0 при растяжении
N≤0 при сжатии
2.Центральное растяжение и сжатие. Удлинение стержня. Абсолютная и относительная продольная и поперечная деформации. Коэффициент Пуассона.
Размеры растянутого стержня меняются в зависимости от величины приложенных сил. Если до приложения нагрузки длина стержня была L, то после её приложения она стала равной L + ∆L (рис. 5). Величину ∆L называют абсолютным удлинением стержня. Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называется относительным удлинением (или деформацией) ε:
ε = ∆L/L. (Р02)
Если бы в стержне (рис. 5) по его длине возникало бы неоднородное напряжённое состояние, то деформация в сечении А определялась бы путём предельного перехода к малому участку длиной dx и тогда
ε = ∆dx/dx. (Р03)
Рис. 5. Удлинение стержня при растяжении
Вследствие равномерного распределения напряжений по сечению удлинение всех элементарных отрезков (волокон) ab (рис. 5), взятых на участке dx, оказываются одинаковыми. Следовательно, если концы отрезков до приложения нагрузки образуют плоскость, то и после её приложения они тоже образуют плоскость, но смещенную вдоль оси стержня. Это заключение составляет гипотезу плоских сечений (гипотезу Бернулли), которую можно сформулировать так: «плоские сечения стержня до приложения нагрузки остаются плоскими и после её приложения». Гипотеза плоских сечений обосновывает высказанное ранее предположение о равномерности распределения напряжений в поперечном сечении.
Отношение абсолютного удлинения стержня к его первоначальной длине называетсяотносительным удлинением ( – эпсилон) или продольной деформацией. Продольная деформация – это безразмерная величина. Формула безразмерной деформации:
При растяжении продольная деформация считается положительной, а при сжатии – отрицательной.
Поперечные размеры стержня в результате деформирования также изменяются, при этом при растяжении они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Если материал является изотропным, то его поперечные деформации равны между собой:
Опытным путем установлено, что при растяжении (сжатии) в пределах упругих деформаций отношение поперечной деформации к продольной является постоянной для данного материала величиной. Модуль отношения поперечной деформации к продольной, называемый коэффициентом Пуассона
Коэффициент Пуассона
Опыт показывает, что при растяжении удлинение стержня в продольном направлении сопровождается пропорциональным сужением стержня в поперечном направлении (рис. 7). Это явление впервые обнаружил французский учёный, математик, механик и физик Симеон Дени Пуассон (1781-1840).
Если обозначить продольную деформацию и поперечную деформацию соответственно
ε = 
,
εп = 
то, как показывает опыт,
εп = – µ ε, (Р07)
отсюда µ = [εп/ε].
Рис. 7. К анализу деформаций в растянутом стержне
В этих формулах µ – коэффициент Пуассона, который равен отношению поперечной деформации к продольной деформации по модулю. Величина µ характеризует свойство материала и определяется экспериментально. Для всех металлов числовые значения µ лежат в пределах 0,25 – 0,35, для пробки µ = 0, для резины – 0,5. Для изотропного материала величина µ, вообще, не может превышать 0,5.
3. Напряжения и деформации при центральном растяжении. Закон Гука. Модуль упругости первого рода.
|
Механические свойства твердых тел. |
||
|
По характеру изменения формы тела можно выделить деформации растяжения и сжатия, кручения, изгиба, сдвига. Виды упругих деформаций: 1. Линейная: а) Растяжение (тросы подъемных кранов, канатных дорог, буксирные тросы) б) Сжатие (колонны, стены, фундаменты зданий). При растяжении тела удлиняются и одновременно уменьшаются в поперечных размерах. Это хорошо видно при растяжении плоского резинового жгута, на котором начерчена сетка линий. |
Растяжение |
|
|
|
|
|
|
2. Сдвиг (заклепки, болты, соед. металлические конструкции, процесс разрезания ножницами бумаги). Деформация сдвига обусловливается двумя равными по модулю и противоположными по направлению моментами сил. При сдвиге любой мысленно выделенный в теле прямоугольный параллелепипед превращается в наклонный, равный ему по объему. Сдвиг возникает во всех трущихся телах как при трении покоя, так и при трении скольжения. Деформации сдвига подвергаются заклепки, скрепляющие два листа, если эти листы растягиваются. Сдвигаются и волокна бумаги при разрезании ее ножницами. |
Сдвиг |
|
|
3. Кручение (завинчивание гаек, работа валов машин, сверление металлов и т.п.). Чтобы пронаблюдать деформацию кручения, можно взять в руки резиновый стержень, вдоль образующей которого проведена прямая линия, и повернуть его в разных направлениях. Линия примет винтовую форму. Деформации кручения подвергаются валы, передающие вращающий момент от двигателей к колесам автомобилей и гребным винтам теплоходов. Эту же деформацию испытывает ручка отвертки при заворачивании шурупа. Растягивание цилиндрической пружины также приводит к кручению проволоки, из которой она изготовлена. 4. Изгиб (формально деформация растяжения и сжатия, различная в разных частях тела. Нейтральный слой - слой, не подвергающийся ни растяжению, ни сжатию, при изгибе.) Деформацию изгиба можно пронаблюдать, закрепив на столе линейку и подвесив к ее концу груз. Изгиб испытывают потолочные плиты зданий, железнодорожные рельсы, рычаги. |
|
|
|
Деформацию растяжения и сжатия можно охарактеризоватьабсолютной деформацией Dℓ, равной разности длин образца после растяжения ℓ и до него ℓ0: Dℓ = ℓ – ℓ0 |
Dℓ = ℓ – ℓ0 |
|
|
Отношение абсолютной деформации Dℓ к первоначальной
длине образцаℓo называют относительной
деформацией: |
||
|
Силы упругости. При деформациях твердого тела его частицы (атомы, молекулы, ионы), находящиеся в узлах кристаллической решетки, смещаются из своих положений равновесия. Этому смещению противодействуют силы взаимодействия между частицами твердого тела, удерживающие эти частицы на определенном расстоянии друг от друга. Поэтому при любом виде упругой деформации в теле возникают внутренние силы, препятствующие его деформации. Силы, возникающие в теле при его упругой деформации и направленные против направления смещения частиц тела, вызываемого деформацией, называют силами упругости. Силы упругости действуют в любом сечении деформированного тела, а также в месте его контакта с телом, вызывающим деформации. В случае одностороннего растяжения или сжатия сила упругости направлена вдоль прямой, по которой действует внешняя сила, вызывающая деформацию тела, противоположно направлению этой силы и перпендикулярно поверхности тела |
||
Английский учёный Роберт Гук (1635-1703), испытывая растяжение проволочек под различной нагрузкой, впервые выявил пропорциональную зависимость между силой и упругой деформацией. В 1660 году эту закономерность он сформулировал следующим образом: «какова сила, таково и действие». В пределах малых удлинений закон Гука справедлив для подавляющего большинства материалов. В современной трактовке этот закон устанавливает прямую пропорциональную зависимость между напряжениями и деформациями:
σ = Е*ε. (Р04)
Величина Е представляет собой коэффициент пропорциональности, называемый модулем упругости первого рода или модулем Юнга. Модуль упругости является физической константой материала и определяется экспериментально.
Величина Е так же, как и σ измеряется в мегапаскалях. Для стали Е = (2 – 2,1)*105 МПа, для медных сплавов Е = (1 - 1,2)*105 МПа, для алюминиевых сплавов Е = (0,7 – 0,8)*105 МПа, для дерева вдоль волокон Е = (0,08 – 0,12)*105 МПа.
Заменив в выражении (Р04) σ на N/A, а ε на ∆dx/dx, получим
∆dx = 
.
Абсолютное удлинение стержня на длине L будет равно
∆L = 
(Р05)
В том случае, когда стержень из однородного материала нагружен только по концам, нормальная сила N = F и не зависит от x, а размеры поперечного сечения стержня постоянны по всей его длине, тогда из выражения (Р05) получаем
∆L = 
(Р06)
где
произведение 
называется жёсткостью стержня при
растяжении (сжатии).
Таким образом, удлинение стержня прямо пропорционально растягивающей силе и
длине стержня, обратно пропорционально его жёсткости при растяжении.
4.Образцы материалов и испытательное оборудование. Диаграмма растяжения малоуглеродистой стали.
Образцы
Для испытания на кручение в качестве основных применяют цилиндрические образцы с диаметром в рабочей части 10 мм и с расчетной длиной 100 и 50 мм, с головками на концах для закрепления в захватах испытательной машины.
Примечание. Расчетной длиной считают длину цилиндрической части образца, на которой производят измерение угловой деформации. Измерительная база прибора должна располагаться в средней части образца. Испытания образцов из металлопродукции диаметром менее 5 мм проводятся только с учетом требований стандартов на эти виды продукции.
· Допускается испытание образцов и изделий, пропорциональных нормальным, а также трубчатых образцов.
Примечание. Результаты испытания трубчатых образцов могут быть использованы только при отсутствии потери их устойчивости.
· Форма и размеры головок образца определяют способом крепления образца в захватах испытательной машины.
· Переход от рабочей части образца к его головкам должен быть плавным с радиусом закругления не менее 3 мм.
· Разность между наибольшим и наименьшим диаметром на рабочей части основного образца не должна превышать 0,2% номинального значения диаметра.
· Измерение диаметра образца производится с погрешностью не более 0,01 мм, а его длины с погрешностью не более 0,1 мм.
· Проверку размеров образца проводят до испытания измерительным инструментом, обеспечивающим требования п. 3.6.
· Технология изготовления образцов не должна оказывать влияния на механические свойства исходного материала.
· Шероховатость поверхности рабочей части основных цилиндрических образцов должна соответствовать Rа<0,63 мкм по ГОСТ 2789—73.
Испытательное оборудование
Для испытания на кручение может быть использована испытательная машина, которая обеспечивает: свободное кручение образцов без каких-либо дополнительных нагрузок на образце в течение всего процесса испытания; центрирование образца в захватах с несоосностью не более 0,1 мм на каждые 100 мм; плавность статического нагружения (без толчков и ударов); свободное перемещение одного из захватов вдоль оси образца; измерение нагрузки с погрешностью, не превышающей ±1% от величины измеряемой нагрузки, начиная с 0,2 наибольшего значения каждого диапазона, но не ниже 0,04 предельной нагрузки; вариации показаний силоизмерителя при повторных нагружениях и нагрузке, не превышающие допускаемую погрешность силоизмерения; возможность нагружения с точностью одного наименьшего деления шкалы силоизмерителя испытательной машины; сохранение постоянства показаний силоизмерителя в течение не менее 30 с; измерение угла закручивания с погрешностью, не превышающей 1°.
Диаграмма растяжение малоуглеродистой стали
Диаграмма растяжения показывает зависимость удлинения образца от продольной растягивающей силы.
Ее построение является промежуточным этапом в процессе определения механических характеристик материалов (в основном металлов).
Диаграмму растяжения материалов получают экспериментально, при испытаниях образцов на растяжение.
Для этого образцы стандартных размеров закрепляют в специальных испытательных машинах (например, УММ-20 или МИ-40КУ) и растягивают до их полного разрушения (разрыва). При этом специальные приборы фиксируют зависимость абсолютного удлинения образца от прикладываемой к нему продольной растягивающей нагрузки и самописец вычерчивает кривую характерную для данного материала.
На рис. 1 показана диаграмма для малоуглеродистой стали. Она построена в системе координат F-Δl, где:
F - продольная растягивающая сила, [Н];
Δl - абсолютное удлинение рабочей части образца, [мм]
Как видно из рисунка, диаграмма имеет четыре характерных участка:
I - участок пропорциональности;
II - участок текучести;
III - участок самоупрочнения;
IV - участок разрушения.
Рассмотрим подробнее процесс построения диаграммы.
В самом начале испытания на растяжение, растягивающая сила F, а, следовательно, и деформация Δl стержня равны нулю, поэтому диаграмма начинается из точки пересечения соответствующих осей (точка О).
На участке I до точки A диаграмма вычерчивается в виде прямой линии. Это говорит о том, что на данном отрезке диаграммы, деформации стержня Δl растут пропорционально увеличивающейся нагрузке F.
После прохождения точки А диаграмма резко меняет свое направление и на участке II начинающемся в точке B линия какое-то время идет практически параллельно оси Δl, то есть деформации стержня увеличиваются при практически одном и том же значении нагрузки.
В этот момент в металле образца начинают происходить необратимые изменения. Перестраивается кристаллическая решетка металла. При этом наблюдается эффект его самоупрочнения.
После повышения прочности материала образца, диаграмма снова "идет вверх" (участок III) и в точке D растягивающее усилие достигает максимального значения. В этот момент в рабочей части испытуемого образца появляется локальное утоньшение (рис. 2), так называемая "шейка", вызванное нарушениями структуры материала (образованием пустот, микротрещин и т.д.).
Вследствие утоньшения, и, следовательно, уменьшения площади поперечного сечения образца, растягивающее усилие необходимое для его растяжения уменьшается, и кривая диаграммы "идет вниз".
В точке E происходит разрыв образца. Разрывается образец конечно же в сечении, где была образована "шейка"
Работа, затраченная на разрыв образца W равна площади фигуры образованной диаграммой. Ее приближенно можно вычислить по формуле:
W=0,8Fmax⋅Δlmax
По диаграмме также можно определить величину упругих и остаточных деформаций в любой момент процесса испытания.
5.Упругость материала. Механизм упругой деформации.
Упругость материала
Упругость — это свойство твёрдых материалов возвращаться в изначальную форму при упругой деформации. Твёрдые предметы будут деформироваться после приложенной на них силы. Если убрать силу, то упругий материал восстановит начальную форму и размер.
Физические причины для упругого поведения могут быть совершенно различными для разных материалов. В металлах атомная решётка меняет размер и форму при приложении силы (добавлении энергии в систему). Когда сила убирается, решётка возвращается обратно в прежнее энергетическое состояние. Для резины и других полимеров упругость вызывается растяжением полимерной цепочки (см. «Высокоэластичное состояние»).
Абсолютная упругость — это идеализация реального мира, и даже при небольших деформациях мало материалов остаются совершенно упругими. В инженерном деле упругость материалов измеряется двумя типами параметров материала:
Модуль упругости показывает механическое напряжение (количество силы на единицу площади), которое необходимо приложить для достижения определённого уровня деформации. Модуль измеряется в паскалях (Па) или фунтах силы на кв. дюйм (psi или lbf/in2). Высокий модуль обычно показывает, что материал труднее деформировать.
Предел упругости — максимальное напряжение, вне которого материал больше не ведёт себя как упругий, а будет иметь место деформация материала. После снятия напряжения материал эластично вернётся в постоянно деформированную форму вместо оригинальной.
Чтобы описать относительную упругость двух материалов, должны рассматриваться и модуль, и предел упругости. У резины, как правило, низкий модуль, и она обычно сильно растягивается (у неё высокий предел упругости), и поэтому проявляет большую эластичность, чем металлы в ежедневном применении. Если взять два резиновых материала с одним и тем же пределом упругости, то тот, у кого более низкий модуль, будет казаться более эластичным.
Механизм упругой деформации
Деформацией называется изменение формы и размеров тела под действием нагрузки. Деформация, исчезающая после снятия нагрузки, называется упругой, а сохраняющаяся — пластической. Механизм упругой и пластической деформации принципиально различен. При упругой деформации происходят обратимые смещения атомов от положений равновесия в кристаллической решетке. После снятия нагрузки сместившиеся атомы под влиянием сил межатомного взаимодействия возвращаются в исходное равновесное положение. При пластической деформации происходят необратимые перемещения атомов на значительное расстояние от положений равновесия.
6: Основные механические характеристики материала. Предел текучести и предел прочности.
Основные механические характеристики материала
Многообразие материалов, используемых при изготовлении элементов конструкций, объясняется тем, что различные материалы имеют неодинаковые свойства, которые используются инженерами для решения тех или иных технологических задач.
Свойства материалов, характеризующие их прочность и способность сопротивляться деформациям, называются механическими характеристиками материалов.
В сопромате, исследование механических характеристик необходимо для того чтобы учитывать соответствующие свойства материалов при расчетах на прочность, жесткость и устойчивость.
Основные механические характеристики следующие:
1. Предел пропорциональности – наибольшее напряжение, до которого выполняется закон Гука (то есть напряжение растет пропорционально деформации).
2. Предел текучести – напряжение, при котором материал течет (то есть напряжение остается неизменным, несмотря на продолжающийся рост деформации).
3. Предел прочности – наибольшее напряжение, которое выдерживает материал без разрушения.
Предел текучести
Пределом текучести называют механическую характеристику материала, характеризующую напряжение, при котором деформации продолжают расти без увеличения нагрузки.
Обозначение: σт (сигма-т)
Единица измерения – Паскаль [Па] либо кратные [МПа]
На диаграмме напряжений обозначается точкой, в которой начинается практически горизонтальный участок диаграммы, называемый площадкой текучести.
Это важный параметр, с помощью которого рассчитываются допустимые напряжения для пластичных материалов.
После прохождения предела текучести в металле образца начинают происходить необратимые изменения, перестраивается кристаллическая решетка металла, появляются значительные пластические деформации. При этом металл самоупрочняется, об этом говорит то, что после площадки текучести деформации растут при возрастающем значении растягивающей силы.
Условный предел текучести
В случаях, когда на диаграмме напряжений нет выраженной площадки текучести, определяют так называемый условный предел текучести σ0,2. Это величина напряжений, при которых относительные остаточные деформации равны 0,2%.
Для его определения вдоль оси ε откладывается значение равное 0,2%, откуда проводится луч параллельный начальному участку диаграммы напряжений.
Точка пересечения луча с линией диаграммы есть условный предел текучести для данного материала.
Предел прочности
Пределом прочности называют характеристику материала, указывающую величину механических напряжений, соответствующую максимальному значению нагрузки при испытаниях на растяжение.
Обозначение – σпч (сигма-nч(или nr, хз))
Размерность - Паскаль [Па], либо кратные значения [МПа].
Синоним предела прочности - временное сопротивление (σв(сигма-в)).
Определяется экспериментально, как наивысшая точка условной диаграммы напряжений
Либо по диаграмме растяжения как отношение максимальной продольной силы Fmax к начальной площади A0 поперечного сечения испытуемого образца:
σпч=Fmax / A0
Предел прочности является предельным напряжением при расчете допустимых напряжений для хрупких материалов.
7. Диаграмма пластичных и хрупких материалов. Механизм пластической деформации.
Механические характеристики материалов (т.е. величины, характеризующие их, прочность, пластичность, модуль упругости, коэффициент Пуассона и тд.) определяют путем испытания специальных образцов, изготовленных из исследуемого материала. Наиболее распространенными являются статические испытания на растяжение и сжатие.Испытания проводятся на специальных машинах различного типа.В процессе испытания специальная машина чертит график ( в прямоугольной системе координат) зависимость между действующей на образец продольной силой и удлинением (укорочением) образца ,т. е. диаграмма в координатах «сила-удлинение».
Для
малоуглеродистой стали эта диаграмма выглядит следующим образом:
Рассмотрим основные участки диаграммы.
OB – участок упругости.
После нагружения в пределах этого участка образец возвращается в исходное состояние. Такая деформация, полностью исчезающая после разгрузки, называется упругой. Механизм упругой деформации – изменение расстояния между атомами.
BC – участок общей текучести (площадка текучести).
На этом участке на поверхности образца появляется сетка линий, направленных под углом приблизительно 45° к оси растяжения – линии Чернова-Людерса. Эти линии свидетельствуют о появлении нового механизма деформации, заключающегося в сдвиге атомных слоев друг относительно друга. Из-за этих сдвигов после разгрузки образец не возвращается в исходное состояние, приобретая остаточную, или пластическую, деформацию. Пластическая деформация сопровождается нагревом образца, изменением его электропроводности и магнитных свойств, а также акустическим излучением.
CD – участок упрочнения.
Пластическая деформация изменяет внутреннюю структуру материала, в результате чего образец снова проявляет сопротивление деформированию, и растягивающая сила повышается.
DK – участок местной текучести.
Точка D диаграммы соответствует появлению на образце локального сужения – шейки. Дальнейшая деформация локализуется в этой области, и за счет уменьшения площади поперечного сечения необходимая для растяжения сила снижается. Точка K соответствует разделению образца на части. Разрыв происходит в самом тонком месте шейки.
Чтобы исключить влияние геометрических размеров образца, рабочая диаграмма перестраивается в условную (в координатах напряжение – деформация.
 |
 |
где l0, F0 - длина рабочей части образца и площадь поперечного сечения до деформации; lк - длина рабочей части образца после разрыва; F0 - конечная площадь поперечного сечения в шейке образца после разрыва.
Механизм пластической деформации.
Пластическая деформация может протекать под действием касательных напряжений и может осуществляться двумя способами.
1.
Трансляционное скольжение по плоскостям. Одни слои атомов кристалла скользят по
другим слоям, причем они перемещаются на дискретную величину, равную целому
числу межатомных расстояний.
В промежутках между полосами скольжения деформация не происходит. Твердое тело не изменяет своего кристаллического строения во время пластической деформации и расположение атомов в элементарных ячейках сохраняется
Плоскостями скольжения является кристаллографические плоскости с наиболее плотной упаковкой атомов.
Это наиболее характерный вид деформации при обработке давлением.
2.
Двойникование – поворот одной части кристалла в положение симметричное другой
его части. Плоскостью симметрии является плоскость двойникования (рис. 6.5 б).
Двойникование чаще возникает при пластической деформации кристаллов с объемно-центрированной и гексагональной решеткой, причем с повышением скорости деформации и понижением температуры склонность к двойникованию возрастает.
Двойникование может возникать не только в результате действия внешних сил, но и в результате отжига пластически деформированного тела. Это характерно для металлов с гранецентрированной кубической решеткой (медь, латунь). Двойникованием можно достичь незначительной степени деформации.Хрупкие материалы проявляют значительно лучшую способность сопротивляться деформациям сжатия, чем деформациям растяжения; для них разрушающее напряжение при сжатии превышает предел прочности при растяжении в несколько раз. Разрушение хрупких материалов при сжатии происходит за счет образования трещин.
8. Расчеты на прочность по допускаемым напряжениям при растяжении и сжатии. Условие прочности при растяжении ( сжатии). Коэффициент запаса прочности.
Основной задачей расчета конструкции является обеспечение ее безопасной эксплуатации. Важнейшим условием, обеспечивающим безопасную эксплуатацию конструкции, является условие прочности. Существуют различные методы обеспечения прочности конструкций. Мы чаще всего будем пользоваться одним из этих методов – расчетом по допускаемым напряжениям. Согласно этому методу для конструкций, работающих на растяжение-сжатие, условие прочности, составленное для опасного сечения, можно записать в таком виде:
где
– максимальное напряжение в
конструкции; – характеристика материала, называемая допускаемым напряжением.
По этой же формуле определяют- Проверочный расчет -для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение).
Допускаемое
напряжение находится по формуле
где
–
предельное напряжение, при достижении которого в стержне наступает предельное
состояние материала: появляются пластические деформации, если материал стержня
– пластичный, или происходит разрушение, если стержень выполнен из хрупкого
материала; n – нормируемый коэффициент запаса прочности.
Кроме
предыдущей формулы, возможен второй вариант условия прочности
где
называется действительным коэффициентом запаса прочности, показывающим во сколько раз надо увеличить максимальное напряжение в стержне, чтобы материал стержня оказался в опасном (предельном) состоянии.
Условие прочности в зависимости от цели поставленной задачи позволяет выполнять расчеты на прочность двух видов: проектный и проверочный. Для спроектированного стержня можно также определять допускаемую нагрузку.
Проектный
расчет выполняют с целью определения размеров поперечных сечений элемента
конструкции при известных рабочих нагрузках и материале (допускаемых
напряжений). Площадь поперечного сечения определяют из выражения
Форма сечения стержня не влияет на его прочность при растяжении (сжатии). Форму сечения стержня необходимо знать только для определения размеров сечения при известном значении площади.
Зная площадь сечения и его форму, находят размеры сечения.
Проверочный расчет выполняют для спроектированной конструкции с целью проверки ее прочности. При проверочном расчете должны быть известны площадь опасного сечения, нагрузка и материал (допускаемое напряжение). Проверочный расчет выполняют по формуле (2.26).
Определение
допускаемой нагрузки для спроектированного элемента конструкции, размеры
поперечного сечения которого и материал (допускаемые напряжения) известны.
Условие прочности в этом случае записывают в виде
Зная значение 
, определяют допускаемую нагрузку
.
Так как допускаемые напряжения не имеют точного значения, а выбираются приближенно, то при проверочном расчете максимальные рабочие напряжения могут превышать допускаемые на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки так, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%. По этой же причине можно округлять полученные в расчетах значения площади опасного поперечного сечения или допускаемой нагрузки та, чтобы максимальные напряжения отличались от допускаемых не более чем на 5%.При проектировании элементов конструкций стремятся сделать их во всех сечениях равнопрочными. Рассмотренные три вида расчетов на прочность можно выполнять не только при растяжении или сжатии, а при любом виде деформации (сдвиге, кручении, изгибе).
При
проектировании строительных конструкций расчет на прочность стальных элементов,
подверженных центральному растяжению или сжатию, следует выполнять по формуле
где
– коэффициент
условий работы
Условие прочности при растяжении (сжатии)
При
продольном осевом нагружении (растяжении-сжатии) в поперечных сечениях бруса
имеют место только нормальные напряжения σ. Поэтому для обеспечения прочности
стержней и стержневых систем достаточно выполнение условия:
Условие прочности при растяжении-сжатии
Здесь
σmax – максимальные расчетные нормальные напряжения в стержне,
N – внутренние продольные силы (принимаются с построенных эпюр),
А – соответствующая площадь поперечного сечения бруса,
[σ] – допустимые напряжения (расчетное сопротивление) для материала стержня.
Данное условие означает что для того чтобы стержень при растяжении-сжатии оставался прочным, напряжения σ в его сечениях не должны превышать допустимых значений [σ].
В случаях, когда для материала стержней допустимые напряжения на растяжение [σ]р и на сжатие [σ]сж отличаются, при сравнении необходимо учитывать знак напряжений σ, который зависит только от знака соответствующих внутренних сил N. Положительные значения напряжений σ сравниваются с [σ]р, отрицательные напряжения по модулю не должны превышать значения [σ]сж.
Коэффициент запаса прочности
Коэффициент запаса - это отношение некоторого предельного напряжения к максимальному напряжению, возникаемому в конструкции.
Максимальное напряжение в конструкции не должно превышать допускаемого напряжения для данного материала определенного с учетом коэффициента запаса для заданных условий работы.
Коэффициент запаса - число большее единицы.
Для того чтобы избежать заметных остаточных деформаций в конструкции за величину некоторого предельного напряжения принимают предел текучести, предел прочности и предел длительной прочности. Для каждой указанной характеристики материала принимают своё значение коэффициента запаса.
Для относительно небольших рабочих температур значение допускаемого напряжения определяют по пределу текучести и временному сопротивлению (до 350 градусов по Цельсию для углеродистых, легированных, кремнемарганцовистых и высокохромистых сталей, до 450 градусов по Цельсию для коррозионно-стойких сталей аустенитного класса, жаропрочных хромомолибденванадиевых сталей и железоникелевых сплавов). А при более высоких температурах, еще и по пределу длительной прочности.
9. Чистый сдвиг. Связь линейной и угловой деформации при сдвиге.
Такой
вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня действует только
поперечная сила, называют чистым сдвигом.Мера скольжения одного поперечного
сечения относительно другого – касательные напряжения τ.Принято, что
касательные напряжения распределены по всей площади поперечного сечения
равномерно. Если в поперечном сечении стержня площадью A возникает внутренняя
поперечная сила Q = P, то касательные напряжения в любой точке этого сечения
будут равны: T = Q/A = P/A.
Рис. 17. Чистый сдвиг
При чистом сдвиге возникает плоское напряженное состояние, тогда напряжения, действующие на площадке составляющей угол α с вертикальной исходной площадкой равны:
Касательные напряжения τ, приведенные на рис. 17, по абсолютной величине больше касательных напряжений по любым другим площадкам. Таким образом, они являются экстремальными, а площадки, по которым они действуют – площадками сдвига. Так как по этим площадкам не действуют нормальные напряжения, то их называют площадками чистого сдвига и они образуют с главными площадками углы, равные 45°.При чистом сдвиге нормальные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках равны друг другу по модулю и противоположны по направлению.Касательные напряженияτ измеряются в таких же единицах, что и нормальные напряжения: мегапаскалях, килоньютонах на квадратные сантиметры, килограммах силы на квадратный сантиметр (МПа, кН/см2, кгс/см2) и т.п.
В результате сдвига одно поперечное сечение стержня смещается относительно другого на величину δ, называемую абсолютным сдвигом.
Рис. 18. Углы сдвига
Малый угол γ, на который изменится первоначально прямой угол, – относительный сдвиг, выражается в радианах. Угол сдвига γ пропорционален касательным напряжениям. Математическая зависимость между углом сдвига и касательным напряжением называется законом Гука при сдвиге: τ = γG.
Зависимость между модулем сдвига и модулем Юнга: G = E/[2(1 + μ)].
Значение коэффициента Пуассона μ находится в пределах 0 ≤ μ ≤ 0,5.
Условие прочности при сдвиге имеет вид:
τ = Q/A ≤ [τ].
Связь линейной и угловой деформации при сдвиге.
Под действием внешних сил твердые тела изменяют свою геометрическую форму, а точки тела неодинаково перемещаются в пространстве. Вектор , имеющий свое начало в точке А недеформированного состояния, а конец в т. деформированного состояния, называется вектором полного перемещения т. А (рис. 1.5, а). Его проекции на оси xyz называются осевыми перемещениями и обозначаются u, v и w, соответственно.
 |
Рис. 1.5
Пусть в
результате изменения формы тела эти точки переместились в положение А¢ и В¢,
соответственно, а расстояние между ними увеличилось на величину DS и составило
S + DS. Величина
называется линейной деформацией в точке А по направлению АВ. Если рассматривать деформации по направлениям координатных осей xyz, то в обозначения соответствующих проекций линейной деформации вводятся индексы ex, ey, ez .
Линейные
деформации ex, ey, ez характеризуют изменения объема тела в процессе
деформирования, а формоизменения тела - угловыми деформациями. Для их
определения рассмотрим прямой угол, образованный в недеформированном состоянии
двумя отрезками ОD и ОС (рис. 1.5, б). При действии внешних сил указанный угол
DOC изменится и примет новое значение D¢O¢C¢. Величина
(ÐDOC - ÐD¢O¢C¢) = g (1.7)
называется угловой деформацией, или сдвигом в точке О в плоскости СОD. Относительно координатных осей деформации сдвига обозначаются gxy, gxz, gyz.
Совокупность линейных и угловых деформаций по различным направлениям и плоскостям в данной точке образует деформированное состояние в точке.
10: «Закон парности касательных напряжений. Исследование напряжённого состояния при сдвиге»
Элементарный параллелепипед должен находиться в равновесии (он не должен вращаться вокруг оси x, проходящей через точку К) (см. рис. 6.3), поэтому суммарный момент всех сил, возникающих по граням относительно этой оси должен быть равным нулю:
В формуле условии равновесия параллельного параллелепипеда в скобки заключены соответствующие силы, выраженные через касательные и нормальные напряжения, а их плечи указаны за скобками. После элементарных упрощений этого выражения, получим закон парности касательных напряжений:
Формулировка закона парности касательных напряжений: касательные напряжения на любых двух взаимно перпендикулярных площадках, направленные по перпендикуляру к линии пересечения площадок, равны по величине, притом касательные напряжения либо сходятся к линии пересечения площадок, либо расходятся от нее.
Мерой скольжения одного поперечного сечения относительно другого - касательные напряжения.
Считается, что касательные напряжения распределены по всей площади поперечного сечения равномерно (рис. 3.2).
Если в поперечном сечении стержня площадью F возникает внутренняя поперечная сила
то касательные
напряжения в любой точке этого сечения будут равны:
Касательные напряжения (изображение напряжения при сдвиге сопромат) измеряются в таких же единицах, что и нормальные напряжения (изображение напряжения при сдвиге сопромат): мегапаскалях, килоньютонах на квадратные сантиметры (МПа, кН/см2), а также в килограммах силы на квадратный сантиметр (кгс/см2, кгс/мм2).
11: «Закон Гука при сдвиге. Модуль упругости второго рода».
Касательные
напряжения пропорциональны углу сдвига в определенных пределах упругой
деформации сдвига. Соотношение 
- формула закона Гука при сдвиге.
Коэффициент пропорциональности G в формуле закона Гука при сдвиге - модуль сдвига.
Модулем сдвига (модуль упругости II рода, модуль упругости при сдвиге) – называется физическая величина, характеризующая упругие свойства материалов и их способность сопротивляться сдвигающим деформациям.
Обозначается латинской буквой G, единица измерения – Паскаль [Па] (гигапаскаль [ГПа])
В сопромате данный модуль используется в расчетах на сдвиг, срез и кручение.
Рис. 1 Деформация сдвига
Теоретически определяется отношением касательных напряжений τ к углу сдвига γ (рис. 1)
где
τ=F/A - касательные напряжения;
γ - угол сдвига;
F - сдвигающая сила;
A - площадь приложения силы F;
ΔS - величина сдвига;
a - размер элемента.
Модуль упругости II рода можно определить с помощью известных модуля Юнга E икоэффициента Пуассона ν:
Модуль сдвига является коэффициентом пропорциональности в законе Гука при сдвиге:
τ=Gγ
При расчетах на кручение, GIp – жесткость поперечного сечения вала, где
Ip - полярный момент инерции поперечного сечения.
12: «Кручение бруса с круглым поперечным сечением. Построение эпюр крутящих моментов. Правило знаков при построении эпюр крутящих моментов»
Кручением
называют такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса
возникает только крутящий момент, т. е. силовой фактор, вызывающий круговое
перемещение сечения относительно оси, перпендикулярной этому сечению, либо
препятствующий такому перемещению. Другими словами - деформации кручения
возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных его оси
приложить пару или пары сил.
Моменты этих пар сил называют скручивающими или вращающими. Вращающий момент
обозначают Т.
Такое определение условно разделяет силовые факторы деформации кручения на
внешние (скручивающие, вращающие моменты Т) и внутренние (крутящие
моменты Мкр).
В машинах и механизмах кручению наиболее часто подвергаются круглые или трубчатые валы, поэтому расчеты на прочность и жесткость чаще всего производят для таких узлов и деталей.
Рассмотрим
кручение круглого цилиндрического вала.
Представьте резиновый цилиндрический вал у которого жестко закреплен один из
концов, а на поверхности нанесена сетка из продольных линий и поперечных
окружностей. К свободному концу вала приложим пару сил, перпендикулярно оси
этого вала, т. е. закрутим его вдоль оси. Если внимательно рассмотреть линии
сетки на поверхности вала, то можно заметить, что:
- ось вала, которую называют осью кручения, останется прямолинейной;
- диаметры окружностей останутся такими же, а расстояние между соседними
окружностями не изменится;
- продольные линии на валу обратятся в винтовые линии.
Из этого можно заключить, что при кручении круглого цилиндрического бруса (вала) справедлива гипотеза плоских сечений, а также предположить, что радиусы окружностей остаются при деформации прямыми (поскольку их диаметры не изменились). А поскольку в сечениях вала отсутствуют продольные силы, то расстояние между ними сохраняется.
Следовательно,
деформация кручения круглого вала заключается в повороте поперечных сечений
относительно друг друга вокруг оси кручения, причем углы поворота их прямо
пропорциональны расстояниям от закрепленного сечения - чем дальше от
закрепленного конца вала находится какое-либо сечение, тем на больший угол
относительно оси вала оно закручивается.
Для каждого сечения вала угол поворота равен углу закручивания части вала,
заключенного между этим сечением и заделкой (закрепленным концом).
Построение эпюр крутящих моментов
Для наглядного изображения распределения крутящих моментов вдоль оси бруса строят эпюры крутящих моментов - графическое отображение величины крутящих моментов на каждом участке бруса.
Крутящий момент в сечениях бруса определяется с помощью метода сечения. Так как равномерно вращающийся или неподвижный вал находится в равновесии, очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса. Отсюда следует, что крутящий момент в любом поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных к брусу справа или слева от сечения.
Эпюры крутящих моментов дают возможность определить опасное сечение. В частности, если брус имеет постоянное поперечное сечение по всей длине, то опасными будут сечения на участке, где возникает наибольший крутящий момент.
Следует очень внимательно отнестись к определению знаков крутящего момента. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде со стороны сечения результирующий момент внешних пар сил, приложенных к рассматриваемой части бруса, будет направлен против часовой стрелки, и наоборот (это положение условно и принимается для облегчения проверки расчетов, выполненных несколькими исполнителями).
Рассматривая величины крутящих моментов, действующих в каждом конкретном сечении бруса, полагаем, что в сечении, где приложен вращающий (скручивающий) момент, значения крутящего момента изменяются скачкообразно (принцип смягченных граничных условий).
Пример:
13: «Определение перемещений и напряжений при кручении»
Выведем
формулу для определения касательных напряжений 
и найдем зависимость
между углом закручивания и внутренним крутящим моментом. Данная
задача применительно к валам круглого сечения может быть решена с помощью
элементарного математического аппарата, если ввести соответствующие гипотезы,
которые достаточно хорошо подтверждаются экспериментами.
Гипотезы, принимаемые при расчете на кручение:
1) сечения, плоские до деформации, остаются плоскими, и после деформации (гипотеза Бернулли, гипотеза плоских сечений);
2) все радиусы данного сечения остаются прямыми (не искривляются) и поворачиваются на один и тот же угол, то есть каждое сечение поворачивается относительно оси z как жесткий тонкий диск;
3) расстояния между сечениями при деформации не изменяются.
Поскольку
крутящий момент Мz — единственный внутренний силовой
фактор в поперечном сечении, действующий при этом в плоскости данного сечения,
можно предположить, что при кручении в поперечных сечениях вала возникают
только касательные напряжения (на основе интегральных уравнений равновесия).
В
сечении вала выделим элементарную площадку dA на расстоянии 
от продольной оси
(ось ) стержня. При кручении на площадке dA, будут действовать
касательные напряжения , которые создадут
элементарный крутящий момент dM, относительно
оси z:
,
(5.1)
Тогда полный момент, возникающий во всем сечении, найдем как
,
(5.2)
где
- касательное
напряжение, действующее на элементарной площадке dA, расположенной на произвольном расстоянии (радиусе) от центра сечения.
Перпендикулярность
вектора касательных напряжений радиусу объясняется отсутствием на поверхности
вала касательных напряжений, параллельных его оси, и, соответственно (по закону
парности касательных напряжений), отсутствием касательных напряжений вдоль
радиуса.
Рассмотрим деформацию элемента стержня (вала) длиной dz, выделенного из закручиваемого стержня в произвольной точке с координатой z.
Условно примем, что левое сечение элемента достается неподвижным, а правое
поворачивается на угол 
, создаваемый за счет
закручивания вала на длине dz. Один из
радиусов ОB, оставаясь прямым, поворачивается вместе с сечением на угол , при этом точка В
переходит в положение В1, а образующая СВ в положение CB1, поворачиваясь на
угол 
- угол сдвига в
этой точке вала.
Длину дуги BB1, найдем из рассмотрения треугольников OBB1 и CBB1:
,
следовательно
(5.3)
Запишем закон Гука, связывающий касательные напряжения с углом сдвига
(5.4)
Подставим выражение (5.3) в формулу (5.4):
,
(5.5)
а полученное выражение (5.5) - в формулу (5.2):
.
(5.6)
Так как в
полученном выражении (5.6) величины G и 
, в соответствии с
принятыми гипотезами, остаются постоянными по данному сечению, то их можно вынести
за знак интеграла: 
(5.7)
Величина 
- называется
полярным моментом инерции и является геометрической характеристикой данного
сечения. Таким образом, окончательно можем записать
,
(5.8)
или, подставляя (5.5) в (5.7),
.
(5.9)
Величина касательных напряжений при кручении определяется следующим образом:
(5.10)
Как
видим, касательные напряжения распределены по сечению вала по линейному закону
и достигают максимальной величины на поверхности вала (при 
):
,
(5.11)
где 
- полярный момент
сопротивления.
Легко найти и другие величины, характеризующие деформацию вала при кручении.
Величина 
называется относительным (погонным) углом
закручивания и имеет размерность рад/м
Используя выражение (5.8), найдем формулу для определения относительного угла закручивания:
(5.12)
Зная
формулы для определения относительного угла закручивания, можно записать
формулу для определения взаимного угла поворота двух сечений, расположенных на
расстоянии 
друг от друга:
(5.13)
Если в
пределах участка длиной крутящий момент и
геометрические характеристики сечения вала остаются постоянными, то угол
закручивания можно определить как
(5.14)
14.Полярные моменты инерции и полярные моменты сопротивления полных и сплошных валов круглого поперечного сечения.
Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей элементарных площадок dA на квадрат расстояния их от полюса — ρ2 (в полярной системе координат), взятая по всей площади сечения. То есть:
Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м4, см4) и может быть лишь положительной.
Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:
Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то
потому
что 
.
Схема к вычислению полярного момента инерции
Применение
Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:
где
— крутящий момент,
—
расстояние от оси кручения
— полярный момент инерции.
Полярный момент инерции для некоторых случаев
Распределение касательных напряжений при кручении
Для круглого сплошного сечения:
где D — диаметр круга.
Для кольцевого сечения (полый вал):
где
D — внешний диаметр кольца,
d — внутренний диаметр кольца.
МОМЕНТЫ СОПРОТИВЛЕНИЯ СЕЧЕНИЯ
Осевым моментом сопротивления называется
отношение момента инерции относительно данной оси к расстоянию от оси до
наиболее удаленной точки поперечного сечения
Полярным моментом сопротивления называется отношение полярного момента инерции
к расстоянию от полюса до наиболее удаленной точки сечения
Для стержня круглого поперечного сечения полярный момент сопротивления определяется формулой:
15. Условие прочности при кручении. Расчеты на прочность и жесткость при кручении валов с круглым поперечным сечением.
Кручением называется такой вид деформации стержня, при котором в поперечных сечениях возникает только одно внутреннее усилие – крутящий момент Мк. Крутящий момент считается положительным, если при взгляде на оставшуюся часть стержня со стороны отброшенной части момент направлен против хода часовой стрелки. Стержень, испытывающий деформацию кручения, называется валом.
Расчет стержней круглого сечения на прочность и жесткость. Кручение как основной вид деформации характерно для элементов машиностроительных конструкций.
Условие прочности при кручении стержней круглого сечения имеет вид
,
(5.19)
где 
— наибольший крутящий момент в стержне
от действия нормативных нагрузок; Wp — полярный момент сопротивления; [τ]
— допускаемое касательное напряжение.
Из условия прочности (5.19) получим формулу для подбора сечения
.
Отсюда находим требуемые размеры сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.16) имеем
.
(5.20)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17)
. (5.21)
Стержни, работающие на кручение, должны обладать достаточной жесткостью. Условие жесткости при кручении имеет вид
,
(5.22)
где [φ'] — допускаемый относительный угол закручивания, обычно принимаемый в пределах 0,15 ÷ 2 град/м.
Из условия жесткости (5.22) имеем
.
Отсюда находим требуемые размеры поперечного сечения стержня. Для стержня сплошного круглого сечения с учетом (5.12) имеем
.
(5.23)
Для трубчатого стержня с учетом (5.17) получим
.
(5.24)
При расчете стержня на прочность и жесткость из двух требуемых значений диаметра надо принять большее.
Допускаемое напряжение при кручении 
:
для хрупких материалов
для пластических материалов
.
16.Геометрические характеристики поперечных сечений бруса. Статистические моменты сечения. Центральные оси. Центр тяжести.
Геометрические характеристики поперечных сечений Основным
объектом, изучаемым в курсе сопротивления материалов, является стержень (брус).
Сопротивление стержня различным видам деформации зависит не только от его
материала и размеров, но и от очертания оси, формы поперечных сечений и их
расположения, которыми являются площадь, положение центра тяжести сечения,
статические моменты и моменты инерции площади сечения. При растяжении (сжатии)
– сопротивление стержня пропорционально площади поперечного сечения. Чем больше
площадь поперечного сечения, тем меньше напряжения и удлинения стержня
или . Если сила приложена к стержню перпендикулярно его оси При одной и
той же площади в зависимости от ориентировки поперечного сечения (рис. а) и
(рис. б) стержень по разному сопротивляется действию силы. Отсюда можно сделать
заключение, что площадь поперечного сечения не может характеризовать сопротивляемость
стержня изгибу. Оказывается, при изучении изгиба, кручения и других случаев
деформации стержня необходимо привлекать более сложные геометрические
характеристики сечения. В связи с этим возникает задача об изучении некоторых
геометрических свойств различных плоских фигур.
|
СТАТИЧЕСКИЕ МОМЕНТЫ СЕЧЕНИЯ |
|
|
|
При определении положения центра тяжести сечения необходимо определять значения статических моментов этого сечения. |
|
|
|
Рис. 4.3 |
|
Статическими моментами ппощади сечения относительно осей X и У (рис.4.3) называются определенные интегралы вида: |
|
|
|
где F - площадь сечения; X и у - координаты элемента площади dF. |
|
Если известно положение центра тяжести сечения (рис. 4.4). то статические моменты сечения могут быть подсчитаны по простым формулам, без взятия интегралов, а именно |
|
|
|
где Xc и Yc - координаты центра тяжести сечения. |
|
Из выражений (2) можно определить координаты центра тяжести сечения Xc и Yc: |
|
|
|
Статический момент сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести, равен нулю. |
|
Оси, проходящие через центр тяжести сечения -называются центральными. Центр тяжести сечения лежит на оси симметрии сечения. Если сечение имеет хотя бы две оси симметрии, то центр тяжести лежит на пересечении этих осей. |
|
Для сложного сечения, состоящего из n простейших фигур, координаты центра тяжести сечения определяются по формулам |
|
|
|
где Xj и Yj - координаты центров тяжести отдельных фигур сечения. |
|
|
Главные оси имеют важное практическое применение. Каким свойством обладают главные оси?
Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным, а также равным нулю в зависимости от положения координатных осей. Рассмотрим квадрат (рис. 4.2, а).
Центробежный момент инерции квадрата (
) относительно осей 
положителен, поскольку координаты 
всех элементов площади положительны. При
повороте осей вокруг начала координат на угол 900 (рис. 4.2 б) знак
центробежного момента инерции становится отрицательным, так как в этом случае
координаты x всех элементарных площадей положительны, а координаты y –
отрицательны.
Можно найти положение двух взаимно перпендикулярных осей, при
котором 
. Такие
оси называются главными
осями. Главные оси для квадрата изображены на (рис. 4.2, в).
Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных осей (другая ей перпендикулярна).
Главные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения стержня, называются главными центральными осями.
Центры тяжести некоторых простейших геометрических фигур
Для определения центров тяжести тел часто встречающейся формы (треуголника, дуги окружности, сектора, сегмента) удобно использовать справочные данные.
Таблица 6.1
Координаты центра тяжести некоторых однородных тел
|
№ |
Наименование фигуры |
Рисунок |
|
1 |
Дуга окружности: центр тяжести дуги однородной окружности находится на оси симметрии (координата уc=0).
где α – половина центрального угла; R – радиус окружности. |
|
|
2 |
Однородный круговой сектор: центр тяжести расположен на оси симметрии (координатауc=0).
где α – половина центрального угла; R – радиус окружности. |
|
|
3 |
Сегмент: центр тяжести расположен на оси симметрии (координата уc=0).
где α – половина центрального угла; R – радиус окружности. |
|
|
4 |
Полукруг:
|
|
|
5 |
Треугольник: центр тяжести однородного треугольника находится в точке пересечения его медиан.
где x1, y1, x2, y2, x3, y3 – координаты вершин треугольника |
|
|
6 |
Конус: центр тяжести однородного кругового конуса лежит на его высоте и отстоит на расстояние 1/4 высоты от основания конуса.
|
|
|
7 |
Полусфера: центр тяжести лежит на оси симметрии.
|
|
|
8 |
Трапеция:
|
|
|
9 |
|
|
|
10 |
|
|
17.Осевые и центробежные моменты инерции поперечного сечения бруса
Осевые, центробежные и полярные моменты инерции
Осевой момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на квадраты их расстояний до рассматриваемой оси. Формулы осевого момента инерции произвольной фигуры относительно осей x и y:
Центробежный момент инерции фигуры - это интеграл произведений элементарных площадей на их расстояния до осей x и y:
Моменты инерции измеряются в единицах длины в четвертой степени (как правило, см4).
Понятие момента инерции поперечного сечения ввел в 1834 г. французский ученый Н. Перси.
18.Главные оси инерции и главные моменты инерции поперечного сечения бруса
главные оси – в
Если фигура имеет ось симметрии, то эта ось является одной из главных осей (другая ей перпендикулярна).
Главные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения стержня, называются главными центральными осями.
Главные оси и главные моменты инерции Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями (иногда их называют главными осями инерции). Через любую точку, взятую в плоскости сечения, можно провести в общем случае пару главных осей (в некоторых частных случаях их может быть бесчисленное множество). Для того чтобы убедиться в справедливости этого утверждения, рассмотрим, как изменяется центробежный момент инерции при повороте осей на 90' . Для произвольной площадки dA, взятой в первом квадранте системы осей хОу, обе координаты, а следовательно, и их произведение положительны. В новой системе координат х,Оу„ повернутой относительно первоначальной на 90', произведение координат рассматриваемой площадки отрицательно.
Абсолютное значение этого произведения не изменяется, т. е. ху= — х1у,. Очевидно, то же самое имеет место и для любой другой элементарной площадки. Значит, и знак суммы dAxy, представляющий собой центробежный момент инерции сечения, при повороте осей на 90' меняется на противоположный, т. е. J = = — J.
В процессе поворота осей центробежный момент инерции изменяется непрерывно, следовательно, при некотором положении осей он становится равным нулю. Эти оси и являются главными.
Хотя мы и установили, что главные оси можно провести через любую точку сечения, но практический интерес представляют только те из них, которые проходят через центр тяжести сечения — главные центральные оси. В дальнейшем, как правило, для краткости будем называть их просто главными осями, опуская слово «центральные».
В общем случае сечения произвольной формы для определения положения главных осей необходимо провести специальное исследование. Здесь ограничимся рассмотрением частных случаев сечений, имеющих по меньшей мере одну ось симметрии .
Проведем через. центр тяжести сечения ось Ох, перпендикулярную оси симметрии Оу, и определим центробежный момент инерции J. Воспользуемся известным из курса математики свойством определенного интеграла (интеграл суммы равен сумме интегралов) и представим J s виде двух слагаемых: так как, для любой элементарной площадки, расположенной справа от оси симметрии, есть соответствующая слева, для которой произведение координат отличается лишь знаком.
Таким образом, центробежный момент инерции относительно осей Ох и Оу оказался равным нулю, т. е. это главные оси. Итак, для нахождения главных осей симметричного сечения достаточно найти положение его центра тяжести. Одной из главных центральных осей является ось симметрии, вторая ось ей перпендикулярна. Конечно, приведенное доказательство остается в силе, если ось, перпендикулярная оси симметрии, проходит и не через центр тяжести сечения, т. е. ось симметрии и любая, ей перпендикулярная, образуют систему главных осей.
Нецентральные главные оси, как уже указывалось, интереса не представляют.
Осевые моменты инерции относительно главных центральных осей называют главными центральными (или сокращенно главными) моментами инерции. Относительно одной из главных осей момент инерции максимален, относительно другой — минимален. Например, для сечения, изображенного на рис. 6.8, максимальным является момент инерции J (относительно оси Ox).
Конечно, говоря об экстремальности главных моментов инерции, имеют в виду лишь их сравнение с другими моментами инерции, вычисленными относительно осей, проходящих через ту же точку сечения. Таким образом, то обстоятельство, что один из главных моментов инерции максимален, а другой — минимален, можно рассматривать как объяснение того, что они (н соответствующие оси) называются главными. Равенство же нулю центробежного момента инерции относительно главных осей — удобный признак для нх нахождения. Некоторые типы сечений, например круг, квадрат, правильный шестиугольник и др. (рис. 6.9), имеют бесчисленное множество главных центральных осей. Для этих сечений любая центральная ось является главной.
Не приводя доказательства, укажем, что, в случае если два главных центральных момента инерции сечения равны между собой, у этого сечения любая центральная ось главная и все главные центральные моменты инерции одинаковы.
19
Осевые моменты инерции и осевые моменты сопротивления для прямоугольного поперечного сечения балок.
|
Что такое момент сопротивления и откуда взялся этот термин? Каждое тело, даже элементарно малое, имеет определенную массу, геометрические и прочностные характеристики, т.е. обязательно имеет центр тяжести и сопротивляется растяжению или сжатию. Эти прочностные характеристики называются сопротивлением материала сжатию или растяжению. Значение сопротивления зависит от физических свойств тела и пока нами не рассматривается. На данном этапе достаточно знать, что сталь намного прочнее бумаги, а на сколько прочнее - дают ответ различные справочники. |
|
Когда мы определяли момент сопротивления для поперечного сечения балки из однородного материала, обладающего изотропными свойствами, то вывели следующие расчетные формулы: W ≥ М / R где М - максимальный изгибающий момент, определяемый по эпюре моментов. На действие максимального момента и рассчитывается поперечное сечение, R - расчетное сопротивление, определяемое по разного рода справочникам, впрочем при сильном желании приблизительно определить расчетное сопротивление можно и самому, обычно расчетное сопротивление находится близко к пределу упругости. Т.е. предполагается работа материала в области упругих (восстанавливаемых со временем) деформаций. W - момент сопротивления. Для прямоугольного сечения: Wz = b · h2 / 6 где b - ширина балки, h - высота балки. |
Из лекции
24 . Напряжения при чистом изгибе. Распределение напряжений по поперечному сечению бруса
Под изгибом понимается такой вид деформации, при котором в поперечных сечениях бруса возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, то изгиб называется чистым
Примеры чистого изгиба:
При чистом изгибе напряжение в поперечном сечении изменяется по линейному закону, оно пропорционально расстоянию y до нейтрального слоя и обратно пропорционально радиусу кривизны ρ нейтрального слоя бруса.
ε = y/ ρ.
По закону Гука (Р1):
σ = E*ε,
подставив в эту формулу выражение для ε получим
σ = E* y/ρ,
Напряжение при изгибе пропорционально изгибающему моменту, расстоянию y до нейтральной оси и обратно пропорционально осевому моменту инерции.
максимальное напряжение при изгибе возникает в точках, наиболее удаленных от нейтральной оси:
σmax = Mz*ymax/Iz.
Отношение Iz/ ymax называется осевым моментом сопротивления сечения при изгибе и обозначается через Wz:
Wz = Iz/ ymax, мм3. (И5)
Таким образом,
σmax = Mz/ Wz.
моменты инерции прямоугольного сечения
Вывод формул для осевого момента инерции круглого поперечного сечения базируется на зависимости между полярным и осевыми моментами инерции. Эта зависимость выявлена в:
Ip = Iy + Iz.
Рассмотрим круглое поперечное сечение: Iz = Iy = Ip/2.
· для осевого момента инерции круглого поперечного сечения полого вала:
где k = d/D (d – диаметр отверстия, D – наружный диаметр вала);
· для осевого момента инерции круглого поперечного сечения сплошного вала (d = 0):
· для осевого момента сопротивления круглого поперечного сечения полого вала:
· для осевого момента сопротивления круглого поперечного сечения сплошного вала:
25 вопрос. Условие прочности при изгибе. Расчет на прочность при изгибе.
Условие прочности при изгибе
Максимальное нормальное напряжение в балке возникает в сечении, где изгибающий момент достигает наибольшей по модулю величины, то есть в опасном сечении
.
Эта формула является основной при расчётах на прочность бруса при изгибе.
Условие прочности при изгибе формулируется следующим образом: Балка будет прочной, если максимальные нормальные напряжения не превысят допускаемых напряжений
Величина допускаемых напряжений назначается в зависимости от материала, из которого изготовлена балка.
Пластичные материалы обладают примерно равными пределами текучести
на сжатие 
и на растяжение 
равны между собой и
поэтому 
.
Для хрупких материалов, у которых прочность при сжатии выше, чем
при растяжении, допускаемые напряжения на растяжение и сжатие, как правило, не
равны между собой 
и, поэтому, необходимо
записывать два условия прочности
Условие прочности по касательным напряжениям
,
где 
–
наибольшее по модулю напряжение в поперечном сечении; 
–
допускаемые касательные напряжения.
Если для материала балки заданы различные допускаемые нормальные напряжения при растяжении и сжатии, то условия прочности применяют отдельно к наиболее растянутым и к наиболее сжатым волокнам балки.
26. Совместный изгиб с кручением. Расчёты на прочность валов с круглым поперечным сечением.
Изгиб с кручением. Случаем совместного действия изгиба и кручения является передача мощности валом. Для расчёта валов на совместное действие изгиба и крунчения применяют третью или пятую теорию прочности.
По третьей теории прочности (теория наибольших касательных напряжений) эквивалентное напряжение вынчисляют по формуле
экв =
По пятой теории прочности (энергетическая теория) формула для экнви-валентных напряжений имеет вид:
экв =
В этих формулах и нормальное и касательное напряжения в опасной точке поперечного сечения бруса.
Максимальные нормальные и касательные напряжения у круглых валов вычисляют по формулам:
=
, 
где полярный момент сопротивления W, и осевой момент Wх связаны равенством:
Wp = 2Wх.
При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки поперечного сечения вала, наиболее удалённые от нейтральной оси.
Подставим значения напряжений в принятые уравнения теорий прочннос-ти, получим:
экв = 
,
и экв = 
.
Выражение, стоящее в числителе, назовём эквивалентным моментом.
Расчётная формула для круглых валов принимает вид:
экв= 
.
27. Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии
Устойчивость – способность тела сохранять положение или форму равновесия при внешних воздействиях.
Равновесие твердых тел может быть устойчивым и неустойчивым. Например, шарик, расположенный на дне вогнутой сферы, находится в устойчивом равновесии (рис. 1, а), а на вершине выпуклой сферы — в неустойчивом (рис. 1, б).
Рис. 1
При устойчивом равновесии тело (рис. 1, а), выведенное какой-либо внешней силой из положения равновесия, возвращается в это положение после прекращения действия силы.
Равновесие считают устойчивым, если за счет сил упругости после снятия внешней отклоняющей силы стержень восстановит первоначальную форму.
Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым.
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:
где F — действующая сжимающая сила;
[F] — допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;
FKP — критическая сила;
[sy] — допускаемый коэффициент запаса устойчивости.
Обычно для сталей [sу] = 1,8 – 3; для чугуна [sy] = 5; для дерева [sу] = 2,8.
28. Устойчивость равновесия сжатых стержней. Задача Эйлера. Критическая сила. Коэффициенты приведения длины в расчетах на устойчивость.
См. предыдущий вопрос №27.
Наименьшая величина сжимающей силы, при которой первоначальная форма равновесия стержня – прямолинейная становится неустойчивой – искривленной, называется критической.
При исследовании устойчивости форм равновесия упругих систем первые шаги были сделаны Эйлером.
В упругой стадии деформирования стержня при напряжениях, не превышающих предел пропорциональности, критическая сила вычисляется по формуле Эйлера:
где Imin – минимальный момент инерции сечения стержня (обусловлено тем, что изгиб стержня происходит в плоскости с наименьшей жесткостью), однако исключения могут быть только в случаях, когда условия закрепления концов стержня различны в разных плоскостях, ℓ - геометрическая длина стержня, μ – коэффициент приведенной длины или коэффициент приведения (зависит от способов закрепления концов стержня). Значения μ приведены под соответствующей схемой закрепления стержней
29. Критическое напряжение в расчётах на устойчивость. Радиус инерции. Предельная гибкость.
Критическое напряжение вычисляется следующим образом
,
где 
гибкость
стержня ,
а 
радиус инерции сечения.
Введем понятие предельной гибкости.
Величина λпред зависит только от вида материала:
Если у стали 3 Е=2∙1011Па, а σпц=200МПа, то предельная гибкость
Для дерева (сосна, ель) предельная гибкость λпред=70, для чугуна λпред=80
30. Диаграмма Ясинского зависимости критической силы от гибкости сжатого стержня.
Рассмотрим стержень с прямой осью, нагруженный продольной сжимающей силой F. В зависимости от величины силы и параметров стержня (материал, длина, форма и размеры поперечного сечения) его прямолинейная форма равновесия может быть устойчивой или не устойчивой.
для определения вида равновесия стержня подействуем на него небольшой
поперечной нагрузкойQ. В результате стержень перейдет в новое положение
равновесия с изогнутой осью. Если после прекращения действия поперечной
нагрузки стержень возвращается в исходное (прямолинейное) положение, то
прямолинейная форма равновесия является устойчивой (рис 7.1а). В том случае,
когда после прекращения действия поперечной силыQ стержень не возвращается в
первоначальное положение, прямолинейная форма равновесия является неустойчивой
(рис 7.1б).
Таким образом, устойчивостью называется способность стержня после некоторого отклонения от первоначального положения в результате действия какой-либо возмущающей нагрузки самопроизвольно возвращаться в исходное положение при прекращении действия этой нагрузки. Наименьшая продольная сжимающая сила, при которой прямолинейная форма равновесия стержня становится неустойчивой, называется критической силой.
Рассмотренная схема работы центрального сжатого стержня носит теоретический характер. На практике сжимающая сила может действовать с некоторым эксцентриситетом, а стержень может иметь некоторую (хотя бы и небольшую) начальную кривизну. Поэтому с самого начала продольного нагружения стержня наблюдается его изгиб. Исследования показывают, что пока сжимающая сила меньше критической силы, прогибы стержня будут небольшими. При приближении силы к критическому значению прогибы начинают неограниченно возрастать. Потеря устойчивости упругого равновесия имеет место не только при сжатии стержня, но и при его кручении, изгибе и более сложных видах деформации.
Формула Эйлера
Рассмотрим стержень с прямой осью, закрепленный посредством двух шарнирных опор (рис 7.2). Примем, что действующая на стержень продольная сжимающая сила достигла критического значения, и стержень изогнулся в плоскости наименьшей жесткости. Плоскость наименьшей жесткости расположена перпендикулярно к той главной центральной оси сечения, относительно которой осевой момент инерции сечения имеет минимальное значение.
Будем
считать, что в момент потери устойчивости выполняется закон Гука. Тогда для
определения функции прогиба y(z) используем дифференциальное уравнение
изогнутой оси балки
(7.1)
где М – изгибающий момент; Imin– минимальный момент инерции сечения.
Из рис. 7.2 находим изгибающий момент
(7.2)
На рис. 7.2 изгибающий момент, обусловленный действием критической силы, положителен, а прогиб – отрицателен. С целью согласования принятых знаков в зависимости (7.2) поставлен знак минус.
Практическое значение имеет наименьшее, отличное от нуля, значение критической силы. Поэтому, подставив в (7.7) n=1, окончательно будем иметь
(7.8)
Зависимость (7.8) называется формулой Эйлера.
Зависимость критической сил от способа закрепления стержня
Формула (7.8) получена для случая закрепления стержня посредством двух шарнирных опор, расположенных на его краях. При других способах закрепления стержня для определения критической силы используется обобщенная формула Эйлера
(7.9)
где μ – коэффициент приведения длины, учитывающий способ закрепления стержня.
Наиболее распространенные способы закрепления стержня и соответствующие им коэффициенты приведения длины показаны на рис. 7.3.
Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского
при выводе формулы Эйлера было использовано условие, что в момент потери
устойчивости выполняется закон Гука. Напряжение в стержне в момент потери
устойчивости равно
где 
-
гибкость стержня;A – площадь поперечного сечения стержня.
В момент потери устойчивости закон Гука будет выполняться при условии
(7.10)
где σпц –
предел пропорциональности материала стержня; 
-
первая предельная гибкость стержня. Для стали Ст3 λпр1 = 100.
Таким образом, формула Эйлера справедлива при выполнении условия (7.10).
Если гибкость стержня расположена в интервале 
то
стержень будет терять устойчивость в области упруго-пластических деформаций и
формулу Эйлера использовать нельзя. В этом случае критическая сила определяется
по экспериментальной формуле Ясинского
(7.11)
где a,b– экспериментальные коэффициенты.
Вторая предельная гибкость стержня определяется по формуле
где σт– предел текучести материала стержня.
При выполнении условия λ ≤ λпр2критическое напряжение ( по Ясинскому) будет превышать предел текучести материала стержня. Поэтому в этом случае для определения критической силы используется соотношение
(7.12)
В
качестве примера на рис. 7.4 показана зависимость критического напряжения от
гибкости стержня для стали Ст3.
Рабочие листы
к вашим урокам
Скачать
6 654 715 материалов в базе
Настоящий материал опубликован пользователем Кочеткова Олеся Сергеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Удалить материал
Ваша скидка на курсы
40%
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Курс повышения квалификации
72/180 ч.
Курс профессиональной переподготовки
300/600 ч.
Мини-курс
6 ч.
Мини-курс
2 ч.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.