Конспект по теме «ОСНОВЫ ЛОГИКИ» (Информатика. 8
класс)
1. Основные понятия логики
Мы
уже знаем, что компьютер, а точнее процессор, выполняет арифметические операции
над двоичными числами. Но процессор выполняет не только арифметические, но и
логические операции. Для чего в его состав входит арифметико-логическое
устройство. А основные правила и законы, по которым осуществляется выполнение
логических операций, изучает такая наука, как логика.
Логика – наука о формах и способах мышления.
Важным
понятием логики является высказывание. Высказыванием называется
утверждение, о котором можно сказать истинно оно или ложно.
Примеры
высказываний: «Сегодня вторник», «Я сделал уроки и читаю книгу», «52=65»
Вопросительные
и повелительные фразы вроде «Ты пойдешь в кино?» и «Сначала уберись в комнате,
а потом играй на компьютере!» не являются утверждениями, а следовательно, и
высказываниями. Высказывание может быть истинно или ложно в зависимости от
конкретной ситуации. Так, например, «10+11=101» истинно, если числа записаны в
двоичной системе счисления и ложно в остальных случаях.
Логика
не занимается анализом ситуаций, о которых говорится в высказываниях, но в ней
содержатся правила, позволяющие определить истинность составных высказываний,
построенных из простых высказываний с помощью логических операций.
Примеры
составных (сложных) высказываний: «Он приехал вчера ИЛИ он приедет
завтра», «2*2=4 И 2<0» (Подчеркиванием выделены
простые высказывания)
Поскольку
для применения логических операций имеет значение лишь истинность или ложность
высказываний, а не их содержание, то можно использовать алгебраический подход,
заменив высказывания логическими переменными, обычно обозначаемыми латинскими
буквами.
А=«Два
умножить на два равно четырем»; В=«Два умножить на два равно семи»
Истинному
высказыванию ставят в соответствие 1, ложному – значение 0. В нашем случае
первое высказывание истинно (А=1), а второе ложно (В=0).
Над
высказываниями можно производить логические операции, в результате
которых получаются новые, составные высказывания.
Логические операции: 1) Логическое отрицание (Инверсия); 2)Логическое умножение (Конъюнкция);
3)Логическое сложение (Дизъюнкция); 4)Логическое следование (Импликация).
2. Логическое отрицание (Инверсия)
Логическое
отрицание (инверсия) делает истинное высказывание
ложным и, наоборот, ложное – истинным.
Логическое
отрицание высказывания А обозначают: Ā, ØА, NOT A, НЕ А.
Если высказывание
А= «Мы любим математику», то высказывание ØА= «Мы не любим математику».
Для каждого
логического выражения можно построить таблицу, в которой для каждого набора
значений простых логических переменных приведены значения этого выражения.
Такая таблица называется таблицей истинности логического выражения.
3. Логическое сложение (Дизъюнкция)
A
|
B
|
F= AÚB
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
Составное
высказывание, образованное в результате логического сложения (дизъюнкции)
истинно тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него простых
высказываний.
Логическое сложение
высказываний А, В обозначают: АÚВ, А+В, А|В, А or В,
А ИЛИ В.
Например, если,
высказывание А=«Я люблю математику», высказывание В=«Я люблю физику», то составное
высказывание, которое получится в результате дизъюнкции двух простых
высказываний будет AÚB=«Я люблю математику ИЛИ физику»
A
|
B
|
F= AÙB
|
0
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
4. Логическое умножение (Конъюнкция)
Составное
высказывание, образованное в результате логического умножения (конъюнкции)
истинно тогда и только тогда, когда истинны все входящие в него простые
высказывания.
Логическое
умножение высказываний А, В обозначают: АÙВ, А&В, А×В, А И В,
А AND В.
Если, высказывание
А=«Я люблю математику», высказывание В=«Я люблю физику», то составное
высказывание, которое получится в результате конъюнкции двух простых высказываний
будет АÙВ =
«Я люблю математику И физику».
5. Логическое
следование (Импликация)
A
|
B
|
F= A®B
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
1
|
1
|
1
|
Составное
высказывание, образованное с помощью операции логического следования, ложно
тогда и только тогда, когда из истинного высказывания
следует ложное.
Логическое
следование «если А, то В» обозначается А®В. Логическое следование образуется соединением
двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если…, то…». Например, если
высказывание А=«Число делится на 10», высказывание В=«Число делится на 5», то А
® В=«Если
число делится на 10, то оно делится на 5».
Импликация
выражается через отрицание и логическое сложение следующим образом: А®В = ØАÚВ
При выполнении логических операций
определен их следующий порядок:
1. Операции в скобках 2. Инверсия 3. Конъюнкция 4.
Дизъюнкция 5. Импликация
6. Логические законы и тождества
Тождества
Логического сложения
1)
А Ú 0 = А
2)
А Ú 1 = 1
3)
А Ú А = А
4)
А Ú
ØА = 1
|
Логического умножения
1) А Ù 0 = 0
2) А Ù 1 = А
3) А Ù А = А
4) А Ù ØА = 0
|
Законы
1) А=А (Закон тождества)
2) Ø(ØА)=А (Закон двойного
отрицания)
3) АÙ( AÚB)=А (Закон поглощения)
|
4) АÚ(AÙB)=А (Закон поглощения)
5) АÚВ=BÚA
(Закон коммутативности сложения)
6) AÙB=BÙA (Закон
коммутативности умножения)
7) (АÚB)ÚC=AÚ(BÚC) (Ассоциативность
сложения)
8) (AÙB)
ÙC=AÙ(BÙC) (Ассоциативность
умножения)
9) AÙ(BÚC)=(AÙB)Ú(AÙC) (Дистрибутивность умножения
относительно сложения)
10) AÚ(BÙC)=(AÚB)Ù(AÚC) (Дистрибутивность
сложения относительно умножения)
11) Ø(АÚB) = ØАÙØB (Законы
Ø(АÙB) = ØАÚØB де Моргана)
|
7. Примеры решения
задач
1. Составить таблицу истинности для
следующего логического выражения: ØАÙB ® АÚØB
А
|
В
|
ØА
|
ØB
|
ØАÙB
|
АÚØB
|
ØАÙB ® АÚØB
|
0
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
1
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
1
|
2. Для какого из указанных X истинно
высказывание:
¬((X > 2)→(X > 3))
1) 1 2) 2 3)
3 4) 4
X
|
X
> 2
|
X > 3
|
(X
> 2)→(X > 3)
|
¬((X > 2)→(X > 3))
|
1
|
0
|
0
|
1
|
0
|
2
|
0
|
0
|
1
|
0
|
3
|
1
|
0
|
0
|
1
|
4
|
1
|
1
|
1
|
0
|
3. Какое логическое выражение равносильно
выражению: ¬(A Ú ¬B Ú С)
1) ¬A Ú B Ú ¬C 2)
A Ù ¬B Ù C
3) ¬A Ú ¬B Ú ¬C 4) ¬A Ù B Ù ¬C
Решение: ¬(A Ú ¬B Ú C) = ¬AÙ¬(¬B Ú
C) = ¬AÙ¬(¬B)Ù¬C = ¬AÙBÙ¬C Ответ: 4
4. В таблице приведены запросы к поисковому
серверу. Расположите номера запросов в порядке возрастания количества страниц,
которые найдет поисковый сервер по каждому запросу. Для обозначения логической
операции «ИЛИ» в запросе используется символ |, а для логической операции «И» –
&.
1) принтеры
& сканеры & продажа 2) принтеры & продажа
3) принтеры |
продажа 4) принтеры | сканеры | продажа
Решение:
1)
меньше
всего результатов выдаст запрос с наибольшими ограничениями – первый (нужны
одновременно принтеры, сканеры и продажа)
2)
на
втором месте – второй запрос (одновременно принтеры и продажа)
3)
далее –
третий запрос (принтеры или продажа)
4)
четвертый
запрос дает наибольшее количество результатов (принтеры или сканеры или
продажа)
таким образом,
верный ответ – 1234 .
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.