Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект (практические задания) "Исследование функции с помощью первой производной"

Конспект (практические задания) "Исследование функции с помощью первой производной"

Скачать материал
библиотека
материалов

Исследование функции с помощью первой производной

 

1.     Краткие сведения из теории       

Производная функции  в точке  – это предел отношения функции  в этой точке к соответствующему приращению аргумента  при .

Геометрически производная представляет угловой коэффициент касательной  в соответствующей точке  (рис.1)

 

Рис. 1 Геометрический смысл производной

 

Функция  называется возрастающей в промежутке , если для любых и , принадлежащих этому промежутку и таких, что имеет место неравенство .

Функция  называется убывающей в промежутке , если для любых  и , принадлежащих этому промежутку и таких, что  имеет место неравенство .

Как возрастающие, так и убывающие функции называются монотонными, а промежутки, в которых функция возрастает или убывает, - промежутками монотонности.

Возрастание и убывание функции  характеризуется знаком её производной: если в некотором промежутке , то функция возрастает в этом промежутке; если же , то функция убывает в этом промежутке, если в некотором промежутке , то функция  постоянна  на этом промежутке.

Точка   называется точкой  максимума функции  , если существует такая окрестность точки  ,  что для всех        этой окрестности выполняется неравенство      

Точка     называется точкой  минимума функции  , если существует такая окрестность точки  ,  что для всех        этой окрестности выполняется неравенство       .

Точки максимума и минимума функции называются   точками   её экстремума, а значение функции в точке максимума (минимума) – максимумом (минимумом) или экстремумом функции.

Если функция   функции  ,  имеет экстремум при     ,  то ее производная в этой точке равна нулю или бесконечности либо вовсе не существует, при этом сама функция в точке    определена.  

Точками экстремума могут служить только критические точки, т.е. точки, принадлежащие области определения функции, в которых первая производная   обращается в ноль или терпит разрыв.

Пусть точка    является критической точкой  функции  , а сама функция дифференцируема во всех точках некоторого промежутка, содержащего эту точку  (за исключением, возможно, самой этой точки). Тогда:

1)  если при переходе слева направо через критическую точку     первая   производная меняет знак с плюса на минус, то в этой точке функция достигает максимума, т.е  – точка максимума,  ;

 

max

 

+

 

-

2) если при переходе слева направо через критическую точку    первая   производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке функция достигает минимума, т.е.   – точка минимума, ;

 

min

 

-

 

+

 

3) если при переходе через критическую точку  первая производная не меняет знака, то в этой точке экстремума нет.

 

Кривая обращена  выпуклостью вверх  или  выпукла  ( Ç ) на некотором промежутке, если она расположена ниже касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Кривая обращена  выпуклостью вниз  или  вогнута  ( È ) на некотором промежутке, если она расположена выше касательной, проведенной к кривой в любой точке этого промежутка.

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отделяет участок выпуклости от участка вогнутости. 

Для исследования функций и построения графиков функций можно использовать следующую схему:

1.                 Найти производную f ¢(x).

2.                 Найти критические точки, для этого нужно найти первую производную функции и приравнять ее нулю ; определить, в каких точках она не существует.

3.         Исследовать знак производной  в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции . При этом критическая точка  есть точка минимума, если она отделяет промежуток, в котором , от промежутка, в котором , и точка максимума – в противном случае. Если же в соседних промежутках, разделенных критической точкой , знак производной не меняется, то в точке  функция экстремума не имеет.

4.                 Вычислить значения функции в точках экстремума.

5.         Исследовать функцию на монотонность   ( -  функция возрастает,   - функция убывает).

Для исследования функции следует воспользоваться схемой, составить необходимые таблицы, затем по полученным данным построить график функции.

 

2. Пример выполнения задания

 

Задание №1:

Указать промежутки возрастания заданной функции . Выберите верный ответ.

1.  

2.  

3.  

4.  

 

Решение:

 

1.     Найти производную заданной функции

 

2.     Прировнять производную заданной функции к нулю и решить полученное уравнение ((x) = 0)

 

Решаем полученное уравнение и получаем:

 и

3. Определить промежутки монотонности функции, т.е. промежутки возрастания и убывания

 

Последующие рассуждения представим в виде таблицы

x

0,5

4

+

0

-

0

+          *

f (x)

 

 

 

a)      В первой строчке выставляем промежутки (как на числовой оси в неравенствах)

b)      Во второй строчке выставляем знаки производной. Крайний правый знак в таблице зависит от знака коэффициента перед аргументом (x) в старшей степени в производной!

Смотрим на производную в п.1

Старшая степень квадрат (x2), перед x2 стоит коэффициент 12 (положительный), поэтому крайний правый знак в таблице «+» (графа со *).

Далее знаки чередуются.

c)       В третьей строчке указывает возрастание и убывание функции, используя правило:

если в некотором промежутке  (т.е. знак производной «+»), то функция возрастает в этом промежутке; если же  (т.е. знак производной «-»), то функция убывает в этом промежутке.

 

Функция возрастает, если

Функция убывает, если

 

Ответ: необходимо выбрать ответ под номером 3 (тестовой задание)

 

 

Задание №2:

Указать промежутки убывания заданной функции . Выберите верный ответ.

1.  

2.  

3.  

4.  

Решение:

 

1.     Найти производную заданной функции

 

2.     Прировнять производную заданной функции к нулю и решить полученное уравнение ((x) = 0)

 

Решаем полученное уравнение и получаем:

 

     и       

     и       



3. Определить промежутки монотонности функции, т.е. промежутки возрастания и убывания

 

Последующие рассуждения представим в виде таблицы

x

0

1

-

0

+

0

-          **

f (x)

 

 

 

a)      В первой строчке выставляем промежутки (как на числовой оси в неравенствах)

b)      Во второй строчке выставляем знаки производной. Крайний правый знак в таблице зависит от знака коэффициента перед аргументом (x) в старшей степени в производной!

Смотрим на производную в п.1

Старшая степень квадрат (x2), перед x2 стоит коэффициент -1 (отрицательный), поэтому крайний правый знак в таблице «-» (графа со **).

Далее знаки чередуются.

c)       В третьей строчке указывает возрастание и убывание функции, используя правило:

если в некотором промежутке  (т.е. знак производной «+»), то функция возрастает в этом промежутке; если же  (т.е. знак производной «-»), то функция убывает в этом промежутке.

 

Функция убывает, если

Функция убывает, если

 

Ответ: необходимо выбрать ответ под номером 1 (тестовой задание)

 

  • Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
    Пожаловаться на материал
Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Педагог дополнительного образования детей и взрослых
Скачать материал
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Учебник: «Алгебра и начала математического анализа. Базовый и углубленный уровни», Алимов А.Ш., Колягин Ю.М. и др.
Тема: § 49. Возрастание и убывание функции
Скачать материал

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Внедрение системы компьютерной математики в процесс обучения математике в старших классах в рамках реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.