Конспект +презентация на тему "Показательные неравенства"

Приложение 1

Оценочный лист

Фамилия, Имя учащегося_______________________________

Группа______________________________________________

Задания	Баллы
Домашнее задание	Допиши предложение
Рассуждения с рабочего места
Решение заданий у доски
Решение заданий на месте самостоятельно
Дополнительные баллы
Итого баллов
Оценка за урок

Приложение 6

Рефлексия

№	Вопрос	Варианты ответа (поставьте галочку)
1	На уроке я работал	·           ·         активно ·         пассивно
2	Своей работой на уроке я	·           ·           ·         доволен ·         не доволен
3	Урок для меня показался	·         коротким ·          длинным
4	За урок я	·         не устал ·         устал
5	Моё настроение	·         стало лучше ·         стало хуже
6	Материал урока мне был	·         понятен ·         не понятен ·         полезен ·         бесполезен ·         интересен ·         скучен

Приложение 2

Приложение 3

Простейшие показательные неравенства

1)     

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

Приложение 4

1 команда                                                           2 команда

1)                                                       1)

2)                                            2)  

3)                                              3)

4)                                            4)

Приложение 5

Домашнее задание            

1)  

2) 

3) 

4)  

• 1 слайд

  
  «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения»
  
  М. В. Ломоносов
  

• 2 слайд

  Оценочный лист
  Оценочный лист
  Фамилия, Имя обучающегося_____________________
  Группа_________________________________________
  
  
  
  
  

• 3 слайд

  Допиши предложение
  Вариант - 1
  Вариант - 2
  1.Областью определения показательной функции является множество всех…..
  2. Есть ли период у показательной функции? Если да, то какой?
  3. Показательная функция…… при a>1на всей числовой прямой
  4. График показательной функции пересекает координатную ось Oy в точке……
  
  
  
  1. Множеством значений показательной функции является промежуток….
  2. Показательная функция является четной, нечетной или имеет общий вид?
  3. В какой точке график показательной функции пересекает координатную ось Ох?
  4. При 0<а<1 функция …… на множестве R.
  
  
  
  

• 4 слайд

  Допиши предложение
  Вариант – 1 (ответы)
  Вариант – 2 (ответы)
  1. действительных чисел
  2. функция непериодическая
  3. Возрастает
  4. (0; 1)
  
  
  
  1.
  2. имеет общий вид
  3. график показательной функции координатную ось Ох не пересекает
  4. убывает
  
  
  
  

• 5 слайд

  Тема занятия:
  Показательные неравенства.
  Методы их решения.
  

• 6 слайд

  Основная цель занятия:
  Знакомство с показательными неравенствами и основными методами решения показательных неравенств.
  

• 7 слайд

  Определение
  
  Показательное неравенство – это неравенство в котором неизвестное находится в показателе степени.
  Простейшее показательное неравенство имеет вид или , где
  и , x - неизвестное.
  
  

• 8 слайд

• 9 слайд

  Метод: сведение к одному основанию
  9x>3x
  Ответ: x > 0
  
  

• 10 слайд

  Метод: сведение к одному основанию
  
  Ответ: x < 1
  
  

• 11 слайд

  ВЫВОД
  Если то неравенство равносильно неравенству того же смысла: . Если , то показательное неравенство равносильно неравенству противоположного смысла: .
  

• 12 слайд

  Метод: вынесение общего множителя за скобки; логарифмирование обеих частей показательного неравенства
  -2x+21+x<3
  Ответ: x < log23
  
  

• 13 слайд

  Метод: введение новой переменной
  4x-5∙2x+1+42≥0
  Ответ:
  
  

• 14 слайд

  Метод: решение однородных показательных неравенств
  3∙42x-5∙4x∙9x+2∙92x<0
  Ответ:
  

• 15 слайд

  Метод: графический
  3x>11-x
  Ответ:
  
  

• 16 слайд

  Команда 1
  Команда 2
  1)
  
  Ответ:
  
  2)
  
  Ответ:
  
  3)
  
  Ответ:
  
  4)
  
  Ответ:
  1)
  
  Ответ:
  
  2)
  
  Ответ:
  
  3)
  
  Ответ:
  
  4)
  
  Ответ:
  

• 17 слайд

  Домашнее задание
  1)
  
  2)
  
  3)
  
  4)
  
  
  
  

• 18 слайд

  Если ты в жизни хотя бы мгновенье
  Истину в сердце своем ощутил,
  Если луч света сквозь мрак и сомненье
  Ярким сияньем твой путь озарил:
  Чтобы в решенье своём неизменном
  Рок не назначил тебе впереди,
  Память об этом мгновенье священном
  Вечно храни, как святыню в груди.
  Тучи сберутся громадой нестройной,
  Небо покроется черною мглой,
  С ясной решимостью, с верой спокойной,
  Бурю ты встретишь и померься с грозой.
  С. Ковалевская
  

Министерство образования республики Башкортостан

государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

 «Уфимский автотранспортный колледж»

Показательные неравенства

Методы их решения.

Уфа – 2015

Аннотация

Тема «Показательные неравенства» является важнейшей темой математики. На занятии преподаватель знакомит обучающихся с простейшими показательными неравенствами и с неравенствами, сводящиеся к простейшим заменой неизвестного. За одно занятие обучающихся нужно познакомить с новым и очень объемным материалом, научить их решать все типы показательных неравенств и хорошо отработать эти навыки и умения. Поэтому занятия формирования новых знаний в виде лекции с применением информационно-коммуникационных технологий позволяют решить эти проблемы быстро и с большим успехом

УФИМСКИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫЙ КОЛЛЕДЖ

Группа \Дата
С3-15	18.12.15

Технологическая карта (план) занятия

Дисциплина:   Математика: алгебра и начала математического анализа; геометрия.

Тема занятия: Показательные неравенства. Методы их решения.

Время: 90 мин

Вид занятия (тип урока): урок ознакомления с новым материалом

Цель занятия	1.    УЧЕБНАЯ   ·         Повторение свойств показательной функции ·         Познакомить студентов  с определением показательного неравенства ·         Познакомить студентов с основными методами и приемами решения показательных неравенств.
	2.ВОСПИТАТЕЛЬНАЯ ·         Воспитывать ответственное отношение к труду. ·         Воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.
	3.РАЗВИВАЮЩАЯ ·         Развивать навыки самостоятельной работы, работы в группах. ·         Развивать навыки самоконтроля и взаимоконтроля. ·         Развивать познавательный интерес к предмету через содержание учебного материала
	4.Освоение содержания учебного занятия по теме «Показательные неравенства. Приемы их решения» обеспечивает достижение студентами следующих результатов: ·         Личностных овладение математическими знаниями и умениями, необходимыми в повседневной жизни, для освоения смежных естественнонаучных дисциплин и дисциплин профессионального цикла, для получения образования в областях, не требующих углубленной математической подготовки; готовность и способность к образованию,  в том числе самообразованию, на протяжении всей жизни; сознательное отношение к непрерывному образованию как условию успешной профессиональной и общественной деятельности; готовность и  способность к  самостоятельной творческой и  ответственной деятельности; готовность к коллективной работе, сотрудничеству со сверстниками в образовательной, общественно полезной, учебно-исследовательской, проектной и других видах деятельности. ·         Метапредметных умение продуктивно общаться и взаимодействовать  в процессе совместной      деятельности, учитывать позиции других участников деятельности, эффективно разрешать конфликты; владение навыками познавательной, учебно-исследовательской и проектной деятельности, навыками разрешения проблем; способность и готовность к самостоятельному поиску методов решения практических задач, применению различных методов познания; готовность и способность к самостоятельной информационно-познавательной  деятельности,  включая умение ориентироваться в различных источниках информации, критически оценивать и интерпретировать информацию, получаемую из различных источников. ·         Предметных владение методами доказательств и алгоритмов решения, умение их применять, проводить доказательные рассуждения в ходе решения задач; владение стандартными приемами решения показательных неравенств;

МЕЖДИСЦИПЛИНАРНЫЕ СВЯЗИ: литература.

ВНУТРИДИСЦИПЛИНАРНЫЕСВЯЗИ: показательная функция  и ее свойства, свойства степеней и логарифмов, показательные уравнения.

Обеспечение занятия

а) Наглядные пособия:  презентация, учебники, задания на закрепление изученного материала,  раздаточный материал.

б) Раздаточный материал:  раздаточные листы; оценочные листы, лист рефлексия; лист с домашним заданием.

в) Технические средства обучения: компьютер, проектор, интерактивная доска

г) Литература основная:  1. Колягин Ю.М. и др. Математика (Книга 1,2). – М., Новая волна, 2008 2. Башмаков М.И. Алгебра и начала математического анализа (базовый уровень). 10кл. – М.,2005. 3. Богомолов Н.В. Сборник задач по матемайтике. Учебное пособие для ССУЗов– М., Дрофа, 2010.

д) Дополнительнаялитература: 1. «Алгебра и начала анализа» учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений под редакцией А.Н.Колмогорова. Освоение содержания учебного занятия по теме «Показательные уравнения и их системы. Методы решения» обеспечивает достижение студентами следующих результатов:

Содержание занятия

ВРЕМЯ	ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЯ	ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ СТУДЕНТА
1.  ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ
1мин	Приветствие обучающихся	Приветствие преподавателя
2.      ЭПИГРАФ К УРОКУ.
1мин	Эпиграф появляется на экране и преподаватель его зачитывает	Слушают преподавателя
3.      ОЗНАКОМЛЕНИЕ ОБУЧАЩИХСЯ С УСЛОВИЯМИ ОЦЕНИВАНИЯ ИХ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ НА ЗАНЯТИИ
3мин	Знакомит обучающихся с оценочными листами	Знакомятся с оценочными листами
4.      ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
10мин	Проверка домашнего задания проводится разделением группы на 2 команды, в виде вопрос- ответ.	Делятся на две команды. Одна команда задает вопросы, а другая команда отвечает на поставленный вопрос.
5.      ОБОСНОВАНИЕ ТЕМЫ И ЦЕЛЕЙ ЗАНЯТИЯ
9мин	Постановка проблемного вопроса (разминочные упражнение на развитие логического мышления) и вывод обучающихся на тему урока. Озвучивает тему и цель занятия.	Постановка проблемного вопроса (разминочные упражнение на развитие логического мышления) и вывод обучающихся на тему урока. Озвучивают тему занятия.
6.      ИЗЛОЖЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА
40мин	Работает  у доски. Обучающиеся чертят схему методов решения показательных уравнений и по ходу решения неравенств делается сравнение с методами решения показательных уравнений и показательных неравенств. Предлагает обучающимся несколько примеров и показывает метод их решения на доске. Свои примеры сопровождает презентацией. Напоминает обучающимся факт того, что они не должны забывать о своих оценочных листах.	Чертят схему на доске. По ходу  работы преподавателя у доски делают сравнение методов решения показательных уравнений и показательных неравенств и помогают преподавателю своими ответами. Результаты оценки собственных знаний заносят в оценочные листы.
7.      ЗАКРЕПЛЕНИЕ ИЗУЧЕННОГО МАТЕРИАЛА

20мин	Дает ребятам задания для решения у доски. Преподаватель делит обучающихся на команды и дает задание для решения у доски. Теперь обучающиеся отвечают не только за себя, но и за свою команду. Задаются индивидуальные задания, которые лежат на столах перед обучающимися.	Обучающиеся делятся также на 2 команды и решают неравенства у доски и в самостоятельно в тетрадях. Решают индивидуальные задания.
8.      ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ
2мин	Инструктаж по выполнению домашнего задания	Рассматривают листочки с домашним заданием
9.      ПОДВЕДЕНИЕ ИТОГОВ
3мин	Напоминает о том, что нужно подсчитать баллы, заполнить оценочные листы, листы рефлексия и сдать их в конце занятия.	Заполняют оценочный лист, лист рефлексия, считают набранные баллы и выставляют себе оценки.
1мин	Ставит точку занятия стихами  С Ковалевской	Слушают преподавателя

Конспект занятия

1.     Организационный момент

Приветствие обучающихся. Сегодня я рада ас приветствовать на открытом уроке, посвященном показательным неравенствам и методам их решения.

2.     Эпиграф. 1мин

«Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения»

                                                         М. В. Ломоносов /слайд №1/

Я вам сегодня хочу сказать чтобы вы, получив теоретические знания на сегодняшнем занятии сумели применить их на практике

3.     Ознакомление студентов с условиями оценивания их деятельности на занятии.

Преподаватель: Каждому из вас были розданы оценочные листы. /слайд №2/ Посмотрите Приложение №1. В ходе нашего занятия, каждый из вас должен самостоятельно оценивать свои знания (по пятибалльной шкале), а в конце занятия вы выставите себе оценку, по собранным баллам. Надеюсь, что вы будете объективно оценивать свои знания.

4.     Проверка домашнего задания  

В качестве домашнего задания вы должны были повторить свойства показательной функции. Эти сведения нам будут необходимы на сегодняшнем занятии. Проверку домашнего задания устроим в незаконченного предложения. /слайд №3/

Вариант 1

Вопрос                                                              

1.      Областью определения показательной функции является множество всех…..

                                                                    Ответ: действительных чисел

2.     Есть ли период у показательной функции? Если да, то какой?

                                                                    Ответ: функция непериодическая

3.     Показательная функция…… при a>1на всей числовой прямой

                                                          Ответ: возрастает

4.     График показательной функции пересекает координатную ось Oy в точке……

                                                                    Ответ: (0; 1)

Вариант 2

Вопрос

1.      Множеством значений показательной функции является промежуток….

                                                                    Ответ:

2.     Показательная функция является четной, нечетной или имеет общий вид?

                                                                    Ответ: имеет общий вид

3.     В какой точке график показательной функции пересекает координатную ось Ох?

                                                                    Ответ: график показательной

                                                                    функции координатную ось Ох

                                                                    не пересекает

4.     При 0<а<1 функция …… на множестве R.

                                                                    Ответ: убывает

А теперь меняемся листочками  выставляем количество баллов. Верные ответы на доске. А оценку я уже выставлю сама.

Молодцы. Не забываем заносить свои баллы в оценочные листы. Вы поработали  в группе, значит отмечаете свою работу в группе. Вы давали ответ не только за себя, но и за сою группу. Ответственность увеличивается в несколько раз. В этом и есть особенность работы в группе.

5.     Обоснование темы и целей урока.

На предыдущих уроках мы с вами изучали показательную функцию, показательные уравнения и их системы. Методы решения показательных уравнений и их систем.

Хочу вам напомнить самое простое показательное уравнение, с которого мы и начали изучение показательного уравнения.

И так давайте напишем это уравнение и решим его:

Теперь, то мы знаем что это метод сведения к одному основанию. Приведем обе части к основанию 3.

Мы привели обе части уравнения к одному основанию, а теперь приравниваем показатели степени и получим, что . Уравнение решено.

Скажите пожалуйста, если теперь вместо знака «равенство» мы поставим знак «>»,  либо знак «<»? Что мы получим?

Обучающиеся: неравенство

Преподаватель: А какое неравенство?

Обучающиеся: Показательное неравенство.

Преподаватель: Все верно.

Вот мы с вами и пришли к теме сегодняшнего занятия «Показательные неравенства. Приемы их решения» /слайд №4/

Сегодня нашей основной целью будет  Знакомство с показательными неравенствами  и основными приемами решения показательных неравенств.

 /слайд №5/

Давайте попробуем дать определение показательного неравенства.

Определение: Показательное неравенство – это неравенство в котором неизвестное находится в показателе степени .

Простейшее показательное неравенство имеет вид  или , где  и ,  - неизвестное. /слайд № 7/

На этом этапе я бы хотела вам продемонстрировать таблицу. Посмотрите все на экран. /слайд 8/ Приложение 2

6.     Изложение нового материала.

Рассмотрим несколько простых примера. Они лежат у вас на столах Приложение 3. На доске я их не стала показывать, т.к. хочу делать сравнение с нашей таблицей.

1)     

2) 

3) 

4) 

5) 

6) 

Решение всех этих простейших показательных неравенств хорошо видно на графиках. Давайте нарисуем график показательной функции при  и при .

Рисуют графики и на них показывают решение.  А вот когда в показателе степени стоит не просто x, а f(x), то все решается аналогично.  Но если решать по этой таблице, то нам нужно ее запоминать, что не совсем удобно, поэтому мы выведем формулы, которые можно легко запомнить и применить их при решении показательных неравенств.

Давайте вспомним методы решения показательных уравнений. Преподаватель чертит на доске схему, а обучающиеся помогают.

 

При решении показательных неравенств мы с вами будем сравнивать методы решения показательных неравенств с методами решения показательных уравнений.

I. Самым первым и важным методом при решении показательных уравнений был метод «сведение в одному основанию», который в принципе применялся в конце каждого из последующих методов.  Может он применяется и при решении показательных неравенств? Для подтверждения или же опровержения нашего предположения рассмотрим первый пример. /слайд №9/

Приведем к одному основанию 3. Получим

Если бы мы решали показательное уравнение, то мы бы приравняли показатели степени, а в показательном неравенстве мы сравниваем показатели степени. Но прежде чем начать такое сравнение, нам необходимо обратиться к свойству показательной функции.

Когда  график показательной функции возрастает. Давайте попробуем построить график двух показательных функции  и . Графики появляются на доске /слайд №9/

После приведения нашего неравенства к одному основанию, будем сравнивать степени и у нас получается, что

Тоже самое решение мы видим и на графическом изображении. Следовательно ответ мы получили верный.

Ответ:

Мы рассмотрели случай когда . А теперь давайте рассмотрим случай когда . /слайд №10/

Основания у нас одинаковые. Теперь мы можем сравнивать показатели степени. Если бы мы решили это неравенство также как первое, то получили бы следующее неравенство: . Но я вам сразу хочу сказать, что очень многое зависит от основания. В нашем случае основание , т.е. график показательной функции убывает. При сравнение показателей степеней с основанием , знак меняется на противоположный, т.е. мы получаем не , а . Решаем это неравенство и получаем . Это и будет нашим ответом. А теперь давайте посмотрим и подтвердим наш ответ построение графиков функции  и . Графики появляются на доске /слайд № 10/

На этом рисунке мы на самом деле видим, что график функции  располагается выше графика функции  при . Следовательно наше неравенство мы решили верно.

Ответ: .

Обучающиеся строят на доске графики показательной функции при и при . Преподаватель просит отметить на каждом графике по 2 точки сравнить их, а потом отметить значение функции в этих точках и тоже сравнить. На основе этого и решенных показательных уравнений преподаватель с помощью обучающихся делает вывод.

Вывод: Если , то неравенство  равносильно неравенству того же смысла: . Если , то показательное неравенство  равносильно неравенству противоположного смысла:. /слайд № 11/

Мы выявили самый распространенный метод решения показательных неравенств – приведение к одному основанию. Давайте обведем другим цветом на схеме методов решения показательных уравнений.

 

Следовательно метод введения новой переменной применим также и при решении показательных неравенств.

II. Рассмотрим следующий пример. /слайд № 12/

Применяем основные свойства степеней и получаем

Видно, что есть общий множитель , который мы можем вынести за знак скобки.

Привести к одному основанию не получается. Поэтому мы можем прологарифмировать обе части нашего неравенства по основанию 2.

Ответ:

Могли бы также применить определение показательного неравенства и на первом бы этапе получили .

Вывод: При решении этого неравенства мы применили два метода, которые применяли и при решении показательных уравнений – это вынесение общего множителя за знак скобки и логарифмирование обеих частей.

Отметит эти методы на нашей схеме другим цветом.

 

III. Рассматриваем следующее неравенство /слайд № 13/

Сделаем замену , где

Из этого графика видно, что  или

Возвращаемся к нашей замене и получаем

         или       

       или        

Основание 2>1, следовательно получаем

           или         

Ответ:

Вывод: мы получили еще один метод решения показательных неравенств – это введение новой переменной. Отметим его на нашей схеме другим цветом.

 

IV. Рассмотрим следующий пример /слайд № 14/

Это однородное показательно неравенство. Для его решения разделим обе части данного неравенства на .

Делаем замену

Тогда

 

 

Ответ:

Вот мы и получили еще один метод решения показательных неравенств – это решение однородных неравенств

Давайте в нашей схеме исправим слово «уравнений» на «неравенств» и выделим другим цветом.

 

V. Рассмотрим следующий пример показательных неравенств /слайд № 15/

Неравенства такого вида решаются графически. Разделим данное уравнение на 2 функции:  и

1.Функция  f(x)=  - показательная функция по основанию «3». Для построения графика зададим таблицу ее значений:

х	-1	0	1	2	3
f(x)=		1	3	9	27

2. Функция   g(x)= 11-х  - линейная функция, ее графиком является прямая.

х	2	3
g(x)= 11-х	9	8

3. Построим графики этих функций в одной системе координат и выясним , при каких значениях переменной х  выполнено неравенство:   f(x) g(x).

Рассмотрим два  интервала:  :

 если  х,  то f(x) ,   f(x)   Значит, решением неравенства     являются значения х, принадлежащие промежутку  .

Ответ: .

Вот мы и рассмотрели еще один метод решения показательных неравенств – это графический. Давайте отметим его на схеме другим методом.

Вывод: Мы рассмотрели основные методы решения показательных неравенств. Они схожи с методами решения показательных уравнений. Следовательно в нашей схеме теперь мы можем поменять слово «уравнений» на слово «неравенств»

 

7.     Закрепление изученного материала

Давайте также поделимся на две команды. Первая команда – это 1 и 2 ряд, а 2 команда – это 3 и 4 ряд. /слайд № 16/ Приложение 4

 1 команда                                                          2 команда

1)                                                       1)

Ответ:                                                 Ответ:

2)                                            2)  

Ответ:                                                     Ответ:

3)                                              3)

Ответ:                                    Ответ:

4)                                            4)

Ответ:                                                     Ответ:

Обучающиеся из 1 команды решают на доске №1 и №3, а обучающиеся 2 команды - № 1 и №3.Остальные задания решают на местах. Потом высвечивается ответ и обучающиеся сверяют его со своим ответом.

Вы поработали  в группе, значит отмечаете свою работу в группе. Вы давали ответ не только за себя, но и за сою группу. Ответственность увеличивается в несколько раз. В этом и есть особенность работы в группе.

8.     Домашнее задание Приложение 5 /слайд № 17/

1)  

2) 

3) 

4) 

9.     Подведение итогов

Не забываем заполнить оценочный лист Приложение 1 и лист рефлексия Приложение 6

В заключение урока я хочу вам прочитать стихотворение великого математика XIX в. Софьи Ковалевской (1850 – 1891). И пусть это стихотворение сопровождает вас всю жизнь. Постарайтесь понять её напутствие. /слайд № 18/

Если ты в жизни хотя бы мгновенье

Истину в сердце своем ощутил,

Если луч света сквозь мрак и сомненье

Ярким сияньем твой путь озарил:

Чтобы в решенье своём неизменном

Рок не назначил тебе впереди,

Память об этом мгновенье священном

Вечно храни, как святыню в груди.

Тучи сберутся громадой нестройной,

Небо покроется черною мглой,

С ясной решимостью, с верой спокойной,

Бурю ты встретишь и померься с грозой.

(В этом стихотворении выражено стремление к познаниям, умение преодолевать все преграды, которые встречаются на пути).