Конспект "Произво дная функции"

Представим себе прямую дорогу, проходящую по холмистой местности. То есть она идет то вверх, то вниз, но вправо или влево не поворачивает.

Если ось Ox направить вдоль дороги горизонтально, а Oy – вертикально, то линия дороги будет очень похожа на график какой-то непрерывной функции:

Ось Ox – это некий уровень нулевой высоты, в жизни мы используем в качестве него уровень моря. Двигаясь вперед по такой дороге, мы также движемся вверх или вниз.

Также мы можем сказать: при изменении аргумента (продвижение вдоль оси абсцисс) изменяется значение функции (движение вдоль оси ординат).

А теперь давай подумаем, как определить «крутизну» нашей дороги? Что это может быть за величина?

Очень просто: на сколько изменится высота при продвижении вперед на определенное расстояние.

Ведь на разных участках дороги, продвигаясь вперед (вдоль оси абсцисс) на один километр, мы поднимемся или опустимся на разное количество метров относительно уровня моря (вдоль оси ординат).

Продвижение вперед обозначим Δx (читается «дельта икс»).

Греческую букву Δ (дельта) в математике обычно используют как приставку, означающую «изменение».

То есть Δx – это изменение величины x, Δy – изменение y; тогда что такое Δf? Правильно, изменение величины f.

Важно: выражение Δx – это единое целое, одна переменная. Никогда нельзя отрывать «дельту» от «икса» или любой другой буквы!

То есть, например, ΔxΔy≠xy.

Итак, мы продвинулись вперед, по горизонтали, на Δx. Если линию дороги мы сравниваем с графиком функции f(x), то как мы обозначим подъем?

Конечно, Δf. То есть, при продвижении вперед на Δx мы поднимаемся выше на Δf.

Величину Δf посчитать легко: если в начале мы находились на высоте f1, а после перемещения оказались на высоте f2, то Δf=f2−f1.

Если конечная точка оказалась ниже начальной, Δf будет отрицательной – это означает, что мы не поднимаемся, а спускаемся.

Вернемся к «крутизне»: это величина, которая показывает, насколько сильно (круто) увеличивается высота при перемещении вперед на единицу расстояния:

K=ΔfΔx.

Предположим, что на каком-то участке пути при продвижении на 1 км дорога поднимается вверх на 1 км. Тогда крутизна в этом месте равна 1.

А если дорога при продвижении на 100 м опустилась на 0,5км?

Тогда крутизна равна K=−500м100м=−5.

А теперь рассмотрим вершину какого-нибудь холма.

Если взять начало участка за полкилометра до вершины, а конец – через полкилометра после него, видно, что высота практически одинаковая.

То есть, по нашей логике выходит, что крутизна здесь почти равна нулю, что явно не соответствует действительности.

Просто на расстоянии в 1 км может очень многое поменяться.

Нужно рассматривать более маленькие участки для более адекватной и точной оценки крутизны.

Например, если измерять изменение высоты при перемещении на один метр, результат будет намного точнее. Но и этой точности нам может быть недостаточно – ведь если посреди дороги стоит столб, мы его можем просто проскочить.

Какое расстояние тогда выберем? Сантиметр? Миллиметр?

Чем меньше, тем лучше!

В реальной жизни измерять расстояние с точностью до миллиметра – более чем достаточно. Но математики всегда стремятся к совершенству.

Поэтому было придумано понятие бесконечно малого, то есть величина по модулю меньше любого числа, которое только можем назвать.

Например, ты скажешь: одна триллионная! Куда уж меньше?

А ты подели это число на 2 – и будет еще меньше. И так далее.

Если хотим написать, что величина x бесконечно мала, пишем так: x→0 (читаем «икс стремится к нулю»).

Очень важно понимать, что это число не равно нулю! Но очень близко к нему. Это значит, что на него можно делить.

Понятие, противоположное бесконечно малому – бесконечно большое (x→∞).

Ты уже наверняка сталкивался с ним, когда занимался неравенствами: это число по модулю больше любого числа, которое только можешь придумать.

Если ты придумал самое большое из возможных чисел, просто умножь его на два, и получится еще больше. А бесконечность еще больше того, что получится.

Фактически бесконечно большое и бесконечно малое обратны друг другу, то есть при x→0: 1x→∞, и наоборот: при x→∞: 1x→0.

Теперь вернемся к нашей дороге.

Идеально посчитанная крутизна – это крутизна, вычисленная для бесконечно малого отрезка пути, то есть:

K=ΔfΔx при Δx→0.

Замечу, что при бесконечно малом перемещении изменение высоты тоже будет бесконечно мало.

Но напомню, бесконечно малое – не значит равное нулю. Если поделить друг на друга бесконечно малые числа, может получиться вполне обычное число.

Например, 2. То есть одна малая величина может быть ровно в 2 раза больше другой.

К чему все это?

Дорога, крутизна… Мы ведь не в автопробег отправляемся, а математику учим. А в математике все точно так же, только называется по-другому.

Понятие производной

Производная функции — это отношение приращения функции к приращению аргумента при бесконечно малом приращение аргумента.

Приращением в математике называют изменение.

То, насколько изменился аргумент (x) при продвижении вдоль оси Ox, называется приращением аргумента и обозначается Δx.

То, насколько изменилась функция (высота) при продвижении вперед вдоль оси Ox на расстояние Δx, называется приращением функции и обозначается Δf.

Итак, производная функции f(x) – это отношение Δf к Δx при Δx→0.

Обозначаем производную той же буквой, что и функцию, только со штрихом сверху справа: f′(x) или просто f′.

Итак, запишем формулу производной, используя эти обозначения:

f′(x)=Δf/Δx при Δx→0

А бывает ли производная равна нулю? 

Как и в аналогии с дорогой здесь при возрастании функции производная положительна, а при убывании – отрицательна.

Конечно. Например, если мы едем по ровной горизонтальной дороге, крутизна равна нулю. И правда, высота ведь не совсем меняется. Так и с производной: производная постоянной функции (константы) равна нулю:

C′=0, C=const,

так как приращение такой функции равно нулю при любом Δx.

Вычисление производных константы и степенной функции

Начнем с простого.

Правила дифференцирования

Правила чего? Опять новый термин, опять?!...

Дифференцирование – это процесс нахождения производной.

Только и всего. А как еще назвать этот процесс одним словом? Не производнование же... Дифференциалом математики называют то самое приращение функции Δf при Δx→0. Происходит этот термин от латинского differentia — разность. Вот.

При выводе всех этих правил будем использовать две функции, например, f и y. Нам понадобятся также формулы их приращений:

Δf=f(x+Δx)−f(x) ⇒ f(x+Δx)=f(x)+ΔfΔy=y(x+Δx)−y(x) ⇒ y(x+Δx)=y(x)+Δy

Всего имеется 5 правил.

Производная сложной функции

Что такое «сложная функция»? Нет, это не логарифм, и не арктангенс. Данные функции может быть сложны для понимания (хотя, если логарифм тебе кажется сложным, прочти тему «Логарифмы» и все пройдет), но с точки зрения математики слово «сложная» не означает «трудная».

Представь себе маленький конвейер: сидят два человека и проделывают какие-то действия с какими-то предметами. Например, первый заворачивает шоколадку в обертку, а второй обвязывает ее ленточкой. Получается такой составной объект: шоколадка, обернутая и обвязанная ленточкой. Чтобы съесть шоколадку, тебе нужно проделать обратные действия в обратном порядке.

Давай создадим подобный математический конвейер: сперва будем находить косинус числа, а затем полученное число возводить в квадрат.

Итак, нам дают число \displaystyle  x (шоколадка), я нахожу его косинус (обертка), а ты затем возводишь то, что у меня получилось, в квадрат (обвязываешь ленточкой). Что получилось?

Функция \displaystyle  y={{\cos }^{2}}x. Это и есть пример сложной функции: когда для нахождения ее значения мы проделываем первое действие непосредственно с переменной, а потом еще второе действие с тем, что получилось в результате первого.

Другими словами, сложная функция – это функция, аргументом которой является другая функция: \displaystyle  y\left( f\left( x \right) \right).

1. Производная от числа равна нулю.

a′=0.

Пример:

7′=0; (1⁄3)′=0; (-2,5)′=0; (√11)′=0

Вычислите:

1)      4′ =

2)      (-15)′ =

3)      (7,81)′ =

4)      (√2)′=

5)      (5/7)′ =

2. Производная от любой переменной равна единице.

x′=1.

Вычислите:

1)      у′ =

2)      в′=

3. Постоянный множитель можно выносить за знак производной.

(ax)′=a

Пример: 

(13х)′=13; (-¼х) ′ = -¼; (√2х)′ = √2

Вычислите:

1)      (101х)′ =

2)      (-56х)′ =

3)      (⅞х) ′ =

4)      (√8х) ′ =

4. Производная степени: (xⁿ)′=n·xⁿˉ¹

Пример:

(х⁶)′=6х⁵; (3х⁴)′ = 3·4х³ = 12х³; (-¼х⁴)′ =-¼·4 х³=- х³

Вычислите:

1)      (Х²¹)' =

2)      (10х⁴)' =

3)      (-⅓х³)' =

4)      (Х^1/2)' =

5. Производная суммы двух функций:

(u+v)′=u′+v′

Пример: (3х+5)'=(3х)'+5'=3+0=3

(5х²+8х-10)'=(5х²)'+(8х)'-10'=5·2х+8-0=10х+8

Вычислите:

1)      (3х² – 6х)' =

2)      (х³+ 4х¹⁰⁰-1)' =

3)      (3х⁴-7х³+2х²+5)'=

6. Производная произведения двух функций:

(u·v)′=u′·v+u·v′

Пример: (х(х+3))' = х'·(х+3) + х· (х+3)'= 1·( х+3) + х · 1=х+3+х=2х+3

((х²-х)(5х-8))'= (х²-х)'·(5х-8) + (х²-х)·(5х-8)'=(2х-1)(5х-8)+

+(х²-х)5= 10х²-21х+8+5х²-5х= 15х²-26х+8

Вычислите:

1)      ((х+5)(х+7))'=

2)      ((х²-2)(х⁷+4))'=

7. Производная частного двух функций:

(u/v)′=(u′·v-v′·u)/v²

Пример: (х²/(х+3))'= ((х²)'·(х+3) - х²·(х+3)')/(х+3)²=(2х(х+3)-х²)/(х+3)² =(2х²+6х - х²) /(х+3)²=(х²+6х) /(х+3)²

Вычислите:

1)      ((3х)/(2х-1))'=

2)      ((6х-9)/(-11х+7))'=