Конспект разработки факультативного курса по математике "Комбинаторика. Правила сложения и умножения" (7 класс)

РАЗРАБОТКА ЗАНЯТИЯ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА В 7 КЛАССЕ ПО ТЕМЕ «КОМБИНАТОРИКА. ПРАВИЛА СЛОЖЕНИЯ И УМНОЖЕНИЯ».

Цели занятия:

Обучающая:

а) введение понятия «комбинаторика»;

б) научить учащихся  решению задач на применение правил комбинаторики - правил сложения и умножения.

Развивающая:

Развитие математически грамотной речи, логического мышления, сознательного восприятия учебного материала.

Воспитательная:

Воспитание познавательной активности, культуры общения, ответственности.

Методы проведения занятия: беседа, мини-диалог, самостоятельная работа.

ПЛАН ЗАНЯТИЯ

I.                    Организация начала урока.

II.                 Постановка задачи и целей занятия.

III.              Введение новых понятий.

IV.              Закрепление. Решение упражнений.

V.                Подведение итогов занятия.

ХОД ЗАНЯТИЯ

I.                    Организационный момент.

II.                 Делаю краткое вступление. Сообщаю задачу и цели занятия. Совершаем небольшой экскурс в историю комбинаторики. Ученики слушают сообщение на тему «Комбинаторика – наука о составлении и подсчёте комбинаций». В тетрадях  и на доске записи:

Мифы Древнего Востока – задача построения магического квадрата.

Б.Паскаль, П.Ферма – теория азартных игр.

Г.Лейбниц, Я.Бернулли, Л.Эйлер – развитие комбинаторных методов.

III.              Введение новых понятий. Составляем конспект опорных понятий.

При получении любой комбинации мы составляем её из отдельных элементов, последовательно соединяя их друг с другом. Чаще всего эти элементы выбирают из некоторого конечного множества. Подсчитать общее число возможных комбинаций помогает одно из важнейших правил комбинаторики – правило умножения.               

Правило умножения (простейший случай): если первый элемент в комбинации можно выбрать а способами, после чего второй элемент – в способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет  а×в.

Пример 1. Подсчитать количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3.

Решение. На первое место цифру можно выбрать тремя способами, после чего на второе место – тоже тремя способами. Значит, всего таких чисел по правилу умножения можно получить 3×3=9. Можно проверить ответ, выписав друг за другом все эти числа в порядке возрастания: 11,12,13,21,22,23,31,32,33. Видно, что они разбились на три группы по три числа в каждой – отсюда и правило умножения при подсчёте таких комбинаций.

Но бывают задачи, в которых после выбора одного из а объектов в качестве первого элемента комбинации нельзя однозначно сказать, сколькими способами можно выбрать второй элемент – это зависит от того, какой именно объект был выбран первым. Рассмотрим такую ситуацию на примере.

Пример 2. Подсчитать количество двузначных чисел, которые можно составить из цифр 1, 2, 3 так, чтобы первая цифра была меньше второй.

Решение. На первое место  цифру можно выбрать тремя способами, а вот на второе место после этого: двумя способами, если первой цифрой была выбрана цифра 1; одним способом, если 2; нулём способов, если 3.

В данном случае приходится применять правило сложения: разбить все комбинации на непересекающиеся классы, подсчитать количество комбинаций в каждом классе (например, по правилу умножения), а затем сложить эти количества. Это очень важное правило для решения задач.

Однако правило умножения необходимо сформулировать ещё раз: если нужно сформировать комбинацию из к элементов и при этом первый элемент в комбинации можно выбрать п способами, после чего второй элемент – т способами, после чего третий – с способами и так далее, то всего таких комбинаций будет  п×т×с×…в.

Самый естественный порядок, который можно установить на комбинациях, называется лексикографическим. Это принцип упорядочения: сначала сравниваются первые элементы комбинаций; если они совпадают, то сравниваются вторые, и так далее до первой пары несовпадающих элементов. Та комбинация, у которой этот элемент меньше, считается меньшей. Если сравнение элементов оборвалось из-за того, что одна из комбинаций оказалась короче, то она также считается меньшей. При сравнении комбинаций предполагаем, что порядок уже установлен на элементах, из которых строится комбинация. Приводятся примеры.

IV.              Закрепление. Решение упражнений.  

Вызываю к доске учеников, и вместе с классом решаем задачи:

1.      Сколькими способами можно посадить шестерых школьников на скамейку так, чтобы Коля и Оля  оказались рядом?

2.      В компьютере каждый символ (буква, цифра, специальный знак) кодируется последовательностью из восьми 0 и 1, например: 01000110 – код буквы

00110010 – код цифры 2 и т. д. Сколько различных символов можно закодировать подобным образом? Сколько существует различных двоичных кодов длины 8?

Затем три ученика выходят к доске и решают задания:

 

б) Тем временем весь класс самостоятельно решает задачу:

 В номере автомобиля записываются подряд буква, три цифры и ещё две буквы. Сколько таких номеров можно составить, если использовать только буквы А, В, Е, К, М, Н, О, Р, С, Т, У, Х (Эти буквы используются в реальных номерах российских автомобилей, поскольку совпадают по начертанию с буквами латинского алфавита)?

V.                Подведение итогов занятия.

Провожу рефлексию. Повторяем основные понятия, записанные в тетрадях. Предлагаю решить задачи дома.

1. Сколькими способами можно выбрать на шахматной доске две различные клетки так, чтобы из одной в другую можно было попасть ходом а) ладьи; б) слона?

ЛИТЕРАТУРА

1.      Е.А. Бунимович, В.А. Булычёв. Вероятность и статистика в курсе математики общеобразовательной школы. Педагогический университет «Первое сентября», М.

2.      БЭС Математика.  Научное издательство «Большая Российская энциклопедия», М., 1998 г.

3.      А.Г. Мордкович. Дополнительные главы к учебнику алгебры 7-9 классы. Мнемозина, М., 2002г.

4.      С.М. Никольский, М.К. Потапов. Арифметика 6 класс, Алгебра 8 класс. Мнемозина, М., 2010 г.

5.      Интерактивное оборудование: доска, документ-камера.