Конспект "Решение параметрических уравнений"

Решение уравнения с параметром графическим способом.

Пример 1 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение. Заменим решение уравнения решением системы

 

Выразим а из каждого  из уравнений системы

 

 

 

 

Найдем точки пересечения графиков функций

3х=х+4                                                                -3х=х+4                                3х=- (х+4)           -3х= - (х+4)

2х=4                                                                     -4х=4                                    4х=-4                    -2х= - 4

Х=2                                                                       х= -1                                      х= -1                      х=2

Точки пересечения  графиков (2;6) , (-1;3), (-1;3), (2;-6) обозначим  на графике выколотыми точками. График  а=  - сплошная линия ( решения), а - прерывистая линия( графики этих функций не являются решениями уравнения).Пересечения решений с этими графиками изобразим выколотыми точками.

Ответ: (-

Пример 2

Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно два различных корня.

Решение. Заменим решение уравнения решением системы уравнений

 

Выразим а из каждого   уравнения системы, получим

 

Построим графики функций относительно  параметра а.

При х>0   a=- x-3+4x=3x-3

При х≤0 а=-х-3-4х= - 5х-3

Найдем координаты вершины параболы :  

а=

Найдем точки пересечения графиков

При х>0                               При х≤0

3х-3=                       -5х-3=

-4х+3=0                          х+3=0

Х₁= 1 или Х₂=3                  Х₁= - 3     Х₂= -1

а= 0 или а=6                     а= 12    а=2

Ответ: при а (-3;0)U(0;2)U(2;6)U(6;12)U(12;+∞) уравнение имеет два различных корня.

Пример 3 . Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение

ах+=3а+3 имеет единственный корень

=3а+3-ах

=а(3-х)+3

= а(3-х)+3  ( Преобразуем выражение, выделим квадрат двучлена)

= а(3-х)+3

= а(3-х)+3

Графиком функции у=  является половина окружности, центром которой является точка с координатами (-2;0) и радиусом равным 3. У≥0.

Построим график функции у= и найдем,  при каких значениях параметра а этот график имеет с графиком у= а(3-х)+3 одно пересечение.

При х=-5 у=0 , получим

0=а(3+5)+3

а=-0,375

При х=-2 у=3, получим

3=а(3+2)+3

5а=0

а=0

При х=1  у=0, получим

0=а(3-1)+3

2а=-3

а=-1,5

Если а=-0,375, получим уравнение прямой  у= -0,375(3-х)+3= 0,375х+1,875

Если а=0 , получим уравнение прямой у=0(3-х)+3=3

Если а=-1,5, получим уравнение прямой у=-1,5(3-х)+3= 1,5х—1,5

Одно пересечение прямые имеют при значениях  а на интервале [-1,5;-0,375)  и при а=0, в остальных случаях будут два пересечения.

Ответ: [-1,5;-0,375) U{0}.

Пример 4

Найдите наименьшее натуральное значение а, при котором расстояние между наибольшим и наименьшим корнями уравнения (Х-а+4)(Х²-аХ+4а-17)=0 не меньше 9.

Решение. Приравняем к нулю каждый из множителей уравнения и выразим переменную Х.

1)      Х-а+4=0    

             Х=а-4

2)      Х²-аХ+4а-17=0

D=(-a)²-4(4a-17)=a²-16a+68

X₁=    или  X₂=

Наименьшим корнем является X₁= , наибольшим X₂.

Запишем расстояние между этими корнями | X₂- X₁|= - =

По условию это расстояние должно быть не меньше 9, получим неравенство.

 

 

а²-16а+68

а²-16а-13≥0

a₁= 8-  или а₂=8+

Решением неравенства являются интервалы (-∞;8-)U(8+;+∞).

Наименьшим  натуральным числом а является число 17. Так как 8<.

Ответ: а=17

Пример 5. Найдите все значения а, при каждом из которых множество значений функции

У= содержит отрезок [0;1].

Найдем область допустимых значений.

100х²+20ах+а²+25

(10х+а)²+25

Следовательно,  D(Y)=(-;+).

Так как множество значений функции содержит отрезок [0;1], значит необходимо решить два уравнения:

  и

5а+150х-10ах=0

150х -10ах= - 5а

30х-2ах= -а

Х(30-2а)=-а

Если 30-2а=0  , то   а=15. Решений нет.

Значит при а 

 

5а+150х-10ах=100х²+20ах+а²+25

100х²+20ах+а²+25-5а-150х+10ах=0

100х²+30ах-150х+а²-5а+25=0

100х²+х(30а-150)+а²-5а+25=0

Потребуем, чтобы    

-2250a+5625-100a²+500a-2500=125 a²-1750a+3125=125(a²-14a+25)

125(a²-14a+25) 

a²-14a+25

 

а₁=7-   или а₂=7+2

Ответ: (;7-2U[7+2

Пример 6. Найдите  все значения а, при каждом из которых уравнение

 ln(9x²-a²)=ln(3x+a)

имеет ровно один корень.

Решение. Найдем область допустимых значений

      

Решения уравнения будут

5-7х=0   или    ln(9x²-a²)=ln(3x+a)

Х=    или   (9x²-a²)=(3x+a)

                               (3х-а)(3х+а)-(3х+а)=0

                               (3х+а)(3х-а-1)=0

                               а=-3х или а=3х-1

Построим в системе координат решения черной сплошной линией, заштрихуем область допустимых значений. Найдем точки пересечения прямых.

Х= и а=-3х                                        Х= и  а=3х-1                 а=-3х и  а=3х-1                а=3х  Х=

а=-3=-                                         а=3-1=                           -3х=3х-1                              а=3=

                                                                                                              6х=1

                                                                                                              Х=   а=-3

Учитывая рисунок, запишем значения а при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень  Ответ: (,  (-; ) ,  (;)