Конспект тему "Решение тригонометрических уравнений" (11класс)

Тема

Решение тригонометрических уравнений

теоретическое занятие  – 2 час

Цель занятия; Формирование навыков решения тригонометрических уравнений

Задачи:

1. Изучить основные способы решения тригонометрических уравнений

2. Уметь применять основные способы решения тригонометрических уравнений к конкретным примерам.

Литература: По учебнику Колмогорова – гл. 1 § 3 (11)

Содержание учебного материала

Для решения тригонометрического  уравнения его приводят к одному или нескольким простейшим тригонометрическим уравнениям (см. материалы занятия выше).

Имеются три основные метода решения тригонометрических уравнений:

1) алгебраические методы: разложение на множители, использование свойств дробей и др.

2) способ введения нового неизвестного или новой переменной величины;

3) применение формул тригонометрии.

Эти методы при решении конкретного уравнения часто идут один за другим, образуя алгоритм решения уравнения.

-Уравнения, приводящиеся к алгебраическим, с помощью основных формул и замены переменной:

.

Далее,  примеры: по учебнику Колмогорова №№164-168(а,в) (с.83-84).

- Однородные уравнения относительно  вида:

 (1)

В однородных уравнениях сумма  показателей степеней у синуса и косинуса одна и та же и равна степени уравнения). Значит (1) – это однородное уравнение первой степени, тогда однородное уравнение второй  степени имеет вид:

  (2).

Здесь а,b и с –  обычно, числовые коэффициенты.

Решаются эти уравнения почленным делением на cos x¹0 для  уравнений первой степени и на cos² x¹ 0 – для второй степени.

Примеры: по учебнику Колмогорова №169 (а,в),

- Уравнения, приводящиеся к однородным с помощью формул двойных углов.

Примеры: по учебнику Колмогорова №170-172(а,в), №173(а,г)

- Преобразование сумм в произведение.

Пример 1

         Решить уравнение: .

            Решение:  Пусть , заменяем переменную и получим:

.

         Решая это квадратное уравнение, имеем: .

Þ  .

         Заменяем полученные значения z на , получаем два простейших уравнения:

         1)    и   2) , решая которые, находим:

          ;    , где n и k любые целые числа.

         Ответ: ;  ,

         Пример 2

         Решить уравнение: .

         Решение: Приводим уравнение к квадратному относительно синуса х, используя основное тригонометрическое тождество:

Решая простейшие уравнения 1) и 2), получим множества решений данного уравнения:

 и

- Однородные уравнения относительно  вида:

                                                                           ^(1).

         В однородных тригонометрических уравнениях сумма  показателей степеней у синуса и косинуса одна и та же и равна степени уравнения. Значит выражение (1) является однородным уравнением первой степени, тогда однородное уравнение второй  степени имеет вид:

                                 ^(2).

Здесь а,b и с –  обычно, числовые коэффициенты.

Решаются эти уравнения почленным делением на cos x¹0 для  уравнений первой степени и на cos² x¹ 0 – для второй степени.

         Пример 3

         Решить уравнение: .

         Решение: Данное уравнение является линейным однородным (см.(1)), поэтому разделив почленно на cos x¹0 , получим:

простейшее уравнение относительно тангенса, решая которое по формуле (8.40) находим:

 Þ , .

         Ответ: , .

         Пример 4

         Решить уравнение: .

         Решение: Данное уравнение является квадратным однородным (см.(8.44)), поэтому разделив почленно на cos² x¹0 , получим:

отсюда получаем:     или   .   Следовательно,

, , или   , .

         Ответ:  ;  ,  .

- Уравнения, приводящиеся к однородным с помощью формул двойных углов.

         Пример 5

         Решить уравнение: .

         Решение: применяя формулу синуса двойного угла и основное тригонометрическое тождество, получим уравнение

,

преобразуемое к квадратному однородному:

,

разделив почленно на cos² x¹0 , получим:

,

отсюда     или     . Следовательно,

            или  , где .

         Ответ: ;  , .

- Преобразование сумм в произведение.

         Пример 6

         Решить уравнение: .

         Решение: Преобразуем сумму синусов в произведение:

,

отсюда имеем простейшие уравнения, вида: 1);

2) cos x=0Û. В ответ записываем, более общую, первую серию решений: .

         Ответ: .

         Пример 7

         Решить уравнение: .

            Решение: Применяя формулу преобразования разности косинусов в произведение, получим:

,

 отсюда получим два простейших уравнения вида: 1) ; 2) , решая их имеем два множества: 2) ; 1) , где  .                Первое множество решений включает второе, поэтому его принимаем за окончательное решение уравнения.

         Ответ: .

Примеры на занятии: №621.1) ; 623.1); №624.1); №626.1); №636.1)

ДЗ. Решать: №621.2) ; 623.2); №624.2); №626.2) №636.2)

Решение тригонометрических уравнений

Список литературы

1.Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. и др. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений. – М: Просвещение, 2016.

2.Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др. Геометрия, учебник для 10-11 кл. общеобразовательных учреждений – М: Просвещение, 2011.

3.Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. и др. Алгебра и начала математического анализа, 10 – 11 кл.: учебник для общеобразовательных учреждений с прил. на электронном носителе – М: Просвещение, 2012.

4. Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей: учебник. - Ростов н/Д, Изд-во:  Феникс, 2019.

Краткое описание документа:

Рассмотрены особенности, способы и примеры решения типовых тригонометрических уравнений.