Тема
урока:
Уравнение
окружности
Цели:
Образовательные:
Вывести
уравнение окружности, рассмотрев решение этой задачи как одну из возможностей
применения метода координат.
Уметь:
– Распознать
уравнение окружности по предложенному уравнению, научить учащихся составлять
уравнение окружности по готовому чертежу, строить окружность по заданному
уравнению.
Воспитательные:
Формирование критического мышления и навыков работы в группе.
Развивающие: Развитие
умения составлять алгоритмические предписания и умение действовать в
соответствии с предложенным алгоритмом.
Уметь:
– Видеть проблему
и наметить пути её решения.
– Кратко излагать
свои мысли устно и письменно.
Тип
урока:
усвоения новых знаний.
Оборудование:
ПК , мультимедийный проектор, экран.
План
урока:
1. Вступительное
слово – 3 мин.
2. Актуализация
знаний – 2 мин.
3. Постановка
проблемы и её решение в ходе общеклассной дискуссии –10 мин.
4. Фронтальное
закрепление нового материала – 7 мин.
5. Самостоятельная
работа в группах – 15 мин.
6. Презентация
работы группы 2. Обсуждение – 5 мин.
7. Итог урока.
Домашнее задание – 3 мин.
Ход урока:
1. Вступительное слово
Формулы координат середины отрезка и расстояния между
двумя точками можно использовать для решения более сложных геометрических
задач. С этой целью следует ввести прямоугольную систему координат и записать
условие задачи в координатном виде. После этого решение задачи проводится с
помощью алгебраических вычислений.
Такой метод решения задач принято называть методом
координат.
Сегодня мы с вами используя метод координат, выведем
уравнение окружности.
2.Актуализация
знаний
Повторение
материала, изученного ранее на слайде 3:
– Запишите формулу
нахождения координат середины отрезка.
– Запишите формулу
вычисления длины вектора.
– Запишите формулу
нахождения расстояния между точками (длины отрезка).
3.
Постановка проблемы и её решение
Осуществляется
в ходе общеклассной дискуссии по плану, предложенному на слайдах 4 – 7
презентации (Приложение 1.
–
Презентация «Уравнение окружности»).
Слайд 4 презентации
Как вы считаете, что значит составить
уравнение окружности, и что для этого нужно знать?
Всякую фигуру мы рассматриваем как совокупность точек,
из которых она состоит, и задать фигуру- это значит задать способ, по которому
можно было бы узнавать принадлежит ли та или иная точка рассматриваемой фигуре
или нет.
Какое самое важное условие можно выделить
в определении окружности?
Слайд 5 презентации
Слайд 6 презентации
Слайд 7 презентации
Итак, что надо знать для составления
уравнения окружности?
Предложите алгоритм составления уравнения
окружности.
Вывод: слайд8, записать в тетрадь.
Слайд 8 презентации
4.Закрепление
Фронтальная
работа. Выполнить упражнения, предложенные на слайдах 9 – 12.
Слайд 9 презентации
Слайд 10 презентации
Слайд 11 презентации
Слайд
12 презентации
5.
Самостоятельная работа в группах
Для
проведения следующего этапа урока класс делится на 3 группы:
–
1 группа с низким уровнем мотивации к учебе;
–
2 группа высокий уровень;
–
3 группа – средний.
Задание
группам слайды 13-19
Слайды
13, 14 презентации
Учащиеся
группы получают карточки на бумажном носителе и работают на них. Карточки
сдаются на проверку.
Слайды
15, 16 презентации
Решение
этой задачи заполняется в таблице на слайде и сразу же проецируется на экран.
Ответы к заданию
для группы 2
Дано
|
Радиус
|
Координаты центра
|
А(0;−6)
В(0; 2)
|
d 2= (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
СВ
2=R 2=(0-0)2+(2+2)2=16
R 2=16
R =4
|
А (0; −6)
В (0; 2) .
С ( 0 ; -2)-середина АВ
С ( 0 ; -2 )-центр
|
А(−2;0)
В( 4; 0)
|
СВ
2=R 2=(4-1)2+(0-0)2=9
R 2=9
R =3
|
А(−2;0)
В( 4; 0)
С(1;0)-центр
|
Слайды 17, 18
презентации
Решение
оформляется в тетради. Тетрадь сдается на проверку.
Ответы
к заданиям группы 3:
№ 1
1. Центр окружности
– А(3;2);
2. R = АВ;
АВ2 =
(7 – 3)2+ (5 – 2)2 = 25; АВ = 5;
3. Уравнение
окружности (х – 3)2 + (у − 2)2= 25.
№2
R2 = ОС2
= (3 – 0)2 + (–1–0)2 = 9 + 1 = 10;
Уравнение
окружности: (х – 3)2 + (у + 1)2 = 10.
6.
так, сегодня на уроке мы с вами не только вывели
уравнение окружности,но ия на экран.фигуру- это ззначитзадать способ,по котороПрезентация
работы группы 2
Обсуждение.
Таблица
и алгоритм решения задачи представляется группой на экране, записывается в
тетрадь как план решения задачи для домашней работы. (Задача №969).
7.
Итог урока. Домашнее задание
Итак,
сегодня на уроке мы с вами не только вывели уравнение окружности, но и
рассмотрели его применение при решении задач. Кроме того, научились сами
составлять алгоритмы решения задач. А в работе по готовому алгоритму я
предлагаю вам поупражняться при выполнении домашней работы.
Задание
на дом:
1. Повторить:
уравнение окружности, уравнение окружности с центром в начале координат.
Разработка урока «Применение уравнения
окружности к решению задач», геометрия 9 класс
Тема
урока:
Применение
уравнения окружности к решению задач
Цели:
Образовательные: Показать
связь между алгеброй и геометрией.
Уметь:
– Находить
уравнение окружности ; приводить формулу к стандартному виду.
– Применять
современные ИКТ для оформления результатов исследования.
– В комплексе
применять полученные знания
Воспитательные:
Формирование критического мышления и навыков работы в группе.
Развивающие:
Приобретение навыков работы с большими объёмами информации.
Уметь:
–Видеть проблему и
наметить пути её решения.
–Кратко излагать
свои мысли устно и письменно.
Тип
урока:
Обобщение и оценка знаний.
Оборудование:
ПК , мультимедийный проектор, экран, оценочные листы для учителя и учащихся.
План
урока:
1. Вступительное
слово учителя – 3 мин.
2. Актуализация
знаний учащихся (общеклассная дискуссия), составления алгоритма приведения
уравнения окружности к стандартному виду – 10 мин.
3. Самостоятельная
работа обучающего характера – 7 мин.
4. Закрепление
полученного алгоритма. Рассматривается на примере задачи Аполлония
Пергского, (260-170 гг. до н.э.), объяснение учителя – 7 мин.
5. Защита
творческой работы учащихся теме: «Уравнение окружности. Загадочная формула». Обсуждение
– 15 мин.
6. Подведение
итогов. Задание на дом – 3 мин.
Ход
урока:
1.
Вступительное слово
На
последних уроках геометрии мы познакомились с еще одним способом решения задач методом
координат.
Алгебра
и геометрия, которые сейчас большинство школьников воспринимают как совершенно
разные науки, на самом деле очень близки. С помощью метода координат можно было
бы изложить весь курс геометрии используя только числа и алгебраические
операции.
Задавая
фигуры уравнением и выражая в координатах геометрические соотношения, мы
применяем алгебру к геометрии. Так мы поступили, когда выразили через
координаты основную геометрическую величину – расстояние между точками, а
затем, когда вывели уравнение окружности и прямой.
Пользуясь
координатами, можно истолковывать уравнения и неравенства геометрически и таким
образом применять геометрию к алгебре и анализу. Графическое изображение
функций – первый пример такого применения метода координат.
Метод
координат в соединении с алгеброй составляет раздел геометрии, называемый аналитической
геометрией.
Сегодня
мы поговорим об уравнении окружности и проследим, как алгебра помогает в
решении геометрических задач и наоборот.
2.
Актуализация знаний
На
доске написаны уравнения. Какие фигуры они задают? Общеклассная дискуссия сопровождается
презентацией (Приложение 2. – «Применение уравнения окружности к решению
задач»).
Слайд 3 презентации
3.
Закрепление
Самостоятельная
работа, взаимопроверка. Правильные ответы записаны на откидной доске.
Карточки для
самостоятельной работы
1 вариант
|
2 вариант
|
(Х+5)2+(у-6)2=1
|
(Х-9)2+(у-2)2=25
|
(Х-2)2+(у2-2у+1)=1
|
(Х+4)2+(у2-6у+9)=25
|
Х2+у2-6х+2у=2
|
Х2+4х+у2-4у=2
|
Задание:
выясните, будет ли данные уравнения задавать окружность, если да, то укажите
радиус и координаты центра.
4.Следующую
задачу решает учитель
Задача:
Что представляет собой множество точек плоскости, отношение расстояний от
которых до двух данных точек есть величина постоянная?
Решение:
Впервые эту задачу сформулировал и решил Аполлоний Пергский, (260-170 гг. до
н.э.)
Решение
получилось очень сложное – поскольку применены геометрические приемы. Однако в
работах французского математика Рене Декарта эта задача решена более элегантно.
Декарт применил метод координат.
Я
предлагаю посмотреть на это решение. Итак, пусть даны две точки ,А и В и
некоторое положительное число k, равное отношению расстояний до точки М.
1случай.
Если k=1,тогда множество точек М есть серединный перпендикуляр к отрезку АВ.
2
случай. Пусть k целое не отрицательное число не равное 1
Для
удобства решения возьмем k=2 , т.е. МА: МВ=2.
Введем
систему прямоугольных координат. Совместим начало отсчета с точкой В. В
качестве положительной полуоси x возьмем луч ВА. (рис.2)
Тогда
получим следующие координаты точек: В(0,0), А(a,0), М(x,y). Пусть a=3 опять для
простоты рассуждений.
Тогда,
пользуясь формулами расстояния между двумя точками, запишем:
Получили
уравнение окружности с центром в точке (-1;0) и радиусом r=2.
Значение
радиуса не случайно вспомним, что мы выбрали k=2.
Решая задачу в общем виде т.е. при условии
,что точка А имеет координаты (a;0) и k≠1 получим уравнение окружности в виде:
Такая
окружность называется окружностью Апполония.
Окружность Апполония
Таким
образом, мы решили геометрическую задачу алгебраическим методом.
5.
Защита проекта
За
неделю до урока группа учащихся получает индивидуальное задание выполнить
проект: «Уравнение
окружности. Загадочная формула».
Требования к презентации
1.
Общие:
1.1. Количество слайдов – не менее 6, не более 10
1.2. Обязательные слайды: тема и авторы; цели; выводы; используемые источники
информации (не менее 3)
2.
Содержание:
2.1. Факты изложены чётко, кратко и доступно.
2.2. Наличие целей работы и соответствующих целям выводов
3.
Оформление:
3.1. Единая цветовая схема.
3.2. Размер шрифта: для заголовка–не менее 36, для текста –18.
3.3. Количество эффектов анимации – не более 3 на слайд.
3.4. Использование картинок, фотографий, видео, а также таблиц, схем и
диаграмм.
Карточка
с предварительным заданием группе
Предварительное
задание группе:
|
Тема
проекта: «Уравнение окружности. Загадочная
формула».
|
Примерное содержание проекта:
|
1. Окружность
как модель устройства мира.
2.
Решение
алгебраической задачи с помощью геометрии на примере задачи Германа
Минковского (1864-1909 г).
3. Применение
алгебраических и геометрических методов решения задач в жизненных ситуациях.
|
Возможные информационные источники:
|
1. Математический
энциклопедический словарь. Аналитическая геометрия. М., «Советская
энциклопедия»,1988
2.
Сикорский
К. П.Дополнительные главы по курсу математики. М.,Просвещение,1969
3.
Сайт
«Устье Речи», http://ustierechi.ucoz.ru/publ/14-1-0-169
4. Сайт bestreferat.ru
http://www.bestreferat.ru/referat-135774.html
|
Результаты
своей работы представить в виде презентации, выполненной в Power Point.
|
Сейчас рассмотрим обратный вариант –
решение алгебраической задачи с помощью геометрии. На уроке будет представлена
защита творческой работы, которую выполнила группа учащихся класса. После
презентации 2–3 минуты даётся на обсуждение.
Схема
обсуждения :
– Перечислить три
наиболее сильные стороны представленной презентации.
– Перечислить два
момента, требующих доработки.
– Внести свои
предложения по усовершенствованию проекта (если такие есть).
– Сделать итоговый
вывод и выставить общий балл за выступление на основании листов оценивания.
Критерии оценки проекта
1)
обоснованность актуальности темы проекта и предлагаемых решений;
2)
объем, полнота разработок, самостоятельность, законченность;
3)
уровень творчества, оригинальность раскрытия темы;
4)
дизайн, стиль, соответствие стандартным требованиям, структура текста, качество
схем, рисунков, диаграмм, анимации и др.;
5)
качество доклада;
6)
проявление глубины и широты знаний по излагаемой теме.
Лист оценивания презентаций
|
Оценивайте каждый критерий по 5–ти бальной системе. Сложите
баллы в каждой колонке и разделите на 5 (количество критериев), округлите
полученный результат до целого числа.
|
Критерии
|
Баллы
|
1. Представленные
факты точны, полезны и актуальны.
|
|
2. Использована
научная терминология
|
|
3. Презентация
логично выстроена
|
|
4. В
презентации поставлены цели, они достигнуты, сделаны соответствующие выводы.
|
|
5. Использование
картинок, видео, звука обосновано, логично, соответствует моменту.
|
|
Сумма баллов
|
|
Оценка
|
|
6.
Итак, подведём итоги
Судя
по содержанию вашей презентации объёму переработанного материала, тема усвоена
хорошо. Вы убедились, что в окружающей нас действительности возникает много
различных ситуаций, связанных с решением геометрических и задач. Это делает
мир вокруг нас красивым и гармоничным.
Результаты
вашей работы мы подведём на следующем уроке выведением среднего балла за все
этапы работы над проектом.
Подведение
итогов. Задание на дом: Повторение материала по теме: «Метод координат в
пространстве».
Источники информации:
1. Математический
энциклопедический словарь. Аналитическая геометрия. М., «Советская
энциклопедия»,1988
2. Сикорский
К. П.Дополнительные главы по курсу математики. М.,Просвещение,1969
3. Сайт
«Устье Речи», http://ustierechi.ucoz.ru/publ/14-1-0-169
4. Сайт
bestreferat.ru http://www.bestreferat.ru/referat-135774.html
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.