Конспект урока алгебры "Решение тригонометрических уравнений"

Тема урока: Решение тригонометрических уравнений и неравенств.

Цель урока: Получение информации об уровне знаний, умений и навыков каждого учащегося по раннее изученному материалу. Систематизировать знания по теме « решение тригонометрических уравнений и неравенств». Выделить опорные знания и ведущие понятия темы.

Задачи:

Образовательная: рассмотреть возможные случаи решения тригонометрических уравнений различных видов, алгоритм решения тригонометрических неравенств. Закрепить навыки и умения решения систем тригонометрических уравнений.

Развивающая: развитие логического мышления на основе анализа, сравнения и обобщения. Формирование навыков решения тригонометрических уравнений, тригонометрических неравенств графическим способом, а так же систем тригонометрических уравнений.

Воспитательная: формирование графической культуры, культуры речи и эстетического оформления.

Тип урока: зачетное занятие, закрепление умений и навыков.

Методы: беседа, фронтальная работа, наглядный, тестирование.

Оборудование: раздаточный материал, наглядные пособия, кластер, доска.

План урока:

1. Организационный момент                 (1-2 мин)

2.. Повторение пройденного материала:                (10-13 мин)

а) проверка домашнего задания (письменная работа);

б) устная работа около доски (фронтальная работа);

в) обсуждение хода решений уравнений (устная работа в виде беседы).

3. Практическая часть:                          (25-28 мин).

а) письменный разбор решения тригонометрического неравенства и системы тригонометрических уравнений;

б) разноуровневые тестовые задания по вариантам, включающих в себя основные понятия данной темы.

4. Подведение итогов:                            (1-2 мин)

а) обобщить о проделанном на уроке;

б) итоговое выставление оценок по всем видам работ.

5. Постановка домашнего задания: параграф 3 стр. 62-78; решение уравнений из задания №1: вариант 1 – 1-4 уравнение.

                                                       вариант 2 – 5-8 уравнение.

Ход урока:

1) Организационный момент: Сегодня на уроке мы повторим с вами основные моменты  и способы решения тригонометрических уравнений, рассмотрим способ решения тригонометрических неравенств и повторим способ решения системы тригонометрических уравнений.

                     Пока весь класс работает устно, на доске показать решение тригонометрического уравнения из домашнего задания (заранее приготовить уравнение на доске).

2) Устная работа: (вопросы по основным понятиям темы)

Вопрос: Какие функции используются для нахождения  решения тригонометрического уравнения и тригонометрических неравенств?

Ответ: При решении тригонометрических уравнений и тригонометрических  неравенств используются обратные тригонометрические функции   arcsin a, arccos a, arctg a, arcctg a.

Вопрос:  На каких числовых промежутках определены обратные тригонометрические функции?

Ответ: Arcsin a определен на промежутке , аналогично определен и арктангенс, но промежуток не замкнутый так как тангенс в этих точках не определен. Arccos a определен на промежутке , аналогично определен арккотангенс, но промежуток не замкнутый так как котангенс не существует в этих точках.

Вопрос: С помощью каких формул находятся значения обратных тригонометрических функций при отрицательном аргументе?

                     ( Заранее приготовить кластер с формулами нахождения значений обратных тригонометрических функций с отрицательным аргументом, закрыв чистым листом правую часть формулами, причем сходные формулы расположить рядом).

Ответ:  arcsin (-a) = - arcsin (a)               arccos (-a) = p - arcos (a)

                 arctg (-a) = - arctg (a)                  arcctg (-a) = p - arcctg (a)

Вопрос: Всегда ли тригонометрические уравнение будут иметь решения?

Ответ: Уравнения содержащие тангенс или котангенс будут иметь решения при любом значении числа а, так как область значений этих функций множество всех действительных чисел. Уравнения содержащие синус или косинус будут иметь решения только в том случае если <1, так как область значения этих функций .

Мы с вами повторили основные понятия и формулы, используемые для решения тригонометрических уравнений и неравенств. Теперь перейдем непосредственно к самим  решениям уравнений и неравенств.

Задание  №1:  Назовите вид и способ решения тригонометрических уравнений: (на доске записаны заранее приготовленные тригонометрические уравнения).

1.    - простейшее тригонометрическое уравнение.

   а) перенесем свободное слагаемое  с противоположным знаком в правую часть;

   б)  - выразим неизвестный множитель.

  в)  . – получили, что синус равен числу больше -1, следовательно уравнение не имеет решение.

2.    - однородное тригонометрическое уравнение.

  а) разделим обе части уравнения на cos x

  б)   - выразим тангенс из этого уравнения, уравнение всегда имеет решение, следовательно решение находим по общей формуле.

3.    - уравнение приводимое к алгебраическому виду.

  а) заменим sin х = а, получим квадратное уравнение вида

                        4а²+11а-3=0

  б) решаем через дискриминант и находим чему равно значение переменной а.

  в) затем по общим или частным формулам находим значение переменной х.

4.    - уравнение приводимое к алгебраическому виду.

  а) через основное тригонометрическое  тождество выразить sin²x = 1-cos²x.

  б) 6-6cos²x+5cosx-2=0 – привести  подобные слагаемые, обозначим соsх=а, получим квадратное уравнение относительно переменной а.

  в) 6а²-5а-4=0 – решаем через дискриминант и с помощью общих и частных тригонометрических формул.

5.  cos²x+sinx×cosx=0 – однородное тригонометрическое уравнение

  а) разделим обе части уравнения на sin²x, так как на cos²x делить нельзя, если cosx вынести за скобки  то получим  cosx(cosx+sinx)=0 то есть cosx=0, следовательно на cosx делить нельзя.

  б) ctg²x+ctgx=0 – вынесем общий множитель  за скобки.

  в) ctgx×(ctgx+1)=0 – произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы один из множителей равен  нулю.

6.  sin2x+2cos2x=1

  а) воспользуемся формулами двойного угла для синуса и косинуса, и распишем 1 через основное тригонометрическое тождество.

  б) 2sinx×cosx+2cos²x-2sin²x-sin²x-cos²x=0 – привести подобные слагаемые , получаем однородное уравнение степень которого равна 2.

  в) -3sin²x + 2sinx×cosx +cos²x=0 – разделим обе части уравнения на cos²x , получим уравнение приводимое к алгебраическому виду, решаемое через дискриминант.

7.  tgx + 2ctgx=3 – уравнение приводимое к алгебраическому виду

  а) выразим ctgx из тригонометрического тождества tgx×ctgx=1 и умножим обе части уравнения на tgx.

  б) tg²x + 2 – 3tgx=0 – заменим tgx=а получим квадратное уравнение относительно переменной а, решаемое через дискриминант, причем так как уравнение зависит от тангенса, следовательно оно всегда будет иметь решение.

8.  sin5x – sinx =0

   а) воспользуемся формулами разности тригонометрических функций

 

  б) произведение нескольких множителей равно нулю, если хотя бы  один из множителей равен нулю.

  в) что бы решить полученные уравнения sin2x=0  и cos3x=0 необходимо воспользоваться частными формулами.

Проверим правильность решения домашнего тригонометрического уравнения.

 Мы с вами подробно разобрали виды и способы решения тригонометрических уравнений, теперь посмотрим, как решаются тригонометрические неравенства.

Задание №2: Решить тригонометрическое неравенство

Преобразуем выражения содержащие скобки с помощью формул приведения.

                                               t₁ = arcsin

                                               t₁ =

                                               t₂ =

                                               t₂ =

                                              

Ответ:

Задание №3: Решить систему тригонометрических уравнений

Получили систему уравнений состоящую из двух уравнений.

 Решим эту систему методом сложения и вычитания:

  

Ответ: 

Мы с вами  разобрали  способы решения тригонометрических уравнений и неравенств, рассмотрели решение системы тригонометрических уравнений. Теперь вы самостоятельно выполните тест по данной теме с последующим выставлением оценок.

Вариант I.

Уровень А:

Задание №1: Найдите значение выражения

1. arcsin 1 – arctg 0

2. arccos + arctg

3. ctg (arcsin)

a)   p                           б)   1                           в)   0                          г)   

Ответ:    1               ;      2              ;      3              .

Задание №2: Какое из ниже перечисленных уравнений не имеет решений

Ответ:                                  .

Задание №3: Решите простейшее тригонометрическое уравнение  

       

Ответ:                                  .

Задание №4: Решите простейшее тригонометрическое неравенство  2 sin x > 1

Ответ:                                  .

Задание №5: Решите тригонометрическое уравнение, приводимое к алгебраическому виду                  2sin²x – 3sinx – 2 = 0.

Ответ:                                 .

Уровень Б:

Задание №1: Найдите значение выражения

1. arccos(-1) – 2arcctg 0

2. arcsin + arcctg

3. arccos (sin)

a)   -                                   б)                                       в)   0                          г)  

Ответ:    1               ;      2              ;      3              .

Задание №2: Какое из ниже перечисленных выражений не имеет смысла

Ответ:                                  .

Задание №3: Решите простейшее тригонометрическое уравнение  

      

Ответ:                                  .

Задание №4: Решите простейшее тригонометрическое неравенство  -2 sin 2x <

Ответ:                                  .

Задание №5: Решите тригонометрическое уравнение, приводимое к алгебраическому виду                  cosx + cos3x  =cos2x.

Ответ:                          .

Вариант II.

Уровень А:

Задание №1: Найдите значение выражения

1. arcсos 0 – arctg 1

2. arcsin + arctg

3. tg (arccos)

a)                            б)                             в)                                      г)   1

Ответ:    1               ;      2              ;      3              .

Задание №2: Какое из ниже перечисленных уравнений не имеет решений

Ответ:                                  .

Задание №3: Решите простейшее тригонометрическое уравнение  

   

Ответ:                                  .

Задание №4: Решите простейшее тригонометрическое неравенство  2 cos x >

Ответ:                                  .

Задание №5: Решите тригонометрическое уравнение, приводимое к алгебраическому виду                  2cos²x – 5cosx + 2 = 0.

Ответ:                          .

Уровень Б:

Задание №1: Найдите значение выражения

1. arcsin(-1) – 2arctg 0

2. arccos +2 arcctg

3. arccos (sin(arctg 0))

a)                            б)                             в)   0                          г)  

Ответ:    1               ;      2              ;      3              .

Задание №2: Какое из ниже перечисленных выражений не имеет решений

Ответ:                                  .

Задание №3: Решите простейшее тригонометрическое уравнение  

   

Ответ:                                  .

Задание №4: Решите простейшее тригонометрическое неравенство  -2 cos 2x >1

Ответ:                                  .

Задание №5: Решите тригонометрическое уравнение, приводимое к алгебраическому виду                  sin2x + sin6x  =cos2x.

Ответ:                          .

Сегодня на уроке мы вами повторили основные методы решения тригонометрических уравнений, способ решения тригонометрического неравенства и решения  системы тригонометрических уравнений. Выполнили самостоятельную работу в виде тестовых заданий, оценку за который вы узнаете на следующем уроке. Домашним заданием будет решение уравнений разбираемые в устной работе, 1 вариант 1-4 уравнение, 2 вариант   5-8 уравнение.