Конспект урока алгебры в 11 классе «Способы решения иррациональных уравнений»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей № 6

городского округа Тольятти

Конспект урока алгебры в 11 профильном классе

 по теме «Способы решения иррациональных уравнений»

Автор : Овчинникова Наталья Александровна,
учитель математики высшей категории
МБУ лицея №6 г. Тольятти

Тольятти

2015
Конспект урока алгебры в 11 профильном классе

 по теме «Способы решения иррациональных уравнений»

Цели:

1.     Образовательные: усвоить различные способы решения иррациональных уравнений и научиться применять их в соответствии с заданным уравнением.

2.     Развивающие: способствовать формированию умений применять приёмы сравнения, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитию математического кругозора, мышления и речи, внимания и памяти.

3.     Воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, сознательного отношения к учению, познавательной активности, мобильности, умения общаться, общей культуры.

Тип урока – урок изучения нового материала.

ПЛАН УРОКА:

       I.      Организационный момент

    II.      Подготовка к изучению нового материала

 III.      Изучение нового материала

IV.      Первичная проверка понимания

   V.      Подведение итогов урока

VI.      Домашнее задание

ХОД  УРОКА

I. Организационный момент

Подготовка учащихся к работе на уроке.

II. Подготовка к изучению нового материала

1.     Формулирование целей урока для определения действий школьников во время лекции.

2.     Повторение.

а) Определение иррационального уравнения

б) Решение уравнений

·        уравнение     равносильно системе     

·        уравнение         равносильно любой из систем

                                или                 

в) Наиболее распространенный метод решения иррациональных уравнений – последовательное возведение в степень.

3. Решите уравнение    

(Учащиеся должны высказать разные предположения, и  они затрудняются решить данное уравнение, учитель предлагает оставить его и решить после изучения других способов решения иррациональных уравнений)

III. Изучение нового материала

Одним из сложных разделов алгебры, изучаемых в школьной программе, являются иррациональные уравнения, так как отсутствуют общие алгоритмы их решения и приходится делать преобразования, приводящие к уравнениям, не равносильным данным. Рассмотрим случаи, когда проще свести решение уравнения к решению следствия и проверке. Следствия могут быть получены:

1.     Последовательным возведением исходного уравнения в степень.

2.     Заменой исходного уравнения системой уравнений.

3.     Умножением обеих части исходного уравнения на разность радикалов.

4.     Использованием монотонности функций в левой части уравнения.

5.     Использованием подстановок, сводящих исходное уравнение к рациональному.

1. Пусть дано уравнение   .     

Возведем обе части уравнения в куб, воспользовавшись формулой

 (a + b)³= a³ + b³ + 3ab(a + b).

Получим уравнение   

Заменим сумму кубических корней величиной с и получим следствие последнего уравнения: .   Это уравнение решается последовательным возведением в куб.

Пример:      Решите уравнение    

Это уравнение равносильно уравнению

Следствием его является уравнение       

Решение -  х = 80.  Проверка показывает, что это число является корнем данного уравнения.

2. Некоторые уравнения удобно заменить системой уравнений.

Пример:  Решите уравнение 

Возведение в степень не дает результата. Тогда сделаем замену:   

Заменим данное уравнение системой   Исключая из первых двух уравнений переменную х, получим систему  Решаем эту систему методом подстановки, получим a₁=0, a₂= -2, a₃= 1, тогда х₁=2, х₂=10, х₃= 12. Проверка показывает, что все найденные значения х есть корни данного уравнения.

Этот прием хорош в том случае, когда сумма или разность подкоренных выражений есть константа.

3. Уравнения вида , в котором разность подкоренных выражений есть число, можно решать, умножив обе части уравнения на разность радикалов.

Пример:   Решите уравнение  

Умножив обе части уравнения на разность корней, получим уравнение      

Сложив почленно эти уравнения, получим и  х = .  Проверка показывает, что найденное число корень данного уравнения.

4. При решении некоторых уравнений полезно воспользоваться тем, что функция    монотонна.

Пример:   Решите уравнение    

В левой части уравнения сумма возрастающих функций, а в правой — константа, значит уравнение имеет не более одного корня. х = 1 — корень уравнения.

5. Решить уравнение         

Решение: 

Обозначая                Получим    

Откуда t = –3,  t = 2.

Следовательно,                   

Согласно проверке,    x = 2  корень исходного уравнения.

IV. Первичная проверка понимания

1. Почему данные уравнения не имеют корней?

a)

б)

в) 

г) 

2. Решите уравнения:

а)  

б)  

в)   

V. Подведение итогов урока

VI. Домашнее задание на выбор (№1 или №2):

№1. Решить уравнения:

1)     

2)     

3)     

4)     

5)     

№2. Подобрать или придумать  четыре иррациональных уравнения, решаемые изученными приемами

№3. Индивидуальное задание для желающих: Найти в пособиях по математике другие способы решения иррациональных уравнений.

Список использованной литературы

1.            Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М.: Просвещение, 1998.

2.            Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 11 класс. В 2 ч. Учебник для общеобразовательных учреждений (профильный уровень). – М.: Мнемозина, 2007.

3.            Черкасов О.Ю., Якушев А.Г. Математика: интенсивный курс подготовки к экзамену. – М.: Айрис-пресс, 2003.

4.              Чулков П.В. Уравнения и неравенства в школьном курсе математики»: Учебно-методическое пособие. Лекции 1-8. – М.: Педагогический университет «Первое сентября», 2006