Конспект урока "Действия над векторами в координатах"

Тема урока: Действия над векторами в координатах

Общеобразовательная средняя школа № 59 

Учитель математики Ажиенко Юлия Викторовна

Тема урока: Действия над векторами в координатах

Цель урока: изучить правила треугольника и параллелограмма

Задачи урока: решение задач по данной теме

Ход урока:

1 этап: Орг момент, приветствие, проверка домашнего задания

2 этап: Новая тема:

Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогич­но тому, как они определялись для векторов на плоскости.

Определение. Суммой векторов a (a₁ а₂, а₃) и b(b₁ b₂, b₃) называется вектор а + b с координатами (а₁ + b₁; а₂ + b₂ ; а₃ + b₃)

Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:

1.     а+b=b+а — переместительный закон сложения;

2.     а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.

Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие

координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.

Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место вектор­ное равенство  + =  .

Действительно, для любых трех точек A(a₁ а₂, а₃), B(b₁ b₂, b₃), C(c₁, с₂, с₃)  (b₁ – а₁; b₂- а₂; b₃ - а₃) и  (с₁ - b_г; с₂ - b₂, с₃ - b₃).

Отсюда  +  =  (с₁ – а₁; с₂ - а₂; с₃ - а₃).

Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника (рис. 69).

Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.

Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то  +  =  .

Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда

АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.

Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называются противоположными.

Из определения следует, что у противоположных векторов соот­ветствующие координаты имеют противоположные знаки.

Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором b дает вектор а .

Если а (а₁; а₂; а₃) и b( b₁; b₂; b₃), то  - =  (а₁ –b₁; а₂ - b₂; а₃ – b₃).

Определение. Произведением вектора  (a₁; а₂; a₃) на число k называется вектор

k  = (k а₁; k а₂; k а₃).

Из определения вытекают следующие свойства:

1.     k( + ) =k + k,

2.     (т + n) •  =т+п и равенство | k •  | = | k |•|  | (здесь k, т, п — числа).

Ненулевые векторы а и b коллинеарные тогда и только тогда, когда найдется такое число х, что выполняется равенство  = х  . При этом число х единственно.

3 этап: решение задач

№ 1 стр 74

найдите сумму векторов а(4; 2;-4) и b(6; -4; 10)

Решение: а + b = (4+6; 2-4; -4+10) = (10; -2; 6)

№ 2 стр 74

Найдите сумму векторов а(0; 5; ), б(; ; ) с(;;)

Решение: а + в + с = 0+ -  = 0;  5 + 0,5 – 5,5 = 0;  0,5 + 0,75 + 1,25 = 2,5

Ответ: а+ в + с = (0; 0; 2,5)

№ 3 стр 75

Найдите сумму векторов: а) MN и NK   б) PS и PR    в) AB, BC, CD и DA

Решение:

А) MN + NK = MK;    б) PS + PR = SR;  в) AB+BC+CD+DA = AD + DA = противоположные векторы*, значит их сумма равна 0

№ 4 Стр 75

А) нет      б) нет    в) да, т.к.(                

№ 5 Стр 75

ABCD-тетраэдр, чему равна сумма векторов AD+DB+BC

Решение:

Если конец одного вектора совпадает с началом второго вектора, то их сумма равна вектору, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец - с концом второго вектора.

4 этап: подведение итогов

5 этап: домашнее задание: № 6 № 7 стр 75