Конспект урока дистанционного обучения по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: Тела вращения. Цилиндр

Конспект урока дистанционного обучения по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: Тела вращения. Цилиндр

Тема: Тела вращения. Конус

Определение. Конусом называется тело вращения, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов.

Элементы конуса:

H=SO - высота конуса;

L=SA=SB=SC=SD - образующая конуса;

R=OA=OB=OC=OD - радиус основания

В конусе образующая и высота не равны друг другу: L ≠ H (помним, что в цилиндре L=H ),  L  H (так как гипотенуза треугольника длиннее катета).

Сечение конуса плоскостями

1) Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса l.

  В осевом сечении конуса получается равнобедренный треугольник (может быть и равносторонний, в частности)

   

∆SAB - осевое сечение конуса;

AB = 2R - диаметр основания конуса;

H = SO - высота конуса;

SO

Площадь осевого сечения конуса:

S_ос.сеч =S_∆SAB=  • AB • SO,  или S_ос.сеч

2) Перпендикулярное сечение конуса

Определение. Перпендикулярное сечение конуса - это сечение, которое получается при пересечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Таким образом, перпендикулярное сечение конуса параллельно плоскости основания конуса и является кругом, радиус r которого меньше радиуса R основания конуса: r.

                                                            

                                                              r -радиус перпендикулярного сечения конуса

Площадь перпендикулярного сечения конуса

Площадь перпендикулярного сечения конуса равна площади круга радиусом r:

S _{перп.сеч} = πr²

3) Если секущая плоскость проходит через вершину конуса под углом «α» к оси конуса l, то в сечении также получится равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны  L - образующей конуса, а основанием треугольника является хорда АВ.

 

  d = OM, где OM⊥ AB                                                                                     ∆ AOB-равнобедренный треугольник, т.к. ОА = ОВ = R - радиус основания конуса;

                                                            MSO = α - это угол между секущей       плоскостью и осью конуса l=SO;

Площадь полученного сечения ∆SAB меньше, чем площадь осевого сечения конуса.

Объём конуса

Объём конуса равен  произведения площади его основания на высоту конуса:

V_{ко н} = • Sосн • H,

где S_осн  - площадь основания конуса; H = SO - высота конуса.

   Примечание: По форме конус похож на пирамиду, поэтому и формула объёма у этих геометрических тел одинаковая!

Более того, n - угольная пирамида при nстановится конусом!

Так как в конусе площадь основания S_осн = πR², то формула объёма конуса примет вид:  V_кон =  • πR² • H

Площадь боковой поверхности конуса

В развёртке боковая поверхность конуса даёт сектор, который стягивает дуга АВ длиной, равной длине окружности основания конуса:

 

Составим пропорцию:

----------------------- 2

----------------------- 2,

отсюда, применяя основное свойство пропорции, получим: .

Итак, доказали, что площадь боковой поверхности конуса находится по формуле:

S _бок = πRL,

где  R - радиус основания конуса, L - образующая конуса.

Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его основания и боковой поверхности: S _{пол.пов} = S_осн + S_бок.

Поскольку S_осн = πR² и S _бок = πRL, то получим окончательную формулу для расчёта: S _{пол.пов} = πR² + πRL.

Задача № 1

Высота конуса равна 5 см. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. Найти площади боковой и полной поверхности конуса. Чему равен объём конуса?

 Дано: Конус;

H = 5 см - высота конуса;

α = 60° - угол между образующей

 и плоскостью основания конуса;

Найти:  S_бок -?

             S _{пол пов -?}

             V_кон -?

Решение:

1. По определению угла между наклонной и плоскостью:

 SAO = α = 60° - угол между образующей и её проекцией на плоскость основания;

2. По определению перпендикулярности прямой и плоскости: ,

 так как  перпендикулярна плоскости основания конуса, а прямая АВ лежит в этой плоскости. Значит, ∆ SOA - прямоугольный.

3. Решим прямоугольный ∆ SOA: sinα =, где  SO = H = 5 см

     sin 60° =;  =; по свойству пропорции имеем:   ∙ SA= 2 ∙5 , отсюда

     SA =  =  =  (см). Итак, образующая конуса найдена L = SA=  см.

     Также имеем: cosα =, где ОА= R - радиус основания конуса;

     cos60°= ;     = ;  отсюда 2∙OA= 1∙ , OA =  (см)

     Итак, радиус основания конуса найден: R= OA = см

4.  Площадь боковой поверхности конуса: S _бок = πRL

     S _бок = π∙ ∙  =  (см²)

5. Площадь основания конуса: S_осн = πR²,

     S_осн =π∙()²= π ∙ =  (cм² )

6. Площадь полной поверхности конуса: S _{пол.пов} = S_осн + S_бок,

    S _{пол пов кон} =  + = 25 (см²)

7. Объём конуса: V_кон = • Sосн • H,

    V_кон = • ∙ 5 =   (см³)

Ответ: S _бок =  см²;  S_осн =  cм²; V_кон = см³

Заключение

Познакомились с новым телом вращения: Конус

                              

Узнали основные расчётные формулы по конусу:

- площадь перпендикулярного сечения конуса, r-радиус круга в сечении;

- площадь основания конуса;

- площадь боковой поверхности конуса;

- площадь полной поверхности конуса;

- объём конуса,  H- высота конуса.

Домашнее задание: Задача № 48 Экз. мат.

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

1. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

3. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся при изучении нового материала возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем. Данный конспект учебного занятия по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Тела вращения. Конус» поможет студентам обратить внимание на важные моменты, в том числе, и с помощью цветовых акцентов; научиться решать задачи на "конус"; систематизировать теоретический материал по данной теме.

Краткое описание документа:

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся при изучении нового материала возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем. Данный конспект учебного занятия по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Тела вращения. Конус» поможет студентам обратить внимание на важные моменты, в том числе, и с помощью цветовых акцентов; научиться решать задачи на "конус"; систематизировать теоретический материал по данной теме.