Инфоурок Математика КонспектыКонспект урока дистанционного обучения по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: Тела вращения. Конус

Конспект урока дистанционного обучения по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: Тела вращения. Цилиндр

Скачать материал

Конспект урока дистанционного обучения по дисциплине ОУД.04 «Математика». Тема: Тела вращения. Цилиндр

Тема: Тела вращения. Конус

Определение. Конусом называется тело вращения, которое получается при вращении прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов.

Элементы конуса:

H=SO - высота конуса;

L=SA=SB=SC=SD - образующая конуса;

R=OA=OB=OC=OD - радиус основания

 

В конусе образующая и высота не равны друг другу: L ≠ H (помним, что в цилиндре L=H ),  L  H (так как гипотенуза треугольника длиннее катета).

Сечение конуса плоскостями

1) Осевое сечение конуса - это сечение конуса плоскостью, проходящей через ось конуса l.

  В осевом сечении конуса получается равнобедренный треугольник (может быть и равносторонний, в частности)

   

∆SAB - осевое сечение конуса;

AB = 2R - диаметр основания конуса;

H = SO - высота конуса;

SO

 

Площадь осевого сечения конуса:

Sос.сеч =SSAB=  • ABSO,  или Sос.сеч

2) Перпендикулярное сечение конуса

Определение. Перпендикулярное сечение конуса - это сечение, которое получается при пересечении конуса плоскостью, перпендикулярной оси конуса.

Таким образом, перпендикулярное сечение конуса параллельно плоскости основания конуса и является кругом, радиус r которого меньше радиуса R основания конуса: r.

                                                            

                                                              r -радиус перпендикулярного сечения конуса

 

 

 

 

 

Площадь перпендикулярного сечения конуса

Площадь перпендикулярного сечения конуса равна площади круга радиусом r:

S перп.сеч = πr²

3) Если секущая плоскость проходит через вершину конуса под углом «α» к оси конуса l, то в сечении также получится равнобедренный треугольник, боковые стороны которого равны  L - образующей конуса, а основанием треугольника является хорда АВ.

 

  d = OM, где OM AB                                                                                     ∆ AOB-равнобедренный треугольник, т.к. ОА = ОВ = R - радиус основания конуса;

                                                            MSO = α - это угол между секущей       плоскостью и осью конуса l=SO;

 

Площадь полученного сечения ∆SAB меньше, чем площадь осевого сечения конуса.

Объём конуса

Объём конуса равен  произведения площади его основания на высоту конуса:

Vко н = • Sосн • H,

где Sосн  - площадь основания конуса; H = SO - высота конуса.

   Примечание: По форме конус похож на пирамиду, поэтому и формула объёма у этих геометрических тел одинаковая!

Более того, n - угольная пирамида при nстановится конусом!

Так как в конусе площадь основания Sосн = πR², то формула объёма конуса примет вид:  Vкон =  • πR² • H

Площадь боковой поверхности конуса

В развёртке боковая поверхность конуса даёт сектор, который стягивает дуга АВ длиной, равной длине окружности основания конуса:

 

 

Составим пропорцию:

----------------------- 2

----------------------- 2,

отсюда, применяя основное свойство пропорции, получим: .

Итак, доказали, что площадь боковой поверхности конуса находится по формуле:

S бок = πRL,

где  R - радиус основания конуса, L - образующая конуса.

Площадь полной поверхности конуса

Площадь полной поверхности конуса равна сумме площадей его основания и боковой поверхности: S пол.пов = Sосн + Sбок.

Поскольку Sосн = πR² и S бок = πRL, то получим окончательную формулу для расчёта: S пол.пов = πR² + πRL.

Задача № 1

Высота конуса равна 5 см. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60°. Найти площади боковой и полной поверхности конуса. Чему равен объём конуса?

 Дано: Конус;

H = 5 см - высота конуса;

α = 60° - угол между образующей

 и плоскостью основания конуса;

Найти:  Sбок -?

             S пол пов -?

             Vкон -?

 

Решение:

1. По определению угла между наклонной и плоскостью:

 SAO = α = 60° - угол между образующей и её проекцией на плоскость основания;

2. По определению перпендикулярности прямой и плоскости: ,

 так как  перпендикулярна плоскости основания конуса, а прямая АВ лежит в этой плоскости. Значит, ∆ SOA - прямоугольный.

3. Решим прямоугольный ∆ SOA: sinα =, где  SO = H = 5 см

     sin 60° ==; по свойству пропорции имеем:   ∙ SA= 2 ∙5 , отсюда

     SA =  =  =  (см). Итак, образующая конуса найдена L = SA=  см.

     Также имеем: cosα =, где ОА= R - радиус основания конуса;

 

     cos60°= ;     = ;  отсюда 2∙OA= 1∙ , OA =  (см)

     Итак, радиус основания конуса найден: R= OA = см

4.  Площадь боковой поверхности конуса: S бок = πRL

     S бок = π ∙  =  (см2)

 

5. Площадь основания конуса: Sосн = πR²,

 

     Sосн =π∙()2= π ∙ =  (cм2 )

 

6. Площадь полной поверхности конуса: S пол.пов = Sосн + Sбок,

 

    S пол пов кон =  + = 25 (см2)

7. Объём конуса: Vкон = • Sосн • H,

 

    Vкон = • ∙ 5 =   (см3)

 

Ответ: S бок =  см2;  Sосн =  cм2; Vкон = см3

 

Заключение

Познакомились с новым телом вращения: Конус

                              

Узнали основные расчётные формулы по конусу:

- площадь перпендикулярного сечения конуса, r-радиус круга в сечении;

- площадь основания конуса;

- площадь боковой поверхности конуса;

- площадь полной поверхности конуса;

- объём конуса,  H- высота конуса.

 

Домашнее задание: Задача № 48 Экз. мат.

 

Перечень рекомендуемых учебных изданий, Интернет-ресурсов, дополнительной литературы:

Основные источники:

1. Алпатов А.В. Математика [Электронный ресурс]: учебное пособие для СПО/ Алпатов А.В.— Электрон. текстовые данные.— Саратов: Профобразование, Ай Пи Эр Медиа, 2019.— 162 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/80328.html.— ЭБС «IPRbooks»

2. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2018.

Дополнительные источники:

1. Башмаков М. И. Математика: учебник. - М.: Академия, 2015.

2. Григорьев В. П. Математика: учебник. - М.: Академия, 2016.

3. Математика [Электронный ресурс] : учебное пособие для всех специальностей. — М. : Российский государственный университет правосудия, 2015

 

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся при изучении нового материала возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем. Данный конспект учебного занятия по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Тела вращения. Конус» поможет студентам обратить внимание на важные моменты, в том числе, и с помощью цветовых акцентов; научиться решать задачи на "конус"; систематизировать теоретический материал по данной теме.

 

Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Краткое описание документа:

Аннотация

В период дистанционного обучения сложность у обучающихся при изучении нового материала возникает из-за отсутствия прямого контакта с преподавателем. Данный конспект учебного занятия по дисциплине ОУД.04 «Математика» для обучающихся СПО первого курса по теме «Тела вращения. Конус» поможет студентам обратить внимание на важные моменты, в том числе, и с помощью цветовых акцентов; научиться решать задачи на "конус"; систематизировать теоретический материал по данной теме.

Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

6 103 603 материала в базе

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 26.05.2020 181
    • DOCX 413.7 кбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Кихтенко Нелли Анатольевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Удалить материал
  • Автор материала

    Кихтенко Нелли Анатольевна
    Кихтенко Нелли Анатольевна
    • На сайте: 5 лет и 7 месяцев
    • Подписчики: 0
    • Всего просмотров: 33474
    • Всего материалов: 40

Ваша скидка на курсы

40%
Скидка для нового слушателя. Войдите на сайт, чтобы применить скидку к любому курсу
Курсы со скидкой