Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока "Элементы комбинаторики"

Конспект урока "Элементы комбинаторики"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Конспект урока по теме «Элементы комбинаторики»

Цели:

Обучающие:

- формирование основных понятий комбинаторики: размещения из mэлементов по n, сочетания из m элементов по n, перестановки из nэлементов;

- формирование умений и навыков вычисления значений комбинаторных выражений по формулам, решения простейших комбинаторных задач;

Развивающие:

-развитие умения анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, выбирать наиболее эффективные способы решения задач в зависимости от конкретных условий; рефлексия способов и условий действия; контроль и оценка процесса и результатов деятельности;

Воспитательные:

-воспитание интереса к дисциплине, честности, аккуратности, эстетического отношения к оформлению математических решений, воспитание умения слушать и вступать в диалог, участвовать в коллективном обсуждении проблем, интегрироваться в группу сверстников и строить продуктивное взаимодействие, настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда; прививать чувство патриотизма.

Обучающийся должен:

знать:

-определения трех важнейших понятий комбинаторики:

- размещения из n элементов по m;

- сочетания из n элементов по m;

- перестановки из n элементов, а также, формулы вычисления их количества.

уметь:

- отличать задачи на «перестановки», «сочетания», «размещения» друг от друга;

- применять основные комбинаторные формулы при решении простейших комбинаторных задач.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Ребята, каждая группа в течении года дежурит по техникуму.

Являются ли бригады дежурных в группах постоянными? Скажите, а сколько всего существует способов назначить из n студентов группы mдежурных. В математике есть раздел, который занимается решением подобных задач. Этот раздел называется комбинаторикой.

2. Сообщение темы, целей урока.

Тема сегодняшнего урока «Основные понятия комбинаторики». Давайте вместе попробуем сформулировать цели урока

- ознакомиться с основными понятиями комбинаторики (размещения, сочетания, перестановки)

- научиться решать простейшие комбинаторные задачи

3. Актуализация опорных знаний.

Прежде чем перейти к изучению нового материала, повторим то, что имеет к нему непосредственное отношение. Это уже известное вам понятие «факториал». Итак, кто помнит, что называют «n-факториалом»? Запишите формулу.

Чему, к примеру, равны 2!, 3!, 4!, 5!, 6! ? А кто сможет показать вычисления на доске? А чему равен 1! ? 0! ? Какие значения в данном случае может принимать n?

4. Изложение нового материала.

4.1. Введение общих понятий

Комбинаторикой называют область математики, которая изучает вопросы о числе различных комбинаций (удовлетворяющих тем или иным условиям), которые можно составить из данных элементов.

Комбинаторика – раздел математики, в котором исследуются и решаются задачи выбора элементов из исходного множества и расположения их в некоторой комбинации, составляемой по заданным правилам.

Группы, составленные из каких-либо элементов, называются соединениями.

Различают три вида соединений: размещенияперестановки и сочетания.

Задачи, в которых производится подсчет возможных различных соединений, составленных из конечного числа элементов по некоторому правилу, называются комбинаторными, а раздел математики, занимающийся их решением, - комбинаторикой. Рассмотрим три основных вида соединений и формулы вычисления их количества. Для этого сначала рассмотрим 2 задачи, которые помогут нам сосредоточиться на сути новых понятий.

4.2. Создание проблемной ситуации.

Тексты двух задач на слайде:

Задача 1. В некотором учреждении имеются две различные вакантные должности, на каждую из которых претендуют три сотрудника: A, B, C. Сколькими способами из этих трех кандидатов можно выбрать два лица на эти должности?

Задача 2. Для участия в соревнованиях требуется выбрать двоих спортсменов из трех кандидатов: A, B, C. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

Студентам предлагается два проблемных задания: 1) установить различие между этими двумя внешне схожими задачами и 2) предположить, в какой задаче результат будет больше, и почему. После этого предлагается решить эти задачи методом перебора всевозможных вариантов.

Решение задачи 1. AB, BA, BC, CB, AC, CA (всего шесть способов).

Решение задачи 2. AB, BC, AC (всего три способа).

Преподаватель обращает внимание студентов на то, что эти задачи оказались похожими только внешне, из-за того, что в обеих присутствуют два числа: m=3 – общее количество элементов и n=2 – количество выбранных элементов. Но в первой задаче составляются упорядоченные соединения, тогда как во второй задаче порядок следования элементов в соединении не имеет значения.

А если вместо чисел 3 и 2 будут например числа 8 и 3. Подойдет ли этот метод для решения этих задач? Поэтому существуют комбинаторные выражения (формулы) для этих соединений

5.3. Лекция «Основные комбинаторные понятия и формулы».

1) Размещения.

Определение. Размещениями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных разных элементов, и которые отличаются одно от другого либо самими элементами, либо порядком их расположения.

Число размещений из m элементов по n обозначают hello_html_m364da4d5.gif(от французского «arrangement» - «размещение») и вычисляют по формуле:

hello_html_m4c26e111.gif

Пример 1. Решим задачу 1 с помощью этой формулы:

hello_html_m7bde1642.gif

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

hello_html_m1fae6c6e.gif

2) Перестановки.

Определение. Перестановкой из n элементов называют размещение из n элементов по n.

Число перестановок из n элементов обозначается hello_html_m16734cae.gif и вычисляется по формуле:

hello_html_m69d17572.gif

Задача. Сколькими способами можно расположить в столбик три детали конструктора, различающиеся по цвету?

Ответ:6.

3) Сочетания.

Определение.

Сочетаниями из m элементов по n элементов ( n ≤ m ) называются такие соединения, каждое из которых содержит n элементов, взятых из m данных элементов, и которые отличаются друг от друга по крайней мере одним элементом.

Число сочетаний из n элементов по m обозначают hello_html_m354ec6c6.gif (от французского «combination» - «сочетание») и вычисляют по формуле:

hello_html_45021cfb.gif

Пример 2. Решим задачу 2 с помощью этой формулы:

hello_html_60994b44.gif

А теперь решим ту же задачу для случая m=8, n=3:

hello_html_4b722ceb.gif

Снова, как и ожидалось, результат в первой задаче оказался больше, чем во второй.

Мы рассмотрели теоретические основы комбинаторики. Теперь перейдем к этапу закрепления новых знаний при решении задач.

6. Закрепление материала

6.1. Игра «Математическое лото»

Студентам раздаются наборы раздаточных материалов «Математического лото» (по одному на парту). Каждый комплект состоит из 16 математических заданий по основам комбинаторики, картонного листа в виде матрицы размерности 4 на 4 с написанными в ячейках числами-ответами и цветной фотографии, разрезанной на 16 равных прямоугольника. Все части фотографии пронумерованы в соответствии с порядком заданий и перемешаны. Задача студентов – решить 16 заданий, соответствующие частям разрезанной фотографии, и в соответствии с полученными числовыми ответами отыскать их место на картонной матрице, сложив в итоге фото. Задание выполняется как соревнование между малыми группами По 3-4 человека. Определяются три пары, которые не только сложат картинку раньше всех, но и представят в письменном виде все подробные решения.

Перед началом игры преподаватель мотивирует студентов на активное участие в ней, сообщая, что это упражнение позволит наилучшим образом сформировать навыки комбинаторных вычислений, что значительно упростит выполнение домашнего задания. Кроме того, выполняя это упражнение, можно совместить полезное с приятным, так как результат вызовет эстетические чувства.

Задания.

Вычислите.

hello_html_m7481cc85.gif,hello_html_3efa234a.gif,hello_html_m409d372f.gif,hello_html_m2db4b1c7.gif,hello_html_m7d829f3d.gif,hello_html_m154b5d74.gif,hello_html_m23ec8031.gif,hello_html_1bea2a26.gif,hello_html_418960bb.gif,hello_html_m3c0dd98b.gif,hello_html_m2d01473f.gif,hello_html_68c16bd1.gif,hello_html_m22d9940b.gif,hello_html_5ef3993b.gif,hello_html_1fb8052f.gif,hello_html_45757eea.gif.

Решения:

hello_html_m791509a1.gif

hello_html_37887c47.gif

hello_html_m4501fda2.gif

hello_html_6ae5ad55.gif

hello_html_m1cf463ca.gif

hello_html_5bcf8f4.gif

hello_html_m13434a99.gif

hello_html_m67078328.gif

hello_html_m272009c6.gif

hello_html_4340bdec.gif

hello_html_57a240f8.gif

hello_html_3924f09d.gif

hello_html_m34cbc33e.gif

В завершении игры объявляются и поощряются победители.

6.2. Решение комбинаторных задач.

При решении комбинаторных задач важно научиться различать виды соединений.

Чтобы отличать задачи на подсчёт числа размещений от задач на подсчёт числа сочетаний, определим, важен или нет порядок в следующих выборках:

а) судья хоккейного матча и его помощник;

б) три ноты в аккорде;

в) «Шесть человек останутся убирать класс!»

г) две серии для просмотра из многосерийного фильма.

Ответ: а)да; б)нет; в)нет; г)да.

Задача 1. Сколькими способами могут занять I, II, III места 8 участниц финального забега на дистанции 100 м?

Ответ: 366.

Задача 2. Из 30 обучающихся группы надо выбрать старосту и помощника старосты. Сколькими способами это можно сделать?

Ответ: 870.

Задача 3. Сколькими способами можно составить букет из трёх цветков, выбирая цветы из девяти имеющихся?

Ответ: 84.

Задача 4. В группе 7 человек успешно занимаются математикой. Сколькими способами можно выбрать из них двоих для участия в математической олимпиаде?

Ответ:21

6.3 Самостоятельная работа

Проверь себя

1.Определите вид соединений:

а) Соединения из n элементов, отличающиеся друг от друга только порядком расположения в них элементов, называются __________перестановки

б) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга только составом элементов, называются _______________сочетания

в) Соединения из m элементов по n, отличающихся друг от друга составом элементом и порядком их расположения, называются _________размещения

2.Восстановите соответствие типов соединений и формул для их подсчёта

hello_html_m1b551d74.gif

А.сочетания

hello_html_m1258b9bf.gif

В. размещения

hello_html_m80a52dd.gif

С. перестановки


3. Сколькими способами из класса, где учатся 24 ученика, можно выбрать: а)двух дежурных; б)старосту и помощника старосты?

Ответ: а)276; б)552.

4. «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл да косолапый Мишка задумали сыграть квартет». Сколькими способами они могут выбрать каждый для себя по одному инструменту из 10 данных различных инструментов?

Ответ: hello_html_6c105f8e.gif

Подведение итогов самостоятельной работы

7. Подведение итогов урока

Обобщаются новые знания, делаются выводы о достигнутых целях урока. Поощряются активные студенты, выставляются обоснованные преподавателем оценки.

8. Домашнее задание

Подготовка сообщений по темам: «Истории комбинаторики», «Комбинаторика и ее применение в реальной жизни».


Автор
Дата добавления 09.12.2015
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров1464
Номер материала ДВ-244382
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх