Конспект урока «Формула суммы n - первых членов арифметической прогрессии» (Алгебра, 9 класс)

9  алгебра. Урок 58    01.02.17 

ТЕМА: «Формула суммы n - первых членов арифметической прогрессии»

Цели: вывести формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии; формировать умение применять эту формулу при решении задач.

Ход урока

I. Организационный момент.

II. Актуализация знаний.

У с т н о:

1. Сформулируйте определение арифметической прогрессии.

2. Приведите пример арифметической прогрессии.

3. Сформулируйте определение разности арифметической прогрессии.

4. Назовите формулу п-го члена арифметической прогрессии.

П и с ь м е н н о:

В а р и а н т  1. № 578 (а).

В а р и а н т  2. № 578 (б).

III. Объяснение нового материала.

1. Создание проблемной ситуации.

З а д а ч а. Ученик мастера изготовил в первую неделю работы 15 гончарных изделий, а в каждую следующую неделю изготовлял на 5 изделий больше, чем в предыдущую. Сколько изделий ученик изготовил за восьмую неделю? Сколько изделий ученик изготовил всего в течение десяти недель?

Ответ на первый вопрос ученики знают, как получить, такие задачи решались  ими  на  прошлых  занятиях.  Количество  изготовленных  изделий в первую, вторую и т. д. недели можно обозначить а₁, а₂,… а_п, …, причем (а_п) – арифметическая прогрессия с разностью d = 5 и первым членом а₁ = 15. За восьмую неделю ученик изготовил гончарных изделий:

а₈ = 15 + 5 (8 – 1) = 50.

Для ответа на второй вопрос ученики могут предложить только такой способ  решения:  подсчитать  количество  изделий,  выполненных за 2-ю, 3-ю, …, 10-ю неделю, и сложить. Это очень долго. А если в задаче нужно будет найти сумму ста членов арифметической прогрессии, тысячи? Возникает проблема – нужна общая формула.

2. Пример из истории математики.

С формулой суммы п первых членов арифметической прогрессии связан эпизод из жизни немецкого математика Карла Гаусса (1777–1855). Маленькому Карлу было 9 лет, когда учитель, занятый проверкой работ учеников, предложил классу сложить все натуральные числа от 1 до 100, рассчитывая надолго занять детей. Каково же было удивление преподавателя, когда через несколько минут Гаусс подошел к нему с верным ответом! Он подошел к решению творчески, заметив, что можно складывать числа не подряд, а парами: 1 + 100, 2 + 99, 3 + 98 … и т. д. Легко увидеть, что сумма чисел в каждой паре равна 101, а таких пар 50, значит общая сумма равна 101 · 50 = 5050.

А можно ли с помощью рассуждений, аналогичных тем, что проводил маленький Гаусс, найти сумму первых п членов любой арифметической прогрессии?

3. Вывод формулы.

Пусть (а_п) – арифметическая прогрессия.

Обозначим S_n сумму п первых членов арифметической прогрессии.

S_n = а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + … + а_{п – 1} + а_п                                 (1)

S_n = а_п + а_{п – 1} + а_{п – 2} + а_{п – 3} + … + а₂ + а₁                  (2)

Докажем, что сумма каждой пары членов прогрессии, расположенных друг под другом, равна а₁ + а_п.

a₂ + a_{n – 1} = (a₁ + d) + (a_n – d) = a₁ + a_n;

a₃ + a_{n – 2} = (a₂ + d) + (a_{n – 1} – d) = a₂ + a_{n – 1} = a₁ + a_n;

a₄ + a_{n – 3} = (a₃ + d) + (a_{n – 2} – d) = a₃ + a_{n – 2} = a₁ + a_n   и т. д.

Число таких пар равно п. Складываем почленно (1) и (2) и получаем

2S_n = (a₁ + a_n) · n.

– формула суммы п первых членов    арифметической прогрессии.

Обычно арифметическая прогрессия задается первым членом и разностью, поэтому удобно иметь еще формулу суммы п первых членов, выраженную через а₁ и d арифметической прогрессии.

S_n =  · n, а_п = а₁ + d (п – 1);

S_n =  · n;

– формула суммы п первых членов    арифметической прогрессии.

4. Пример.

Вернемся к задаче про ученика мастера. В течение 10 недель ученик мастера изготовил

S₁₀ =  · 10 = 375 изделий.

IV. Формирование умений и навыков.

Так как формул суммы п первых членов арифметической прогрессии две, то необходимо сперва выяснить, в заданиях какого вида лучше использовать каждую из них, а затем при решении упражнений анализировать условие и выбирать формулу.

Упражнения:

1) Найти сумму первых тридцати членов арифметической прогрессии 4; 5,5; …

Р е ш е н и е

а₁ = 4, d = 1,5, значит, по формуле II:

а₃₀ =  · 30 = 772,5.

2) Найти сумму первых сорока членов последовательности (а_п), заданной формулой а_п = 5 · п – 4.

Последовательность  (а_п)  задана  формулой  вида  а_п = kn + b, где k = 5 и b = –4, значит, (а_п) – арифметическая прогрессия. Если применять формулу II, то для этого сперва надо найти а₁, а₂ , затем d как разность а₁ – а₂. Это неудобно, проще сразу найти а₁, а₄₀ и подставить в формулу I.

а₁ = 5 · 1 – 4 = 1; а₄ = 5 · 40 – 4 = 196;

S₄₀ =  = 3940.

3) № 603.

№ 604. На «прямое» применение формул I и II. Самостоятельное решение с последующей проверкой.

№ 606.

№ 608 (а). У доски с объяснением. Здесь необходимо «увидеть», что последовательность  слагаемых – арифметическая  прогрессия, где а₁ = 2, d = 2 и количество слагаемых равно п, можно применить формулу II. А можно задать эту прогрессию формулой а_п = 2п и применить формулу I.

V. Итоги урока.

В о п р о с ы   у ч а щ и м с я:

– Назовите формулу суммы первых п членов арифметической прогрессии (2 вида).

– В каких случаях удобнее применять формулу I, II?

Домашнее задание: № 605, № 607, № 608 (б), № 621 (а).