Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока геометрии
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ)" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 20 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 203 курсов со скидкой 40%

Конспект урока геометрии

библиотека
материалов

Тема. Четыре замечательные точки треугольника.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.


Эпиграф к уроку.

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

А.С.Пушкин.


Цель урока.


Систематизировать, расширить и углубить ваши знания, умения и навыки:

- о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра треугольника;

- о четырёх замечательных точках треугольника;

- уметь использовать эти знания при решении задач.

Развивать вашу наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.

Вызвать у вас потребность в обосновании своих высказываний.


План урока.


  1. Проверка домашнего задания.

  2. Повторение теоретического материала.

  3. Решение задач на отработку знаний, умений и навыков.

  4. Домашнее задание.

  5. Самостоятельная проверочная работа.







Ход урока.


  1. Проверка домашнего задания



681.

hello_html_378c2c3a.gifВ

hello_html_6b4b50e8.gifhello_html_be45e8f.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m2a7690f7.gifН Дано: АВС, АВ=ВС, НЕ – серединный перпендикуляр, Р АЕС=27 см, АВ=18 см.

Еhello_html_2b6ad6c5.gifhello_html_be45e8f.gif Найти АС.

А С

Решение:


Р АЕС = АЕ+ЕС+АС, Р АЕС = 27 см. Так как НЕ – серединный перпендикуляр, то АВЕ равнобедренный, АЕ = ВЕ. АВС равнобедренный по условию, АВ=ВС=18 см, тогда ВЕ+ЕС=18см или АЕ+ЕС=18см. Отсюда АС=27см – 18см=9см.

Ответ: 9 см.


720.

hello_html_m3b9bc13.gifВ

hello_html_a247609.gifДано: АВС – разносторонний,

h – серединный перпендикуляр.

Выяснить: принадлежит ли точка В

серединному перпендикуляру h?

hello_html_m15efa60c.gifhello_html_m15efa60c.gif


hello_html_5951fc3b.gifhello_html_2d2985a9.gifА С


h

Решение:

Пусть точка В принадлежит серединному перпендикуляру h. Тогда h является и медианой и высотой ∆ АВС, ∆ АВС – равнобедренный. А это противоречит условию задачи. Значит, точка В не принадлежит серединному перпендикуляру h.

hello_html_6ae9d0b3.gif



  1. Повторение теоретического материала: отвечаем на вопросы.


* Что вам известно о точках биссектрисы неразвёрнутого угла?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

* Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку.

* Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сколько серединных перпендикуляров можно построить в треугольнике? Каким свойством они обладают?

* Сколько высот можно построить в треугольнике? Каким свойством обладают они?


Перечислите четыре замечательные точки треугольника !


hello_html_1eb6a122.gifhello_html_m1616287.gif


hello_html_5468a325.gifhello_html_7cf60dcf.gif



Мы перечислили все свойства четырёх замечательных точек треугольника, но решая задачи мы догадались и ещё об одной особенности этих точек.


3. Решение задач ( систематизация знаний, умений и навыков учащихся ).


Задача № 1.


В остроугольном ∆ АВС АD перпендикулярно ВС, СF перпендикулярно АВ, АD пересекает CF в точке М.

Докажите, что угол АВМ равен углу МСА.


B

hello_html_m60f6adea.gifДано: ∆ АВС, AD ┴ BC, CF ┴ AB,

hello_html_m75498e95.gifAD × CF=M.

Доказать: ∟ ABM= ∟ MCA.

hello_html_m4fb12d24.gifF



hello_html_179f767b.gifD

A C Доказательство.


М – точка пересечения двух высот, следовательно, третья высота ВН тоже проходит через эту точку.

FBM подобен ∆ HMC( по первому признаку подобия треугольников), так как ∟FMB=∟ HMC – они вертикальные, ∟МHС=∟MFB=90º . По определению подобных треугольников ∟ АВМ= ∟МСА.

hello_html_6ae9d0b3.gif

Задача 2.


В треугольнике АВС биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ=m, угол АВС равен α. Найдите расстояние от точки М до стороны АС.


hello_html_m73cb7cf.gifhello_html_4d91da41.gifС Дано:∆ АВС, AD и СЕ – биссектрисы, AD×CE=M,

D ВМ=m,∟АВС= α.

hello_html_41aeddad.gifhello_html_m19ce912e.gifhello_html_22f7924d.gifН

Найти: МН.

А В

Е


Решение:


Так как точка М лежит на биссектрисе угла С, то МН=МН1(по свойству биссектрисы угла ), и М – точка пересечения двух биссектрис, следовательно, ВМ тоже биссектриса. Тогда ∟МВН1= α/2.

Рассмотрим ∆МВН1: ∟МН1В=90º, ∟МВН1= α/2, МВ=m; по определению синуса острого угла МН1=m·sin( α/2), значит МН= m·sin( α/2).

Ответ: m·sin( α/2).



  1. Домашнее задание (записать в тетрадях).

На следующем уроке учащиеся познакомятся с вписанной окружностью, эти задачи предшествуют объяснению нового материала


1) На рис.1 окружность с центром в точке О касается сторон угла МКN в точках М и N. Найдите угол МКN и расстояние МN, если ОМ=1 см, КМ=2см.

К

hello_html_mf2cc770.gif

2) Стороны угла А касаются окружности радиуса r с центром в точке О.

а) Найдите ОА, если r=5 см, угол А равен 60 º.

б) Найдите r, если ОА=14 дм, угол А равен 90º .





  1. Выполнение проверочной самостоятельной работы.


Работа выполняется в шести вариантах, различного уровня сложности: первых четыре варианта рассчитаны на среднего ученика, пятый вариант для более подготовленных учащихся, шестой на слабого и содержит небольшую подсказку в решении.


Текст используемых в работе задач.


Вариант 1.

В прямоугольном треугольнике АСВ (угол С равен 90 º) АЕ-биссектриса, СЕ=5, АВ=14. Найдите площадь треугольника АВЕ.


Вариант 2.

Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О, ОА=4, OD=3, BD=4. Найдите расстояние от точки О до стороны АС.


Вариант 3.

В прямоугольном треугольнике АВС ( угол С равен 90 º) р-серединный перпендикуляр к АВ, р пересекает АС в точке К, АК=5, ВС=4. Найдите периметр треугольника ВКС.


Вариант 4..

. В остроугольном треугольнике АВС h и р-серединные перпендикуляры к сторонам ВС и АС. Они пересекаются в точке F, CF=10, AB=16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.

Вариант 5*.

Вершины треугольника АВС лежат на окружности, угол А в два раза больше угла В. Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точке О, АО пересекает окружность в точке К. Докажите, что КС параллельна АВ.






Вариант 6º.

В равнобедренном треугольнике АВС АВ=ВС, медианы АЕ и CF пересекаются в точке К, ВК=6, АС=10. Найдите площадь треугольника АВС.(45)


Дано: ∆ АВС, АВ=ВС, АЕ и СF-медианы,

В АЕ × СF=К, ВК=6, АС=10.

Аhello_html_mb689f5b.gifhello_html_391f3c27.gifС Найти: S ∆ АВС.

Н

Решение.

(подсказка: К-точка пересечения медиан, значит ВН тоже медиана, тогда ВК=2КН…)


Решение самостоятельной работы.


Вариант 1.


hello_html_19f54414.gifhello_html_2f02b27b.gifДано:∆ АВС, (∟С=90º), АЕ – биссектриса,

hello_html_3700fcda.gifСЕ=5, АВ=14.

Найдите: S АВС.





Решение.


S АВС=1/2 ЕD·АВ. Так как АЕ – биссектриса, то СЕ=ЕD=5. Тогда S АВС=1/2·14·5=35.

Ответ: 35.





hello_html_m1e198d1a.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_mb689f5b.gifВ Вариант 2.

Дано:∆ АВС, AD и CE – высоты,

AD × CE=О, ОА=4, ОD=3, ВD=4.

hello_html_m4b8ca52c.gifD Найти: ОН.

hello_html_m3c74fe47.gifЕ


А С

Н

Решение.

ВОD подобен ∆ АОН(по первому признаку подобия). Отсюда, OD/OH=BO/AO.

Из ∆ ВОD: ВО=√16+9=5, тогда ОН=2,4.

Ответ: 2,4.

Вариант 3.

Дано: ∆ АВС, ∟С=90º, p ┴ АВ, p×АС=К, АК=5,

hello_html_m10f59513.gifА ВС=4.

hello_html_m2c88fe09.gifhello_html_5124d0bb.gifр Найти: Р ВКС.

Н

hello_html_5124d0bb.gif

hello_html_m58bd8b73.gifК

С В

Решение.

Так как точка К лежит на серединном перпендикуляре, то АК=КВ=5. Треугольник КСВ – прямоугольный, по теореме Пифагора КС=3. Тогда Р КВС=3+5+4=12.

Ответ: 12.

Вариант 4.

Дано: ∆ АВС,hello_html_m1e198d1a.gifh и р – серединные перпендикуляры,

hello_html_5124d0bb.gifВ h×р=F, CF=10, АВ=16.

Найти: FH.

hello_html_m155479b1.gifhello_html_mebda11b.gifh

hello_html_m18b7beec.gifhello_html_37f8dae0.gifН

hello_html_m15efa60c.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gifhello_html_5124d0bb.gif

А С


Решение.

F- точка пересечения двух серединных перпендикуляров, а значит и третьего FН, тогда НВ=8, BF=FC=10. Отсюда, HF=6.

Ответ: 6.

Вариант 5.




С К

hello_html_m4b66e4c0.gifhello_html_m48a95be3.gifhello_html_m2a7690f7.gifhello_html_m3ded7190.gifhello_html_m3037171d.gifДано: окр.(О;r), точки А,В,С – лежат на

окружности, ∟А=2∟В, AF и CF – биссектрисы

AF ×CF=О, АО×окр.(О;r)=К

Доказать: КСАВ.


А Е В


Доказательство.

Углы СКА и СВА опираются на одну дугу, значит они равны. Но угол В равен половине угла А, следовательно и угол СКА равен половине угла А. Так как угол СКА равен углу КАВ и они накрест лежащие при прямых СК и АВ и секущей АК, то КСАВ.

hello_html_6ae9d0b3.gif














hello_html_e000b5.gif



hello_html_m5267ee48.gif

hello_html_3ca7d563.gif



hello_html_7221ee24.png





Геометрия, 8 класс.


Учитель: Юдина Наталья Вячеславовна.

Краткое описание документа:

Тема. Четыре замечательные точки треугольника.

Тип урока. Урок обобщения и систематизации знаний.

Эпиграф к уроку.

Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии.

А.С.Пушкин.

Цель урока.

Систематизировать, расширить и углубить ваши знания, умения и навыки:

- о свойствах биссектрисы угла и серединного перпендикуляра треугольника;

- о четырёх замечательных точках треугольника;

- уметь использовать эти знания при решении задач.

Развивать вашу наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.

Вызвать у вас потребность в обосновании своих высказываний.

План урока.

  1. Проверка домашнего задания.
  2. Повторение теоретического материала.
  3. Решение задач на отработку знаний, умений и навыков.
  4. Домашнее задание.
  5. Самостоятельная проверочная работа.

Ход урока.

1.Проверка домашнего задания

№ 681.

В

Н Дано: АВС, АВ=ВС, НЕ – серединный перпендикуляр, Р АЕС=27 см, АВ=18 см.

Е Найти АС.

А С

Решение:

Р АЕС = АЕ+ЕС+АС, Р АЕС = 27 см. Так как НЕ – серединный перпендикуляр, то АВЕ равнобедренный, АЕ = ВЕ. АВС равнобедренный по условию, АВ=ВС=18 см, тогда ВЕ+ЕС=18см или АЕ+ЕС=18см. Отсюда АС=27см – 18см=9см.

Ответ: 9 см.

№ 720.

В

Дано: АВС – разносторонний,

h – серединный перпендикуляр.

Выяснить: принадлежит ли точка В

серединному перпендикуляру h?


А С

h

Решение:

Пусть точка В принадлежит серединному перпендикуляру h. Тогда h является и медианой и высотой ∆ АВС, ∆ АВС – равнобедренный. А это противоречит условию задачи. Значит, точка В не принадлежит серединному перпендикуляру h.


2.Повторение теоретического материала: отвечаем на вопросы.

* Что вам известно о точках биссектрисы неразвёрнутого угла?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

* Дайте определение серединного перпендикуляра к отрезку.

* Каким свойством обладает каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку?

Сформулируйте теорему обратную данной.

* Сколько серединных перпендикуляров можно построить в треугольнике? Каким свойством они обладают?

* Сколько высот можно построить в треугольнике? Каким свойством обладают они?

Перечислите четыре замечательные точки треугольника !

Общая информация

Номер материала: 268647

Похожие материалы