Тема.
Четыре замечательные точки треугольника.
Тип
урока. Урок обобщения и
систематизации знаний.
Эпиграф к
уроку.
Вдохновение нужно в геометрии не
меньше, чем в поэзии.
А.С.Пушкин.
Цель
урока.
Систематизировать, расширить и
углубить ваши знания, умения и навыки:
- о свойствах биссектрисы угла
и серединного перпендикуляра треугольника;
- о четырёх замечательных
точках треугольника;
- уметь использовать эти
знания при решении задач.
Развивать вашу
наблюдательность, умение анализировать, сравнивать, делать выводы.
Вызвать у вас
потребность в обосновании своих высказываний.
План
урока.
- Проверка домашнего задания.
- Повторение теоретического материала.
- Решение задач на отработку знаний,
умений и навыков.
- Домашнее задание.
- Самостоятельная проверочная работа.
Ход урока.
1.
Проверка домашнего задания
№ 681.
В
Н
Дано: АВС, АВ=ВС, НЕ –
серединный перпендикуляр,
Р АЕС=27 см, АВ=18 см.
Е Найти
АС.
А С
Решение:
Р АЕС = АЕ+ЕС+АС, Р АЕС = 27 см. Так как НЕ – серединный
перпендикуляр, то АВЕ равнобедренный, АЕ = ВЕ. АВС равнобедренный по
условию, АВ=ВС=18 см, тогда ВЕ+ЕС=18см или АЕ+ЕС=18см. Отсюда АС=27см –
18см=9см.
Ответ: 9 см.
№ 720.
В
Дано: АВС – разносторонний,
h – серединный перпендикуляр.
Выяснить: принадлежит ли точка В
серединному перпендикуляру h?
А С
h
Решение:
Пусть точка В принадлежит серединному
перпендикуляру h. Тогда h является и медианой и высотой ∆ АВС, ∆ АВС – равнобедренный.
А это противоречит условию задачи. Значит, точка В не принадлежит серединному
перпендикуляру h.
2. Повторение
теоретического материала: отвечаем на вопросы.
* Что вам известно о
точках биссектрисы неразвёрнутого угла?
Сформулируйте
теорему обратную данной.
* Сформулируйте
свойство биссектрис треугольника.
* Дайте определение
серединного перпендикуляра к отрезку.
* Каким свойством
обладает каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку?
Сформулируйте
теорему обратную данной.
* Сколько
серединных перпендикуляров можно построить в треугольнике? Каким свойством они
обладают?
* Сколько высот
можно построить в треугольнике? Каким свойством обладают они?
Перечислите четыре
замечательные точки треугольника !
Мы перечислили все
свойства четырёх замечательных точек треугольника, но решая задачи мы
догадались и ещё об одной особенности этих точек.
3. Решение задач (
систематизация знаний, умений и навыков учащихся ).
Задача № 1.
В остроугольном ∆ АВС АD перпендикулярно ВС, СF перпендикулярно АВ, АD пересекает CF в точке М.
Докажите, что угол АВМ равен углу
МСА.
B
Дано: ∆ АВС, AD ┴ BC, CF ┴ AB,
AD × CF=M.
Доказать: ∟ ABM= ∟ MCA.
F
D
A C Доказательство.
М – точка
пересечения двух высот, следовательно, третья высота ВН тоже проходит через эту
точку.
∆ FBM подобен ∆ HMC( по первому признаку подобия
треугольников), так как ∟FMB=∟ HMC – они вертикальные, ∟МHС=∟MFB=90º
. По определению подобных треугольников ∟ АВМ= ∟МСА.
Задача 2.
В треугольнике АВС
биссектрисы AD и СЕ пересекаются в точке М, ВМ=m, угол АВС равен α. Найдите расстояние от точки М до стороны
АС.
С
Дано:∆ АВС, AD и СЕ – биссектрисы, AD×CE=M,
D ВМ=m,∟АВС= α.
Н
Найти: МН.
А
В
Е
Решение:
Так как точка М
лежит на биссектрисе угла С, то МН=МН1(по свойству биссектрисы угла ), и
М – точка пересечения двух биссектрис, следовательно, ВМ тоже биссектриса.
Тогда ∟МВН1= α/2.
Рассмотрим ∆МВН1: ∟МН1В=90º, ∟МВН1= α/2, МВ=m; по определению синуса острого угла МН1=m·sin(
α/2), значит МН= m·sin(
α/2).
Ответ: m·sin(
α/2).
3.
Домашнее задание (записать в тетрадях).
На следующем уроке учащиеся
познакомятся с вписанной окружностью, эти задачи предшествуют объяснению нового
материала
1) На рис.1 окружность с центром в
точке О касается сторон угла МКN в точках М и N. Найдите угол МКN и расстояние МN, если ОМ=1 см, КМ=2см.
К
2) Стороны угла А
касаются окружности радиуса r с центром в точке О.
а) Найдите ОА,
если r=5 см, угол А равен 60 º.
б) Найдите r, если ОА=14 дм, угол А равен 90º .
4.
Выполнение проверочной самостоятельной работы.
Работа выполняется в
шести вариантах, различного уровня сложности: первых четыре варианта рассчитаны
на среднего ученика, пятый вариант для более подготовленных учащихся, шестой на
слабого и содержит небольшую подсказку в решении.
Текст используемых в работе задач.
Вариант
1.
В прямоугольном
треугольнике АСВ (угол С равен 90 º) АЕ-биссектриса, СЕ=5, АВ=14. Найдите
площадь треугольника АВЕ.
Вариант
2.
Высоты AD и СЕ остроугольного треугольника АВС
пересекаются в точке О, ОА=4, OD=3, BD=4. Найдите расстояние от точки О до
стороны АС.
Вариант
3.
В прямоугольном
треугольнике АВС ( угол С равен 90 º) р-серединный перпендикуляр к АВ, р
пересекает АС в точке К, АК=5, ВС=4. Найдите периметр треугольника ВКС.
Вариант
4..
. В остроугольном
треугольнике АВС h и р-серединные перпендикуляры к
сторонам ВС и АС. Они пересекаются в точке F, CF=10,
AB=16. Найдите расстояние от точки F до стороны АВ.
Вариант
5*.
Вершины
треугольника АВС лежат на окружности, угол А в два раза больше угла В.
Биссектрисы AF и СЕ пересекаются в точке О, АО
пересекает окружность в точке К. Докажите, что КС параллельна АВ.
Вариант
6º.
В равнобедренном
треугольнике АВС АВ=ВС, медианы АЕ и CF
пересекаются в точке К, ВК=6, АС=10. Найдите площадь треугольника АВС.(45)
Дано: ∆ АВС, АВ=ВС, АЕ и СF-медианы,
В АЕ
× СF=К, ВК=6, АС=10.
АС Найти: S ∆ АВС.
Н
Решение.
(подсказка: К-точка
пересечения медиан, значит ВН тоже медиана, тогда ВК=2КН…)
Решение
самостоятельной работы.
Вариант 1.
Дано:∆ АВС, (∟С=90º), АЕ – биссектриса,
СЕ=5, АВ=14.
Найдите: S АВС.
Решение.
S АВС=1/2 ЕD·АВ. Так как АЕ – биссектриса, то СЕ=ЕD=5. Тогда S АВС=1/2·14·5=35.
Ответ: 35.
В Вариант 2.
Дано:∆ АВС, AD и CE – высоты,
AD × CE=О, ОА=4, ОD=3, ВD=4.
D
Найти: ОН.
Е
А С
Н
Решение.
∆ ВОD подобен ∆ АОН(по первому признаку подобия).
Отсюда, OD/OH=BO/AO.
Из ∆ ВОD: ВО=√16+9=5, тогда ОН=2,4.
Ответ: 2,4.
Вариант 3.
Дано:
∆ АВС, ∟С=90º, p ┴ АВ, p×АС=К, АК=5,
А ВС=4.
р
Найти: Р ВКС.
Н
К
С В
Решение.
Так как точка К
лежит на серединном перпендикуляре, то АК=КВ=5. Треугольник КСВ –
прямоугольный, по теореме Пифагора КС=3. Тогда Р КВС=3+5+4=12.
Ответ: 12.
Вариант
4.
Дано: ∆
АВС, h и р – серединные перпендикуляры,
В h×р=F, CF=10,
АВ=16.
Найти: FH.
h
Н
А С
Решение.
F- точка пересечения двух серединных
перпендикуляров, а значит и третьего FН,
тогда НВ=8, BF=FC=10. Отсюда, HF=6.
Ответ: 6.
Вариант
5.
С К
Дано:
окр.(О;r), точки А,В,С – лежат на
окружности, ∟А=2∟В, AF и CF – биссектрисы
AF ×CF=О, АО×окр.(О;r)=К
Доказать:
КС║АВ.
А Е В
Доказательство.
Углы СКА и СВА
опираются на одну дугу, значит они равны. Но угол В равен половине угла А,
следовательно и угол СКА равен половине угла А. Так как угол СКА равен углу КАВ
и они накрест лежащие при прямых СК и АВ и секущей АК, то КС║АВ.
Геометрия, 8 класс.
Учитель: Юдина Наталья Вячеславовна.
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.