Конспект урока геометрии на тему "Измерение углов, связанных с окружностью"

Конкурс конспектов уроков математики

ФИО участника	Название ОУ	Электронный адрес, Телефон для связи
Дужик Юлия Владимировна	МОУ СШ № 57 г. Волгограда	[e-mail]:[e-mail] [phone]

Класс	Тема	УМК
8	Измерение углов, связанных с окружностью	«Геометрия. 7 - 9 класс» под ред.  Л.С. Атанасяна

Основные дидактические цели урока:

·         Закрепить понятия центрального и вписанного углов, подвести к четкому разграничению между понятиями;

·         Научиться решать различные типы задач, связанные с комбинациями углов на окружности (вписанные и центральные углы, углы, образованные касательной и хордой, углы, образованные касательными, исходящими из одной точки);

·         Подвести к необходимости выполнения чертежа при  решении задач;

·         Сформировать навык решения задач, встречающихся в ГИА - 9

Структура урока:

·         Приветственное слово;

·         Актуализация знаний учащихся: повторить понятия углов, связанных с окружностью в устной форме;

·         Обсуждение понятий и свойств углов, связанных с окружностью, закрепление, решение устных задач на готовых чертежах автора З. Н. Балаяна;

·         Мотивация в рассмотрении решения задач, связанных с углами в окружности, встречающихся в ГИА – 9;

·         Решение задач с применением свойств центральных и вписанных углов, касательной и радиуса, проведенного к точке касания, двух касательных, проведенных из одной точки, заимствованных на сайте ФИПИ;

·         Запись домашнего задания;

·         Устное определение итога урока, вывод о достижении результатов и поставленных целей

Ход урока

Деятельность учителя

Деятельность учеников

Приветственное слово. (на доске ребята видят заранее подготовленные чертежи с простейшими задачами). 1.Что изображено на доске (рис. 1)? А) Что такое окружность/вписанный угол? Б) Как решить первую задачу? Точка О – центр окружности, ∠AOB=130° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах). 2. Посмотрите на второй рисунок, что на нем изображено? Что называется касательной к окружности? Как можно решить следующую задачу? Значит, какой треугольник мы получаем? Чему равен тангенс угла в прямоугольном треугольнике? Получается, чему равен KL? Значит, нам осталось что еще вспомнить? Правильно! Т.о. получаем длину отрезка KL. 3. Отлично! Еще одна задача: Точка О – центр окружности, ∠AOB=84° (см. рисунок). Найдите величину угла ACB(в градусах).  Как найти ответ в ней? В чем его суть? 4. на этом чертеже Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 72∘. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. Какие основные определения здесь используются? Что нужно использовать?  Значит тут мы как продолжаем ход нашего решения? Так как же определить градусную меру искомого угла? Применяется ли здесь еще какое-то свойство? Хорошо, теперь, конечно, мы можем решить нашу задачу? Чему равен искомый угол? А есть ли другие способы решения задачи? 5. Молодцы! Вспомнили понятие углов, связанных с окружностью. Так в чем заключается основная цель нашего урока? Да, действительно, цель наша именно в решении задач, где присутствуют углы (центральные и вписанные углы, образованные касательной и хордой, двумя касательными, исходящими из одной точки. Эти задачи в той или иной форме присутствуют в экзаменационных вариантах 9- го класса. И следующий ряд задач будет взят именно из экзамена. 6. А как проверить, усвоен ли материал всеми нами или нет? Давайте разделимся по вариантам каждый из вас пробует по максимуму решить задачи, которые я предлагаю, затем мы обменяемся и проверим. Вариант 1. 1. Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите радиус окружности, если угол между касательными равен 60°, а расстояние от точки А до точки О равно 6. 2. Точка О — центр окружности, ∠BAC=40° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах). 3. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=15∘ и ∠OAB=8∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. Вариант 2. 1. Из точки А про­ве­де­ны две ка­са­тель­ные к окруж­но­сти с цен­тром в точке О. Най­ди­те ра­ди­ус окружности, если угол между ка­са­тель­ны­ми равен 60°, а рас­сто­я­ние от точки А до точки О равно 8. 2. Найдите ве­ли­чи­ну (в градусах) впи­сан­но­го угла α, опи­ра­ю­ще­го­ся на хорду  AB, рав­ную ра­ди­у­су окружности. 3. Точка O – центр окружности, на которой лежат точки A, B и C. Известно, что ∠ABC=56∘ и ∠OAB=15∘. Найдите угол BCO. Ответ дайте в градусах. Мы активно работаем, пора глазам немного отдохнуть: Голова устремлена налево, опустите взгляд на кончик носа и в сторону, не поворачивая головы, работая только глазами, обведите по периметру школьную доску,  по часовой стрелке и против настенные часы, знак бесконечности слева направо и наоборот. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и … Проверим наши самостоятельные работы, посмотрите на слайд, где даны чертежи задач и их решение, обменяйтесь вариантами, проверьте друг у друга решение. «5»-выполнено без ошибок; «4» - одна ошибка; «3» - 2 ошибки 7. Рассмотрим еще ряд задач на готовых чертежах, взятых из экзаменационных вариантов 9 класса: А) Сторона AC треугольника ABC проходит через центр описанной около него окружности. Найдите ∠C, если ∠A=75∘. Ответ дайте в градусах. На что здесь нужно обратить внимание? Именно, нам необходимо в итоге рассмотреть какой треугольник? Правильно! Здесь суть задачи в том, чтобы определить вид треугольника, через центральный и вписанный углы. Молодцы! Б) Как найти в этой задаче дугу SN? На чертеже этот угол показан? Таким образом, нам необходимо выполнить дополнительные построения. Какие? Так с каким углом связана искомая дуга? Как они связаны? Правильно! Как его найти? Таким образом, теперь мы можем ответить на вопрос задачи? 8. Домашнее задание на карточках по готовым чертежам:  ;          Отрезок AB=40 касается окружности радиуса 75 с центром O в точке B. Окружность пересекает отрезок AO в точке D. Найдите AD. 9. Давайте подведем итог сегодняшнего урока. Каким сегодня был урок (получение новых знаний или закрепление)? Чему научились? 10. Рефлексия. Сейчас каждый из вас на столах видит карточки, где ваша задача подчеркнуть то, чем для вас урок наш явился. Во время урока я: -просто смотрел на доску; -активно работал; -вместе с классом активно принимал участие в решении устных задач. В итоге: -Понял, как решать задачи; - узнал что-то новое; - ничего не понял. 11.  Молодцы, ребята! Сегодня мы активно поработали. Но на этом не заканчивается блок задач с измерением углов, связанных с окружностью. На следующем уроке, нас ждет более пристальное рассмотрение касательной и ее свойств. Я предлагаю подготовить желающих материал, связанный с нахождением углов и дуг, образованных касательной и окружностью, которого нет в школьном учебнике: - Как найти угол между касательной и хордой? - Угол между двумя пересекающимися хордами? - Угол между двумя секущими, исходящими из одной точки; - Угол между двумя касательными, проведенными из одной точки. 12. На этом урок окончен! До свидания!

Приветствуют учителя, вошедшего в класс. 1.Окружность и вписанный в нее угол и центральный угол.  А) и Б): Дают определения окружности, центрального, вписанного углов. Приводят устное решение задачи, вспоминаю свойство центрального и вписанного угла. 2.Касательная, проведенная к окружности. Дают определение касательной. Необходимо применить свойство касательной и радиуса, проведенного к точке касания (образуют прямой угол). Треугольник КОL прямоугольный. Значит отрезок КL легко найти используя определение тангенса угла в прямоугольном треугольнике. Отношению противолежащего катета к прилежащему. KL=R*tg<KOL. Что тангенс угла 60° составляет корень из трех. KL =6корень из трех. Что тангенс угла 60° составляет корень из трех. 3. Здесь применяется свойство вписанных углов, опирающихся на одну дугу! (учащиеся формулируют свойство и устно приводят решение задачи). 4. Свойства касательных, проведенных из одной точки! Отрезки касательных от точки их пересечения до точек касания равны! Получаем треугольник равнобедренный, значит, легко найти угол СВА.Да,радиус, проведенный к точке касания образует с касательной прямой угол. Угол АВО равен 90° минус угол АВС. (180°-72):2=54°. Угол АВО=90°-54°=36°. (ученики предлагают другой способ через четырехугольник, сумму его внутренних углов, в случае неудачи, учитель подсказывает) 5. Нам нужно научиться «измерять» углы, связанные с окружностью. 6. При помощи самостоятельной работы. (В течении 7 минут ученики выполняют самостоятельно решение задач, затем совместно с учителем и  с наглядным представлением на интерактивной доске проверяется решение). 7.А) Здесь центральный угол является диаметром, значит угол В прямой, так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на эту же дугу! Прямоугольный. Теперь легко получаем, что угол С равен 90°-75°=15° Б)Найти угол, опирающийся на эту дугу.  Нет. ( дети начинают перебирать варианты, возможно, не сразу придут к тому, что необходимо провести радиус ОN, чтобы получить равнобедренный треугольник) С центральным углом SON. Он равен дуге, на которую опирается. Треугольник SON равнобедренный (2 радиуса), Угол О в нем равен: 180° – 2* 40°= 100°. Да, дуга SN = 100° Что при решении задач можем вводить две переменные Составляется система двух уравнений Нет. Это удобно, когда трудно получить выражение для второй неизвестной величины 9. Закрепление. Решать задачи, которые есть на экзамене, научились применять свойства вписанных углов в решении задач. 11. (учащиеся поднимают руки, кто желает подготовить материал). 12. До свидания!

Резюме

В ходе данного урока был реализован системно-деятельностный подход: учащиеся сами, анализируя задачу, начинают закреплять полученные ранее знания, закрепляя тем с амым теоритический материал и вносят его на практику. Осуществляется он в разных формах деятельности: групповая (весь класс активно в устной форме работал), индивидуально-групповая (самостоятельная работа плюс проверка совместная в мини-группах). В ходе урока успешно развивается контроль и самоконтроль (в конце каждый ученик самостоятельно оценивает свою роль во время процесса урока) Методическими особенностями данного урока являются:

·      Поддержка информационных технологий (проектор, интерактивная доска, наличие презентации)

·      Разнообразие форм и методов работы (устная и письменная деятельность, групповая, мини-групповая, индивидуальная работа);

·      Включение исследовательских рассуждений в поиске решения задач.