Конспект урока геометрии: Осевая и центральная симметрия, 8 класс

Мишутина Н.Н., школа №36

8 класс   Осевая и центральная симметрии.

Цель: дать учащимся понятие симметрии, конкретизировать это понятие на примере осевой симметрии.

Задачи: 1. Научить строить симметричные точки, уметь распознавать фигуры, являющиеся симметричными относительно прямой.

2. Развитие познавательной и творческой активности учащихся на примерах применения симметрии в природе, архитектуре и поэзии.

3. Воспитывать умения контролировать свои действия.

«Кто смолоду делает и думает сам,

 тот становится потом, надёжнее, крепче, умнее» В. Шукшин.

ХОД УРОКА

I.  ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

  Сконцентрировать внимание учащихся на том, что данный урок будет проходить с использованием чертежных инструментов.

II.  ОБЪЯСНЕНИЕ НОВОГО МАТЕРИАЛА

О, симметрия! Гимн тебе пою!

Тебя повсюду в мире узнаю.

Ты в Эйфелевой башне, в малой мошке,

Ты в елочке, что у лесной дорожки.

С тобою в дружбе и тюльпан, и роза,

И снежный рой – творение мороз.

          Обратить внимание учащихся на некоторые окружающие их предметы и обратить внимание на их соразмерность, на неизменность структуры этих объектов. Об этом свойстве геометрических фигур, окружающих нас материальных объектов будет идти речь на сегодняшнем уроке.

“Симметрия” - слово греческого происхождения. Оно, как и слово “гармония”, означает соразмерность, наличие определенного порядка, закономерности в расположении частей. Известный немецкий математик Герман Вейль дал определение симметрии таким образом: “Симметрия является той идеей, с помощью которой человек веками пытается объяснить и создать порядок, красоту и совершенство”. Природа – удивительный творец и мастер. Все живое в природе обладает свойством симметрии. Если сверху посмотреть на любое насекомое и мысленно провести посередине прямую (плоскость), то левые и правые половинки насекомых будут одинаковыми и по расположению, и по размерам, и по окраске. Ведь мы ни разу не видели, чтобы у жука или стрекозы, у любого другого насекомого лапы слева были бы ближе к голове, чем справа, а правое крыло бабочки или божьей коровки было бы больше, чем левое.

Такого в природе не бывает, иначе бы насекомые не смогли бы летать. Свойство симметричности, присущее живой природе, человек использовал в своих достижениях: изобрел самолет, создал уникальные здания архитектуры. Да и сам человек является фигурой симметричной. Однако симметрия существует и там, где ее не видно на первый взгляд. Физик скажет, что всякое твердое тело – кристалл. Знаменитый кристаллограф Евграф Степанович Федоров сказал: “Кристаллы блещут симметрией”. Химик скажет, что все тела состоят из молекул, а молекулы состоят из атомов. А многие атомы располагаются в пространстве по принципу симметрии. Таким образом, данное преобразование фигур (симметрия) вошло в математику в результате наблюдения человека за окружающим миром. Оно встречается часто и повсеместно. Поэтому даже не искушенный человек обычно легко усматривает симметрию в относительно простых ее проявлениях.
 В древности слово «СИММЕТРИЯ» употреблялось в значении «гармония», «красота». Действительно, в переводе с греческого это слово означает «соразмерность, пропорциональность, одинаковость в расположении частей».

 Осевая и центральная симметрии.

Две точки A и A1 называются симметричными относительно прямой a, если эта прямая проходит через середину отрезка AA1 и перпендикулярна к нему (рис. 1, a). Каждая точка прямой a считается симметричной самой себе. На рисунке 1, б точки M и M1, N и N1 симметричны относительно прямой b, а точка P симметрична самой себе относительно этой прямой.

Рис. 1

Симметрия бывает центральная, осевая, зеркальная, скользящая. Сегодня уроке мы рассмотрим осевую симметрию.

1.    ОПРЕДЕЛЕНИЕ: две точки. А и А₁ называются симметричными относительно прямой, если эта прямая проходит через середину отрезка АА₁, и перпендикулярна к нему. Эта прямая называется осью симметрии. 

2.    ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Фигура называется симметричной относительно прямой a, если для каждой точки фигуры симметричная ей точка относительно прямой, а также принадлежит этой фигуре.

Приведем примеры фигур, обладающих осевой симметрией:
а) у неразвернутого угла одна ось симметрии – прямая, на которой расположена биссектриса угла;
б) равнобедренный треугольник (но не равносторонний) – имеет также одну ось симметрии, проходящую через медиану треугольника, проведенную к основанию;
в) равнобедренная трапеция – имеет одну ось симметрии, проходящую через середины оснований.

Есть фигуры, обладающие двумя осями симметрии: прямоугольник, ромб (но не квадрат). А у таких фигур, как равносторонний треугольник, квадрат, окружность, круг – более двух осей симметрии. Имеются фигуры, у которых нет ни одной оси симметрии. К ним относятся произвольный треугольник, произвольный четырёхугольник, неправильный многоугольник.

III.  ПОСТРОЕНИЕ

На уроке рассматриваются методы построения:
а) точки, симметричной данной;
б) отрезка, симметричного данному;

а) ПОСТРОИТЬ ТОЧКУ А₁ СИММЕТРИЧНУЮ ТОЧКЕ А ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ С.

Построение:

1.    Из точки А провести прямую перпендикулярную прямой с.

2.    Отложить отрезок ОА₁ равный      отрезку ОА.

3.    А₁ - искомая точка

б)  ПОСТРОИТЬ ОТРЕЗОК А₁В₁ СИММЕТРИЧНЫЙ  ОТРЕЗКУ АВ ОТНОСИТЕЛЬНО ПРЯМОЙ с.

     Построение:

1.     А А₁ ┴с, АО=ОА₁.

2.     ВВ₁┴с, ВО₁=О₁ В₁.

3.     А₁В₁  – искомый отрезок.

    Какие фигуры обладают центральной симметрией, а какие осевой?

                                                                               

    Какие фигуры, обладающие центральной симметрией, имеют осевую симметрию?

IV. ЗАКРЕПЛЕНИЕ в ходе решения задач.

1.      № 416 ученик у доски

2.      № 417стр.114 устно

3.      № 418 стр.114 устно: Какие из следующих букв имеют ось симметрии: А, Б, Г, Е, О, F.

4.       № 421 стр.114.у доски и в тетради. Даны точки А, В и М. Постройте точку, симметричную точке М относительно середины отрезка АВ.

5.      №422 стр. 114 устно: Имеют ли центр симметрии: а) отрезок; б) луч; в) пара пересекающихся прямых; г) квадрат?

6.      № 423 стр.114 устно.

V. СИММЕТРИЯ ВОКРУГ НАС

Изображения на плоскости многих предметов окружающего нас мира имеют ось симметрии: многие листья, снежинки, плоды, лепестки цветов, живые организмы (например, насекомые), зеркальное отображение. С симметрией мы часто встречаемся в искусстве, архитектуре, технике, быту, поэзии. Симметричные узоры на коврах, тканях, комнатных обоях. Симметричные детали механизмов, например, зубчатые колеса.

Симметрия играет огромную роль в искусстве и архитектуре. Но ее можно заметить и в музыке, и в поэзии. Симметрия широко встречается в природе, в особенности у кристаллов, у растений и животных. Симметрия может встретиться и в других разделах математики, например при построении графиков функций.

VI.     ИТОГ УРОКА.

1.    Сколько осей симметрии имеет отрезок?

2.    Сколько осей симметрии имеет прямая?

3.    Сколько осей симметрии имеет луч?

          Симметрию можно обнаружить почти везде, если знать, как ее искать. Многие народы с древнейших времен владели представлением о симметрии в широком смысле – как об уравновешенности и гармонии. Творчество людей во всех своих проявлениях тяготеет к симметрии. Посредством симметрии человек всегда пытался, по словам немецкого математика Германа Вейля, «постичь и создать порядок, красоту и совершенство». 

Домашнее задание: п.47  вопросы 16-20, № 420, задачи  из рабочей тетради № 25, 26.