Геометрия, 7 класс.
Разработала Климова Ольга
Сергеевна, учитель первой категории.
Тема: « Параллельные прямые»
Учебник « Геометрия 7» (Л.С.Атанасян и др.), гл 3, § 1,
2.
Тема урока: «Решение задач»
Цели: 1. Образовательные.
1). Формирование навыков решения задач
по теме, используя теоретический материал.
2). Объяснить способы решения
некоторых, наиболее интересных задач.
2. Развивающие.
1). Развитие абстрактного и
логического мышления.
3. Воспитательные.
1). Воспитание интереса к новому
предмету.
Оборудование: 1. Классная доска.
2. Мультимедийный проектор.
3. Варианты задач к
самостоятельной работе (на карточках).
Структура урока:
1. Повторение теоретического
материала и решение устных задач – 10 мин.
2. Подробный разбор решения
нескольких задач - 25 мин.
3. Самостоятельная
работа - 8
мин.
4. Итог урока и выдача домашнего
задания - 2 мин.
Ход урока:
1. Шести учащимся выдается задание на карточках:
1) Доказать признак параллельности прямых по
односторонним углам.
2) Доказать признак параллельности прямых по накрест
лежащим углам.
3) Доказать признак параллельности прямых по
соответственным углам.
4) Доказать теорему, обратную признаку параллельности
прямых по односторонним углам.
5) Доказать теорему, обратную признаку параллельности прямых
по накрест лежащим углам.
6) Доказать теорему, обратную признаку параллельности
прямых по соответственным углам.
( На доказательство дается 10 минут).
2. Выдается ряд задач с помощью мультимедийного
проектора
( см. приложения):
Задача 1:
На плане поселка улицы АВ и СD параллельны. Улицы АВ и EF составляют угол 
, а улицы EF и АD – угол 
. Найдите углы, которые образуют улицы АD и АВ, АD и DС.
Решение (предполагаемые
ответы учеников):
Найдем угол, который образуют улицы АВ и АD.
ÐВАД=ÐFAE-(ÐFAB+ÐDAЕ)=180º-(+). Теперь найдем угол ADC. Известно, что ABllDC, тогда AD – секущая для этих прямых.
ÐADС=180º-ÐBAD =180º-(180º-(+))=+.
Задача 2:
Ð1=Ð2. Чему равна сумма углов 2 и
3? Ответ обоснуйте.
Решение ( предполагаемые
ответы учеников):
Ð1=Ð2. Значит, прямые а и b параллельны по признаку
параллельность двух прямых по накрест лежащим углам. При пересечении двух прямых
секущей сумма односторонних углов равна 180º. Ð2+Ð3=180º.
Задача 3:
По данным рисунка найдите Ð1.
Решение ( предполагаемые
ответы учеников):
Чтобы найти угол 1, нужно сначала доказать
параллельность прямых a и b. Обозначим угол, вертикальный с
углом в 73º, угол 2. Угол 2 и угол в 107º - односторонние при
параллельных a и b и секущей с.
73º+107º=180º. Значит, al lb. Рассмотрим: прямые a и b, секущая с, углы 1 и 92º-соответственные. При
пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны. Значит, Ð1=92º.
Задача 4:
pl l m, k ^ p. Найдите углы x и z.
Решение ( предполагаемые
ответы учеников):
Рассмотрим: прямые p l
l m, секущая n. Углы x и 50º+x – односторонние.
При пересечении двух параллельных прямых секущей сумма односторонних углов
равна 180º. Значит, 50º+x+50º=180º,
х=65º.
Рассмотрим: прямые p l
l m, секущая n. Углы z и 90º - односторонние.
z+90º=180º. z=90º.
Задача 5:
al l b, c –секущая. Найдите угол у.
Решение(предполагаемые ответы
учеников):
Рассмотрим: прямые al l b ,
секущая с, углы у и 180º- 3у – накрест лежащие. При
пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны. Значит, 180º-3у=у, у=45º.
3. Решение задач.
Задача 6:
Две параллельные прямые пересечены секущей. Ð1 и Ð2 – односторонние, Ð1:Ð2=2:3. Чему равны эти углы?
Сделаем рисунок и запишем условие задачи:
Дано:
Решение:
allb , c- секущая Ð1:Ð2=2х:3х, Ð1=2х, Ð2=3х
Ð1:Ð2=2:3 2х+3х=180
5х=180
Найти: х=36
Ð1, Ð2-? Ð1=2*36º=72º
Ð2=3*36º=108º
Ответ: 72º,108º.
№ 221.
Дан треугольник ABC и точки M и N такие, что середина отрезка BM совпадает с серединой стороны AC, а середина отрезка CN совпадает с серединой стороны AB. Докажите, что точки M, N и A лежат на одной прямой.
Сделаем сначала рисунок(см. приложение). Построим
треугольник ABC. Середина отрезка BM совпадает с серединой отрезка AC. Т.е., найдем середину отрезка AC, обозначим ее точкой O. Через точки B и О проводим прямую. Строим на этой
прямой отрезок OM, равный отрезку BO. Аналогично получаем точку N.
Теперь запишем условие задачи.
Дано:
∆ABC
AO=OC
BO=OM
AS=SB
NS=SC
Доказать:
точки M, N, A принадлежат одной прямой
Нам нужно доказать. Что три точки принадлежат одной
прямой. Рассмотрим точки N и A. Сколько прямых проходит через эти
точки?(одна). Проведем эту прямую А через точки M и A?(одна).
Проведем эту прямую. Имеем две прямые MA и NA. Как они могут быть
расположены? (Либо пересекаются, либо это одна и та же прямая). Случай, когда
прямые пересекаются нас не устраивает. Его нужно исключить. Чтобы доказать, что
MA и AN одна и та же прямая. Нужно доказать, что MAl l BC и NAl l BC. Что для этого нужно доказать? (Что ÐCDM=ÐABM и ÐBCN=ÐANC). Откуда мы можем получить равенство
углов? (из равенства треугольников). Как вы думаете, какие из треугольников,
получившихся на рисунке, будут равными? (∆ABO=∆AMO, ∆BCS=∆ANS). Мы можем доказать равенство треугольников?
(Можем). Как это сделать?(АО=ОС, ВО=ОМ – по условию задачи, ÐВОС=ÐМОА – они вертикальные, AS=SB, NS=SC – по условию задачи, ÐBSC=ÐASN – они вертикальные). Значит,
используя данные, мы можем доказать, что BCl l MA и BCl l NA. Получаем, через точку А, не лежащей
на прямой ВС, проходят две прямые МA и NA, параллельные прямой ВС. Но
по аксиоме параллельных прямых через точку, не лежащую на прямой, проходит
только одна прямая, параллельная данной. Значит, задача имеет решение только в
том случае, когда прямые МA и NA совпадают, т.е. это одна прямая. Значит,
точки M,N,A принадлежат одной прямой.
Запишем доказательство в тетрадь.
Доказательство:
1. ∆BOC и ∆MOA
ВО=ОМ, АО=ОС – по условию
ÐВОС=ÐМОА – вертикальные
∆BOC =∆MOA – по двум сторонам и углу между ними
ÐОВС=ÐОМА
BCl l MA, ВМ – секущая
ÐОВС=ÐОМА- накрест лежащие
BCl l MA – признак параллельности прямых по
накрест лежащим углам
2. ∆BCS и ∆ANS
AS=SB, NS=SC – по условию
ÐBSC=ÐASN – вертикальные
∆BCS и ∆ANS – по двум сторонам и углу между ними
ÐBCN=ÐANC
BCl l NA, NC – cекущая
ÐBCN=ÐANC- накрест лежащие
BCl l NA- признак параллельности прямых по
накрест лежащим углам
3. BCl l MA, BCl l NA
Точки M,N и A принадлежат одной – по аксиоме параллельных прямых
3. Самостоятельная работа на карточках (2
варианта). (В каждом варианте подобраны дифференцированные задачи).
1 вариант.
1(«3»). Две параллельные прямые пересечены секущей.
Один из односторонних углов на 32º больше другого. Чему равны эти углы?
2(«4»). В
А 
С АВ=ВС, КРll АС. Докажите, что ∆КРВ -равнобедренный.
3(«5»). Две параллельные прямые пересечены секущей.
Докажите, что биссектрисы накрест лежащих углов параллельны.
2 вариант.
1(«3»). Две параллельные прямые пересечены секущей.
Один из односторонних углов в 4 раза больше другого. Найдите эти углы.
2(«4»). В
А 
С АВ=ВС, КР l l АВ
К
Докажите, что ∆ РСК – равнобедренный.
3(«5»). Две параллельные прямые пересечены секущей.
Докажите, что биссектрисы соответственных углов параллельны.
4. Задание на дом.
1 , 2 , вопросы на стр. 63.
№186(в), № 206, № 215
Сегодня на уроке мы повторили признаки параллельности
двух прямых и теоремы, обратные к признакам. Использовали данные теоремы для
решения задач. Прорешали ряд письменных и устных задач. Провели небольшую
самостоятельную работу.
Примечания.
Урок рассчитан на сильный класс.
