10
класс
Геометрия Урок №11
Тема: Параллельность
прямых в пространстве. Параллельность трёх прямых.
Тип: урок изучения нового материала.
Цель: получить знания о параллельности прямых и
плоскостей.
Задачи:
Образовательные: рассмотреть
возможные случаи взаимного расположения прямых и плоскостей в пространстве;
познакомиться с понятиями параллельных и скрещивающихся прямых и их основными
свойствами; доказать теорему о параллельных прямых в пространстве и
параллельности трех прямых.
Развивающие:
развивать умение доказательства теорем; развивать память и
логическое мышление.
Воспитательные: воспитывать аккуратность и внимательность.
Автор
разработки: Попов Дмитрий Сергеевич.
ХОД УРОКА
I.
Организационный момент
Учитель и ученики приветствуют друг друга. Выявление
отсутствующих.
II.
Актуализация знаний
1. Фронтальный опрос.
- Как называется наука о свойствах геометрических фигур?
- Как называется раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур на
плоскости?
- Назови основные понятия планиметрии.
- Как называется поверхность, имеющая два измерения?
- Выберите неверную аксиому:
а) Через любые две точки проходит
плоскость, и притом только одна;
б) Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна;
в) Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.
2. Самостоятельная работа на карточках.
Выдаю учащимся карточки (приложение 1), для выполнения самостоятельной
работы.
III. Постановка темы и цели урока
- Геометрия, которую мы изучаем,
называется евклидовой, по имени древнегреческого учёного Евклида (III век до
нашей эры), создавшего руководство по математике под названием «Начала». В этой
книге есть раздел о параллельных прямых. Что же такое параллельные прямые в
пространстве, и сильно ли они отличаются от параллельных прямых на плоскости?
Сегодня мы будем в этом разбираться.
- Откройте тетради и запишите тему
урока «Параллельность прямых в пространстве.
Параллельность трёх прямых»
IV. Изучение
нового материала
- В
советском энциклопедическом словаре слово «параллельность» переводится с
греческого языка, как «идущий рядом».
В средние века
параллельность обозначалась знаком «=». В 1557 году Р. Рекордом для обозначения
равенства был введен знак «=», которым мы пользуемся сейчас, а параллельность
стали обозначать «║».
В книге «Начала»
определение параллельных прямых звучало так «прямые, лежащие в одной плоскости
и будучи бесконечно продолжены в обе стороны, ни с той, ни с другой стороны не
пересекаются». Это определение почти не отличается от современного. В области
параллельных прямых работало очень много учёных из разных стран мира.
Каково расположение 2-х
прямых на плоскости (совпадают, пересекаются,
параллельны) (рис. 1 а, б, в).
Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в
пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо
пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Но
второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны)
или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во
втором - такие прямые называются скрещивающимися.
-
Запишите определения:
1) Две прямые в
пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не
пересекаются.
2) Скрещивающиеся прямые — прямые, которые не лежат в одной
плоскости.
-
Проиллюстрировать данные определения наглядно нам поможет простой куб. Не
верите?! Давайте укажем некоторые пары параллельных прямых:
AB||A₁B₁; AB|| CD;
A₁B₁||C₁D₁; CD||C₁D₁; AD||A₁D₁; BC||B₁D₁; AD||BC; A₁D₁||B₁C₁.
- А теперь рассмотрим
некоторые пары скрещивающихся прямых, как мы отметили, они не должны лежать в
одной плоскости:
AB A₁D₁; AB B₁C₁; CD
A₁D₁; CD B₁C₁; BC C₁D₁; BC A₁B₁; AB B₁C₁; AB A₁D₁.
-
Запишите теорему:
ТЕОРЕМА. Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой,
проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.
Учитель доказывает
теорему:
Рассмотрим прямую а и точку М, не
лежащую на этой прямой. Через прямую а и точку М проходит
плоскость, и притом только одна.
Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая,
проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в одной
плоскости с точкой М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости α. Но в
плоскости α, как известно из курса планиметрии, через точку М проходит прямая,
параллельная прямой а, и притом только одна. На рисунке эта прямая
обозначена буквой b.
Итак, b — единственная
прямая, проходящая через точку М параллельно прямой а. Теорема доказана.
В дальнейшем нам понадобятся также понятия
параллельных отрезков, параллельных отрезка и прямой, параллельных лучей. Два
отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.
Аналогично определяется параллельность отрезка и прямой, а также параллельность
двух лучей.
- Запишите лемму:
ЛЕММА. Если
одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая
прямая пересекает эту плоскость.
-
Откройте страницу 10 и прочитайте доказательство данной леммы.
Учащиеся
читают доказательство леммы.
-
Запишите теорему:
ТЕОРЕМА. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они
параллельны.
Пусть
а || с и b || с. Докажем, что а || b. Для этого нужно доказать,
что прямые а и b: 1) лежат в одной плоскости и 2) не пересекаются.
1) Отметим
какую-нибудь точку К на прямой b и обозначим буквой а плоскость, проходящую
через прямую а и точку К. Докажем, что прямая b лежит в этой плоскости.
Действительно, если допустить, что прямая b пересекает плоскость а, то
по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с также
пересекает плоскость α. Но так как прямые а
и с параллельны, то и прямая а пересекает плоскость α, что невозможно, ибо прямая а лежит в плоскости α.
2) Прямые а и b не
пересекаются, так как в противном случае через точку их пересечения проходили
бы две прямые (а и b), параллельные прямой с, что
невозможно.
V.
Закрепление изученного материала. Решение упражнений
Задача
1 (из доп. лит.). Дано:
АС
|| α, АВ α = М;
СВ α = N.
Доказать:
Доказательство:
1) По утверждению 1: || АС.
Тогда = (как
односторонние при параллельных прямых).
2) – общий.
3)
по двум углам.
Задача 2 (из доп. лит.).
Вершина Q параллелограмма MNPQ лежит
в плоскости α, а точки M, N, и P не лежат в этой
плоскости. Докажите, что прямые NM и NP пересекают
плоскость α.
Доказательство:
Прямая PQ пересекает плоскость α в
точке Q, так как Q ϵ α, поэтому, согласно лемме о
пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая NM, параллельная PQ,
также пересекает
плоскость α. Прямая MQ пересекает плоскость α в
точке Q, поэтому параллельная ей прямая NP также
пересекает плоскость α, что и требовалось доказать.
Задача
16 (учебник).
Задача
18(а) (учебник). Учащиеся решают самостоятельно.
VI.
Подведение итогов урока
- Какие
теоремы мы сегодня изучили?
- Какую лемму мы сегодня изучили?
-
Оцените свою работу на уроке.
VII.
Домашнее задание
· Прочитать
(п. 4-5) и выучит теоремы
и лемму.
·
Решить №18(б).
_____________________________________________________________________
Приложение 1
Самостоятельная работа
1. Прямая MN не
пересекает плоскость:
а) (АА1В1);
б) (ABC);
в) (AA1D1).
2. Прямая BD не
пересекает прямую:
а) АС;
б) АD;
в) ВС.
3. Сколько
плоскостей может проходить через две пересекающиеся прямые?
а) 2; б) 1; в) 4.
4. Точки М и К принадлежат ребрам ВВ1 и
СС1 куба ABCDA1B1C1D1.
Точка Т принадлежит прямой КМ. В какой плоскости лежит точка Т?
а) АDD1; б) BB1C1;
в) ABD; г) A1B1C1.
|
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.