Конспект урока геометрии в 9 классе по теме: «Площадь круга и кругового сектора»

9 класс                                             
Геометрия                         
Урок № 48

Тема: Площадь круга и кругового сектора.

Тип: урок изучения нового материала.

Цель: вывести формулу площади круга и на её основе получить формулу площади кругового сектора; научить учащихся решать задачи на применение формул площади круга и кругового сектора.

ХОД УРОКА

I. Организационный момент

Учитель и ученики приветствуют друг друга. Проверяется готовность к уроку. Выявление отсутствующих на уроке.

II. Проверка домашнего задания

Учитель берёт тетради для проверки выполнения домашнего задания у 2–3 учащихся.

III. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Проведение самостоятельной работы

Учитель записывает задания самостоятельной работы на доске и проводит её:

1. Найдите длину окружности, в которую вписан квадрат со стороной 5 см.
2. В окружность вписан правильный треугольник с площадью 12 см². Найдите длину окружности.

Учащиеся выполняют самостоятельную работу на листочках, после чего они их сдают учителю для проверки.

2. Решение задач по готовым чертежам

Учащиеся решают задачи у себя в тетрадях.

 № 1

                                                                         Дано:

                                                                         ABCD – квадрат
                                                                         S_ABCD = 16 cм²
                                                                         Найти: длину окружности.

№2

                       В                                               Дано: DАВС – правильный 
                                                                                     длина дуги АВ = 4p.
                       . О                                           Найти: S_DАВС.
          А                        С

№3

                                                                        Дано: АВ = 2 см
                                                                        Найти: Длины дуг АВ, ВС, АКС.

№4

                                                                           Дано: АС = 4
                                                                        Найти: Длину дуги АС.

Ответы к заданиям по готовым чертежам:
1) 4R. 2) 27. 3) ; ; 2p. 4) .

Проходит коллективная проверка решения задач по готовым чертежам.

Учитель разбирает задачи, с которыми не справилось большинство учащихся.

Вопросы для обсуждения:
– Что нужно знать для вычисления длины дуги? 
– Каким образом можно вычислить радиус камня?

IV. Постановка темы и целей урока

1. Повторение понятия круга

– Ребята, в 6 классе на уроках математики вы познакомились с понятием круга. Кто помнит, что же такое круг? (Примерный ответ учащихся: Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.)

– Если круг с центром О имеет радиус, равный R, то он содержит точку О и все точки плоскости, находящиеся на расстоянии, не превосходящем R.

2. Решение задачи

Сколько чернозёма потребуется для заполнения клумбы в форме круга радиусом 3 м и высотой 30 см?

3. Определение темы и целей урока

– Ребята, догадываетесь ли вы о чём мы будем говорить сегодня на уроке?

Учитель и ученики определяют тему и цель урока.

V. Изучение нового материала

Для вывода формулы вычисления площади круга возьмём правильный многоугольник. Обозначим вершины многоугольника А₁, А₂ и т.д. до А_п. Построим окружность, описанную около этого многоугольника.

Рассмотрим площадь круга, ограниченного этой
окружностью. Из чертежа очевидно, что площадь круга,
ограниченного описанной окружностью, больше площади многоугольника.

Продолжим построение. Добавим окружность, вписанную в
этот многоугольник. Очевидно, что площадь круга,
ограниченного вписанной окружность, будет меньше
площади многоугольника. Запишем неравенство,
обобщающее наше заключение.

Учитель на доске может сделать следующую запись
вместе с последним рисунком:

S’ < Sn < S Sn – площадь многоугольника S – площадь круга S’ – площадь вписанного круга Формула для вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности: rn = R cos

Согласно формуле вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности, можно делать следующие выводы:

При неограниченном росте числа сторон многоугольника, отношение  будет стремиться к нулю, т.к. cos 0 – это единиц, то следовательно, радиус вписанной окружности будет стремиться к значению радиуса описанной окружности.

Учитель на доске может сделать следующую запись:

При n ® ,         cos ® 1,       r_n ® R.

Как результат можно сделать следующий вывод:
При неограниченном количестве числа сторон правильного многоугольника вписанная в него окружность будет стремиться к описанной окружности. Поэтому площадь вписанной окружности будет стремиться к площади описанной окружности.

Для вычисления площади круга радиусом R правильного п-угольника, представим элементы этой формулы при условии неограниченного увеличения числа сторон многоугольника.

S_n =  Р_n r_n, где Р_n – периметр п-угольника А₁А₂…А_n

r_n ® R

Р_n ® 2pR

S_n ® S при п ®

S_n = 2pR × R = pR²

Т.е. S = pR² – площадь круга радиусом R

 Как видим площадь многоугольника стремиться к площади круга. Значит, мы получили формулу площади круга.

Дадим определение кругового сектора. Круговым сектором
или просто сектором называется часть круга, ограниченная дугой
и двумя радиусами, соединяющими концы дуги с центром круга.

Дугой сектора называют дугу, которая ограничивает сектор.

На рисунке мы видим две дуги ALB и АМВ.

Для вычисления площади кругового сектора воспользуемся формулой площади круга. Рассмотрим круговой сектор, ограниченный радиусами R градусной мерой угла ɑ. Зная формулу площади круга с радиусом R, можно найти площадь кругового сектора, ограниченного дугой в 1°. Запишем формулу для вычисления площади кругового сектора: S = × ɑ.

Дадим определение кругового сегмента. Круговым сегментом или просто сегментом называется часть круга, ограниченная дугой окружности и хордой, соединяющей концы этой дуги.

При значении градуса дуги менее 180° площадь сегмента можно
вычислить путём вычитания из площади сектора круга площадь
равнобедренного треугольника, сторонами которого будут являться
два радиуса и хорда сегмента:
S = S_сектор – S_D

VI. Закрепление изученного материала. Решение упражнений

1. Решение задачи из дополнительной литературы

Задача:
Найдите площадь круга, описанного около:
а) правильного треугольника со стороной ɑ;
б) равнобедренного треугольника с боковой стороной, равной 10 см, и высотой, проведенной к основанию, равной 8 см;
в) равнобедренного треугольника с боковой стороной ɑ и углом при вершине ɑ.

Ответы: а) ; б) 48 (см²); в) .

2. Фронтальная работа с классом

Решение задачи №1117

Учащиеся сами записывают решение задачи в тетради.

Дано: ABCD – трапеция, АВ = CD, ÐА = , AD = а, (O, r) – окружность вписанная в трапецию.

Найти: Площдь круга.

Вопросы для обсуждения:

- Что можно сказать о сторонах трапеции по отношению к вписанной в неё окружности? (Ответ: они являются касательными к окружсности.)

- Чему равна градусная мера угла ОАР? (Ответ:.)

3. Самостоятельное решение задач

Решение задачи №1127

Ответ: АО = .

VII. Анонс домашнего задания

·        Прочитать п. 115, 116

·        Решить № 1114, 1116 (а, б)

VIII. Подведение итогов урока

Учитель выставляет оценки ученикам, которые активно работали на уроке, за работу на уроке, тем самым подводит итоги урока.