Конспект урока "касательная к окружности"

Министерство образования и науки РБ

МО «Прибайкальский район»

Управление образования Прибайкальского района

МОУ «Мостовская основная общеобразовательная школа»

 районный, заочный  конкурс учителей

 общеобразовательных учреждений Прибайкальского  района

«Лучший  урок геометрии».

Урок по геометрии в 8 классе

по теме «Касательная к окружности».

Учитель математики: Кузьмина Татьяна Ивановна,

первая квалификационная категория.

с. Мостовка

2015-16 уч. год.

Тип урока: урок новых знаний.

Вид урока: комбинированный.

Цель урока: повторение пройденного — взаимное расположение прямой и окружности, формирование новых знаний: определение понятий касательная к окружности, точка касания, отрезков касательных и изучение свойств касательной и отрезков касательных, закрепление новых    знаний.

§  Развивать логическое мышление, наглядно-образное представление о математических понятиях;

§  Продолжить формировать эстетическое отношение к предмету, графическую культуру.

Источники информации: учебник Геометрия 7-9 Л. С. Атанасян, Поурочные разработки по геометрии 8 класс Н. Ф. Гаврилова. Презентация.

Формы работы: индивидуальная, фронтальная, работа в парах.

Методы: частично-поисковые, наглядные, словесные.

Оборудование: циркуль, треугольник, линейка, проектор, ноутбук

Структура урока:

1. Организационный момент.
2. Мотивация урока.
3. Актуализация опорных знаний.

- повторение изученного материала;

- подготовка к восприятию нового материала.

     4. Изучение новой темы.

     5. Первичное закрепление нового материала.

     6. Физкультминутка.

     7. Самостоятельная работа.

     8. Подведение итогов. Домашнее задание.

“Ни 30 лет, ни 30 столетий не оказывают никакого влияния

                                                    на ясность или на красоту геометрических истин”.

Кэрролл Л. 

Ход урока. 

1. Организационный момент.                                                                     1 минута

2. Мотивация урока.                                                                                     1минута

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Ещё вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. В древности не было этого термина: Евклид и другие учёные говорили просто “прямая из центра”, Ф. Виет писал что “радиус” - это “элегантное слово”. Общепринятым термин “радиус” становится лишь в конце XVII в. Впервые термин “радиус” встречается в “Геометрии” французского ученого Рамса, изданной в 1569 году. Очень хочется, чтобы каждый из вас сегодня для себя сделал хотя бы небольшое, но открытие.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.                                         3 минуты 

(слайд №3)

 

• 
  Какая геометрическая фигура изображена на чертеже? 
• 
  Назовите центр окружности. 
• 
  Чем является отрезок АК? 
• 
  Есть ли на чертеже еще диаметры? 
• 
  Чем является отрезок ОВ? 
• 
  Есть ли на чертеже еще радиусы? 
• 
  Как называется отрезок ML? 
• 
  Есть ли на чертеже еще хорды? 
• 
  Какой отрезок называется хордой? 
• 
  Является ли хордой диаметр? 
• 
  Можно ли измерить длину хорды, радиуса? 
• 
  С помощью какого измерительного прибора это можно сделать? Какими единицами измерения будет выражен результат? 
• 
  Можно ли измерить длину окружности? С помощью какого измерительного прибора это можно сделать? Как это можно сделать? (Возможные ответы: с помощью нитки, веревки и т.п.) 

Проверка домашнего задания. Прокомментировать, исправить ошибки, если таковые имеются (слайд 4,5)

Проводится тест с целью проверки ранее изученного (слайды из презентации).

1.Среди следующих утверждений укажите истинные.

Окружность и прямая имеют две общие точки, если

а) расстояние от центра окружности до прямой не превосходит радиуса окружности;

б) расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности;

в) расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности. Слайд 7.

2.Закончите фразу, чтобы получилось верное высказывание.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, если …

3.Вставьте пропущенные слова.

Окружность и прямая имеют одну общую точку, если  расстояние от … до прямой …

Слайд 8.

4.Установите истинность или ложность следующих утверждений:

а) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она имеет с окружностью общие точки.

б) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если она пересекает окружность в двух точках.

в) Прямая а является секущей по отношению к окружности, если расстояние от центра окружности до данной прямой не больше радиуса. Слайд 9

Ответы записать на отдельный лист. Обменяйтесь листочками, сверьте ответы, поставьте оценку и сдайте учителю.

4. Изучение нового материала.                                                           7 минут

На прошлом уроке мы с вами познакомились с взаимным расположением прямой и окружности. Давайте подумаем, как называется прямая, которая имеет с окружностью одну общую точку, т.е. касается этой окружности. Попробуйте дать определение касательной. (Самостоятельно формулируют определение, выполняют построение в тетради)

А теперь побудем в роли ландшафтных дизайнеров. Необходимо проложить от дома до бассейна радиусом равным 5 м две дорожки наибольшей длины. Известно, что расстояние от дома до центра бассейна равно 13 м. Каковы будут длины этих дорожек и что можно сказать о взаимном расположении дорожек и радиуса бассейна?

Что в первую очередь необходимо сделать?

Что известно? Что надо найти?

Дети самостоятельно строят чертеж:

                В

                                           А

                С

Известно, что ОВ=ОС=5м, АО=13м. Найти: АВ и АС

Заслушиваю варианты решения задачи, которые предлагают учащиеся, помогаю наводящими вопросами.

Какие треугольники надо рассмотреть? Какие эти треугольники (вид)? Что можно сказать про них? Как найти стороны АВ и АС? Какие по величине углы ОАВ и ОАС?

Дети предлагают решения задачи и записывают в тетрадь.

Решение: Рассмотрим треугольники АОВ и АОС. Эти треугольники прямоугольные, т.к.

АО²=ОВ²+АВ² (по теореме Пифагора) и АО²=ОС²+АС² и равны по двум катетам.

АВ²=АС²=АО²-ОВ²;

АВ²=АС²=13²-5²=144;

АВ=АС=12(м).

Какие выводы можно сделать после решения этой задачи?

1.Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

2.Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Эти выводы, которые вы сформулировали, являются свойствами касательной к окружности. Откройте учебник на стр.166-167 и прочитайте их.

5. Первичное закрепление материала.                                                           7 минут

Решить № 635(устно), 639,640.

                           

                         

6. Физкультминутка для глаз.                                                           2 минуты

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим, 
Ноги крепкие расставим. 
Поворачиваясь вправо, 
Оглядимся величаво. 
И налево надо тоже, 
Поглядеть из-под ладошек. 
И – направо! И еще, 
Через левое плечо!

 
А теперь продолжим работу. (построение кривой)                                              10 минут 

Математика и литература не так далеки друг от друга, как многие думают. Искусство и наука требуют фантазии, творческой смелости, зоркости в наблюдении различных явлений жизни. Я предлагаю сейчас вспомнить отрывок из произведения А.С. Пушкина «Руслан и Людмила». Вы, наверное, скажете, какое отношение касательная к окружности имеет к произведению великого поэта? Итак, отрывок из произведения.

У лукоморья дуб зелёный,
Златая цепь на дубе том.
И днём и ночью кот учёный.

Всё ходит по цепи кругом.

Какую кривую описывает кот при движении вокруг дуба? Рассмотрим модель движения, (игрушка-кот описывает движение «по цепи кругом» вокруг модели дуба). Получили некоторую кривую, которая носит название эвольвента. Дадим ей определение и построим её.

Определение: эвольвентой окружности называют кривую, которую описывает любая точка прямой, перекатываемой без сколь­жения по окружности (прямую называют производящей пря­мой, окружность эволютой или основной окружностью). (Толковый словарь русского языка Д. Н. Ушакова).

Построение: (слайд 11-14)

1. Делим окружность, например, на 12 равных частей.                                                                                                                                                                      2. Проводим касательные к окружности в точках деления. Направляем их в одну сторону.                  3. На касательной, проведенной через последнюю точку деления, откладываем отрезок, равный длине окружности  (2πR=πD).

4. Делим отрезок на то же число равных частей, что и окружность.

5. На первой касательной откладываем одно деление отрезка.

6. На второй касательной откладываем два деления отрезка.

7. На третьей касательной откладываем три деления отрезка и т. д. Получаем точки I, II, III и т.д. Соединяем эти точки. Получаем эвольвенту окружности.

7. Самостоятельная работа (слайд 15-16)                                                                   9 минут

Решение задач на готовых чертежах.

1.      Рисунок 647. Дано: R=5? AB – касательная. Найти OB.

2.      Рисунок 648. Дано: AB – касательная, AB=12? OB=13. Найти: R окружности.

3.      Рис.649. Дано: AB, BC – касательные, OB=2,OA=4. Найти: угол BOC.

4.      Рис. 650. Дано: AB – касательная, R=6, AO=OB.

5.      Рис.651. Дано: M, N, K – точки касания. Найти: Периметр треугольника ABC.

        Ребята сверяют решение с решением в презентации и оценивают себя.

Касательная к окружности применяется в разных областях, например, в технике, медицине. (слайд 17-18)
8. Итоги урока.                                                                                                   5 минут

Рефлексия.

Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).
           На уроке я работал активно / пассивно 

• 
  Своей работой на уроке я доволен / не доволен 
• 
  Урок для меня показался коротким / длинным 
• 
  За урок я не устал / устал 
• 
  Мое настроение стало лучше / стало хуже 
• 
  Материал урока мне был полезен / бесполезен 
• 
  интересен / скучен 
• 
  Домашнее задание мне кажется легким / трудным 

Домашнее задание: Вопросы 3-7, с. 184; №634,638,640; самостоятельно доказать признак касательной.