Конспект урока 9 класс на тему "Последовательности"

Конспект урока в 9 классе по алгебре

Последовательности

 Цели урока:

образовательные: рассмотреть основные понятия, связанные с последовательностями;

развивающие: способствовать развитию логического мышления, математической речи учащихся, внимания, памяти;

воспитательные: воспитание интереса к математике как учебному предмету через современные технологии преподавания; способствовать развитию навыков самоконтроля;

Оборудование: учебник, конспект.

Тип урока: Урок изучение нового материала.

Ход урока

I.                   Организационный момент

Приветствие. Проверка готовности учеников к уроку. Сообщение темы и цели урока. 

II.                Изучение нового материала

Множество чисел, для каждого из которых известен его порядковый номер, называют последовательностью.

Пример 1

а) В последовательности положительных нечетных чисел: 1, 3, 5, 7, ... известно, что первое число равно 1, второе число равно 3, третье число равно 5 и т. д.

б) В последовательности правильных дробей с числителем 1: 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ... известно, что первое число равно 1/2, второе число равно 1/3, третье число равно 1/4 и т. д.

Числа, образующие последовательность, называют членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена: а₁, а₂, а₃, ..., а_n, ... . Соответственно, член последовательности с номером n (или n-й член последовательности) обозначают а_n, а саму последовательность - (а_n).

Пример 2

Рассмотрим последовательность натуральных трехзначных чисел: 100; 101; 102;...; 999. В ней: а₁ = 100, а₂ = 101, а₃ = 102,..., а₉₀₀ = 999. Член этой последовательности с номером n (n-й член последовательности) можно вычислить по формуле а_n = 99 + n, где n = 1, 2, 3, ..., 900.

Последовательность может содержать бесконечно много членов (пример 1). Такую последовательность называют бесконечной. Последовательность может содержать и конечное число членов (пример 2). Такую последовательность называют конечной.

Последовательность необходимо задать, т. е. указать способ, с помощью которого можно найти каждый ее член. Рассмотрим основные способы задания последовательностей. 

1. Аналитический способ (формула n-го члена)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти по номеру и ее член а_n.

Пример 3

а) Пусть последовательность задана формулой а_n = 3n - 2. Подставляя вместо n натуральные числа, находим члены последовательности: a₁ = 3 · 1 - 2 = 1, а₂ = 3 · 2 - 2 = 4, а₃ = 3 · 3 - 2 = 7 и т. д.

Имеем последовательность: 1, 4, 7, ... .

б) Пусть последовательность задана формулой  Подставляя вместо и натуральные числа, находим члены последовательности:  и т. д. Имеем последовательность: 0, 1, 0, 1, ... .

2. Аналитический способ (рекуррентная формула)

Последовательность задается формулой, которая позволяет найти следующие члены последовательности, если известны один или несколько предыдущих членов.

Пример 4

а) Пусть последовательность задана формулой а_n+1 = 2а_n + 3, где a₁ = 5 иn ≥ 1. Запишем рекуррентную формулу для n = 1: а₁+1 = 2a₁ + 3, или а₂ = 2 · 5 + 3 = 13.

Пишем формулу для n = 2: a₂+1 = 2а₂ + 3, или а₃ = 2 · 13 + 3 = 29.

Запишем формулу для n = 3: а₃+1 = 2а₃ + 3, или а₄ = 2 · 29 + 3 = 61 и т. д.

Имеем последовательность: 5, 13, 29, 61, ... .

б) Пусть последовательность задана формулой а_n+2 = 2а_n+1 + 3аn, где a₁ = 1, а₂ = 2 и n ≥ 1. Запишем рекуррентную формулу для n = 1: а₁+2 = 2a₁+1+3а₁, или а₃ = 2а₂ + 3а₁, или а₃ = 2  · 2 + 3 · 1 = 7.

Пишем формулу для n = 2: а₂+2 = 2a₂+1 + 3а₂, или а₄ = 2а₃ + 3а₂ = 2 · 7 + 3 · 2 = 20.

Запишем формулу для n = 3: а₃+2 = 2а₃ + 1 + 3а₃, или а₅ = 2а₄ + 3а₃, или a₅=2 · 20 + 3 · 7 = 61 и т. д.

Имеем последовательность: 1, 2, 7, 20, 61, ... .      

3. Описательный способ

Описывается способ получения членов последовательности.

Пример 5

а) Рассмотрим последовательность натуральных четных чисел. Из описания последовательности легко выписать ее члены: 2, 4, 6, 8, ... .

б) Рассмотрим последовательность приближений по недостатку с точностью до и цифр иррационального числа л. Из описания последовательности выписываем ее члены: 3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415; ... .

Теперь рассмотрим два основных свойства последовательностей.

1. Ограниченность последовательности

Последовательность (а_n) называют ограниченной, если существуют два таких числа а и А, что для любого натурального номера n выполнено неравенство: а ≤ аn ≤ А.

Пример 6

Докажем ограниченность последовательности 

Найдем первый член последовательности  и член последовательности с очень большим номером n, например: 

Возникает гипотеза, что последовательность ограничена и а = 0, и А = 1. Поэтому надо доказать, что при всех натуральных значениях n выполнено неравенство 

Очевидно, что левая часть неравенства  выполняется.

Рассмотрим правую часть неравенства  Так как выражение n + 2 положительно, то получаем неравенство n - 1 ≤ n + 2, или -1 ≤ 2, которое является верным.

2. Монотонность последовательности

Последовательность (а_n) называют возрастающей, если каждый ее член (начиная со второго) больше предыдущего, т. е. а_n+1 > аn для n ≥ 1.

Последовательность (а_n) называют убывающей, если каждый ее член (начиная со второго) меньше предыдущего, т. е. а_n+1  < аn  для n ≥ 1.

Пример 7

Определим монотонность последовательности 

Запишем (n + 1)-й член последовательности 

Найдем разность двух соседних членов: 

Так как n - натуральное число, то при всех n дробь  положительна. Поэтому a_n+1 – а_n > 0, или а_n+1 > а_n, при всех n. Тогда по определению данная последовательность (а_n) возрастающая.

Как видно из этого урока, понятия последовательности и функции, их способы задания и свойства очень похожи. Поэтому последовательность (а_n) можно рассматривать как функцию аn натурального аргумента n.

III.             Закрепление изученного материала

1. Определение последовательности.

2. Основные способы задания последовательности.

3. Ограниченность последовательности.

4. Монотонность последовательности.

IV.             Задание на уроке

1. Найдите четыре первых члена последовательности (а_n), если:

Ответы: 

2. Докажите ограниченность последовательности (а_n).

№ 560; 562; 564 (а, в); 565 (б, г, е); 57; 568 (а); 569 (а, г); 570 (б).

V.                Домашнее задание

№ 561; 563; 564 (б, г); 565 (а, в, д); 566; 568 (б); 569 (б, в); 570 (а).

VI.             Подведение итогов урока

Выставление оценок.

VII.          Рефлексия

Какая была сегодня тема урока?

Какую цель ставили?

Достигли цели?

Расскажите по схеме, чему научились на уроке:

я – знаю,

я – запомнил,

я – смог.