Тема: «Решение показательных
уравнений и систем уравнений».
Цель: 1. Систематизировать виды
показательных выражений,
рассмотреть способы
решений уравнений и систем уравнений.
Задачи:
1. Научить систематизировать
показательные уравнения и их системы.
2. Развить умение применять
алгоритмы решений показательных уравнений к различным видам уравнений и их
систем.
3. Воспитывать ответственное
отношение к изучаемой теме.
Ход урока:
I. Организационный момент.
Сообщение темы и цели урока.
II. Повторение и закрепление
пройденного материала.
1) ответы на вопросы по
домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).
2) Устный фронтальный опрос по
теме «Показательная функция».
В.1.
Какая функция называется показательной?
(ответ:
Функция вида у = ах, где а о,
а ≠ 1, х - переменная, называется показательной функцией).
В.2.
Почему основание а не должно быть равным 1 (а ≠ 1)?
(ответ:
т.к при а=1 степень ах при любом значении х равнялась бы 1 и тогда
она не зависела бы от х).
В.3.
Почему основание а должно быть обязательно положительным (а о)? (ответ: т.к. при а о степень ах для
многих значений х не была бы действительным числом. Например а = - 5, ,
то ах будет ,
что не является действительным числом).
В.4.
Какое число берётся из всех значений, если х равен дроби, ах означает
корень некоторой степени?
(ответ:
берётся только одно арифметическое значение, т.е. неотрицательное число).
В.5.
Повторить свойства:
ах
* ау= а х+у
ах
: ау = а х-у
(ах)у
= а х*у
m
=
III. Изучение нового материала
1. Определение: Показательным
уравнением называется уравнение котором неизвестное Х входит только в
показатель степени при некоторых постоянных основаниях.
а) 2х
=; б) х = ; в) 3х+1 + 3х
= 108
2. Способы решения
показательных уравнений
1. Способ приведения к общему
основанию
Алгоритм:
1) обе части уравнения
приводим к одинаковому основанию;
2) приравниваем показатели
степеней левой и правой частей уравнения, в результате чего получаем уравнение,
способ решения которого известен;
3) Решаем полученное
уравнение;
4) с помощью проверки
определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями данного
показательного уравнения.
ПРИМЕР: 27 х = ;
1. Обе части
уравнения приводим к основанию 3 (33)х =3- 4
2. Приравниваем показатели
3х = - 4
3. Решив полученное
уравнение имеем Х= -
4. Проверим:
=
=
Ответ: -
2. Способ введения новой переменной
Алгоритм:
1) Делаем замену переменной,
приводящую к алгебраическому уравнению;
2) Решаем полученное
алгебраическое уравнение;
3) Найденные значения корней
алгебраического уравнения подставив в равенство, определяющее замену;
4) Найдём корни полученного
уравнения;
5) С помощью проверки
определяем, какие из этих корней являются корнями данного показательного
уравнения.
ПРИМЕР:
3 2х+5 = 3 х+2 + 2
3 2х * 35 = 3х * 32 +2
(3х)2 * 243 = 3х *9+2
3х = у, тогда
243у2 – 9*у-2 = 0 решив это уравнение, имеем
у1=; у2 = -
не может быть 3х 0.
берём только у = 3х = 3х = 3-2
х = -2
ответ: _______
3. Графический способ.
Используется в тех случаях, когда в
показательном уравнении ах = в, число В нельзя представить в виде
степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости строят
графики функций у=ах и у=в. Абсциссы точек пересечения графиков
указанных функций будут решениями данного показательного уравнения.
4. Решение системы
показательных уравнений.
ПРИМЕР 1:
умножим обе части
второго уравнения на 2
+ почленно сложим
уравнения
5 * =
2х =
2х
= х=2 –подставим во второе
уравнение системы
;
-;
-;
3у =
1;
;
у =
0. Ответ: (-2; 0).
ПРИМЕР 2.
1-ый способ:
Первое уравнение почленно умножим
на второе
(2 * 3)х+у =
=
х + у = 3
у = 3 – х подставим в первое
уравнение:
* = 12
= 12
= 12
х = 12
()х =
()х = ()2
х = 2, у = 3 – 2 = 1. Ответ:
(2;1)
5. Решение показательных
уравнений, требующие применения различных алгебраических приёмов преобразования
уравнений.
- 3 * - 10 * = 4
- можно вынести за скобки
* - * * 3 – 10 * = 4
() = 4
* 100 = 4
х = - 2
= -
Сгруппируем члены уравнение,
содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2,
- в правой.
+ = +
+ = +
* (3+1) = * (1+)
* 9
* = * разделим обе части этого
уравнения на правую часть
= 1 по свойствам степени
= 1
= 1
= 1
( = ()0
х - = 0
х =
Уравнение, решаемые разложением на
множители
* * = 5400
* * = * *
Разделим обе части уравнения на его
правую часть, получим
= 1 по свойствам степеней
* * = 1
* * = 1
(2 * 9 * 5)х-2 = 1
= 900
х-2 = 0
х = 2
Уравнения, содержащие помимо
показательных другие функции.
2 *
Перенесём все члены уравнения в
левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки и имеем:
2 * = 0
(2 * + (1- ) = 0
2 * () = 0
() * (2 ) = 0
т.к. произведение равно 0, если
хотя бы один из множителей равен 0.
= 0 или
2 = 0
2
=
х =
0 х = (-1)n
arcsin + π n,
х = (-1)n π n, n € z
Есть показательные уравнения, в
которых для решения приходится вводить две новые переменные.
+ ² - 2 *
()2 + ()2 – 2 * * = 0
= а
получаем
а2 + b2 – 2 аb = 0
по формуле сокращенного умножения
(а - b)2
= 0 следовательно а = b
т.е. =
х + 6 = х2
х2 – х – 6 = 0
D=25, х1 = - 2, х2
= 3
Уравнения, решаемые с помощью их
специфики.
7х + 24х = 25х
Можно угадать, что корень уравнения
равен 2.
х = 2, действительно 72 +
242 = 252
Разделим все члены уравнения на его
правую часть, получим
()х + ()х = 2
Функции ()х и ()х убывающие,
т.к. основания меньше 1.
Сумма
этих функций является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное
уравнение имеет единственное решение. у
Уравнения, решаемые графически.
3
у2
построим график функции у1
= и у2 = у1
х
Видно, что графики этих функций пересекаются
2
в единственной точке А, абсцисса х
= 2 которой
является решением данного
уравнения.
Закрепление новой темы. Решить в
классе упр.596,598,600,602(нечетные)
Д/З упр.596,598,600(четные)
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.