Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока 11 класс «Решение показательных уравнений и систем уравнений».
Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Педагогическая деятельность в соответствии с новым ФГОС требует от учителя наличия системы специальных знаний в области анатомии, физиологии, специальной психологии, дефектологии и социальной работы.

Только сейчас Вы можете пройти дистанционное обучение прямо на сайте "Инфоурок" со скидкой 40% по курсу повышения квалификации "Организация работы с обучающимися с ограниченными возможностями здоровья (ОВЗ) в соответствии с ФГОС" (72 часа). По окончании курса Вы получите печатное удостоверение о повышении квалификации установленного образца (доставка удостоверения бесплатна).

Автор курса: Логинова Наталья Геннадьевна, кандидат педагогических наук, учитель высшей категории. Начало обучения новой группы: 27 сентября.

Подать заявку на этот курс    Смотреть список всех 224 курсов со скидкой 40%

Конспект урока 11 класс «Решение показательных уравнений и систем уравнений».

библиотека
материалов

hello_html_2879cf25.gifhello_html_4be329b9.gifhello_html_8d38425.gifhello_html_m68a40485.gifТема: «Решение показательных уравнений и систем уравнений».

Цель: 1. Систематизировать виды показательных выражений,

рассмотреть способы решений уравнений и систем уравнений.


Задачи:

  1. Научить систематизировать показательные уравнения и их системы.

  2. Развить умение применять алгоритмы решений показательных уравнений к различным видам уравнений и их систем.

  3. Воспитывать ответственное отношение к изучаемой теме.


Ход урока:

  1. Организационный момент. Сообщение темы и цели урока.

  2. Повторение и закрепление пройденного материала.

  1. ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешённых заданий).

  2. Устный фронтальный опрос по теме «Показательная функция».


В.1. Какая функция называется показательной?

(ответ: Функция вида у = ах, где а hello_html_m7c48e444.gif о, а ≠ 1, х - переменная, называется показательной функцией).


В.2. Почему основание а не должно быть равным 1 (а ≠ 1)?

(ответ: т.к при а=1 степень ах при любом значении х равнялась бы 1 и тогда она не зависела бы от х).


В.3. Почему основание а должно быть обязательно положительным (а hello_html_m7c48e444.gifо)? (ответ: т.к. при а hello_html_m7c48e444.gif о степень ах для многих значений х не была бы действительным числом. Например а = - 5, hello_html_m6568893b.gif, то ах будет hello_html_458eb53a.gif, что не является действительным числом).


В.4. Какое число берётся из всех значений, если х равен дроби, ах означает корень некоторой степени?

(ответ: берётся только одно арифметическое значение, т.е. неотрицательное число).


В.5. Повторить свойства:

ах * ау= а х+у

ах : ау = а х-у

х)у = а х*у

hello_html_mbe6475a.gifm = hello_html_7ac92eb4.gif




  1. Изучение нового материала

  1. Определение: Показательным уравнением называется уравнение котором неизвестное Х входит только в показатель степени при некоторых постоянных основаниях.

а) 2х =hello_html_m12cf78a7.gif; б) hello_html_43879695.gifх = hello_html_m146fd086.gif; в) 3х+1 + 3х = 108

  1. Способы решения показательных уравнений

  1. Способ приведения к общему основанию

Алгоритм:

1) обе части уравнения приводим к одинаковому основанию;

2) приравниваем показатели степеней левой и правой частей уравнения, в результате чего получаем уравнение, способ решения которого известен;

3) Решаем полученное уравнение;

4) с помощью проверки определяем, какие из полученных значений переменной являются корнями данного показательного уравнения.


ПРИМЕР: 27 х = hello_html_75978d8a.gif;


1. Обе части уравнения приводим к основанию 3 (33)х =3- 4

2. Приравниваем показатели 3х = - 4

3. Решив полученное уравнение имеем Х= -hello_html_m4d2614a7.gif

4. Проверим: hello_html_11852162.gif hello_html_m2acdd73a.gif


hello_html_3e1aba1d.gif= hello_html_75978d8a.gif

hello_html_m3992273d.gif= hello_html_75978d8a.gif

hello_html_2fa988c7.gifОтвет: - hello_html_m4d2614a7.gif


  1. Способ введения новой переменной

Алгоритм:

  1. Делаем замену переменной, приводящую к алгебраическому уравнению;

  2. Решаем полученное алгебраическое уравнение;

  3. Найденные значения корней алгебраического уравнения подставив в равенство, определяющее замену;

  4. Найдём корни полученного уравнения;

  5. С помощью проверки определяем, какие из этих корней являются корнями данного показательного уравнения.

ПРИМЕР: 3 2х+5 = 3 х+2 + 2

3 * 35 = 3х * 32 +2

(3х)2 * 243 = 3х *9+2

3х = у, тогда

243у2 – 9*у-2 = 0 решив это уравнение, имеем

у1=hello_html_m218a2db.gif; у2 = - hello_html_51ef5580.gif

не может быть 3х hello_html_m7c48e444.gif0.

берём только у = hello_html_m218a2db.gif 3х =hello_html_m218a2db.gif 3х = 3-2 х = -2

ответ: _______


  1. Графический способ.

Используется в тех случаях, когда в показательном уравнении ах = в, число В нельзя представить в виде степени числа а. Для решения уравнения на одной координатной плоскости строят графики функций у=ах и у=в. Абсциссы точек пересечения графиков указанных функций будут решениями данного показательного уравнения.


  1. Решение системы показательных уравнений.

ПРИМЕР 1:

hello_html_7835fdac.gifумножим обе части второго уравнения на 2

+ hello_html_m7f8a59c4.gif почленно сложим уравнения

5 * hello_html_m1fc58d7e.gif = hello_html_33fa7738.gif

2х = hello_html_m7349bf5d.gif

2х = hello_html_321753ee.gif х=2 –подставим во второе уравнение системы

hello_html_m151d467e.gif;

-hello_html_372463f2.gif;

-hello_html_m551dead5.gif;

3у = 1;

hello_html_m2eadc8a9.gif;

у = 0. Ответ: (-2; 0).

ПРИМЕР 2.

hello_html_m737ab8ff.gif

1-ый способ:

Первое уравнение почленно умножим на второе

hello_html_m793cf8e8.gif

hello_html_6cdcfc58.gif

(2 * 3)х+у = hello_html_m48c549cb.gif

hello_html_3b05ff5.gif= hello_html_m48c549cb.gif

х + у = 3

у = 3 – х подставим в первое уравнение:

hello_html_m1fc58d7e.gif* hello_html_m1e939158.gif = 12

hello_html_461e5f3c.gif= 12

hello_html_4ca40c03.gif= 12

hello_html_md32fb3c.gifх = 12

(hello_html_6a1c94eb.gif)х = hello_html_4f04e443.gif

(hello_html_6a1c94eb.gif)х = (hello_html_6a1c94eb.gif)2

х = 2, у = 3 – 2 = 1. Ответ: (2;1)

  1. Решение показательных уравнений, требующие применения различных алгебраических приёмов преобразования уравнений.

hello_html_m21a5dc99.gif- 3 * hello_html_19a88c70.gif - 10 * hello_html_30b2a297.gif = 4

hello_html_30b2a297.gif- можно вынести за скобки

hello_html_30b2a297.gif* hello_html_5c579cbf.gif - hello_html_30b2a297.gif * hello_html_75d21fbc.gif * 3 – 10 * hello_html_30b2a297.gif = 4

hello_html_30b2a297.gif(hello_html_1f324774.gif) = 4

hello_html_30b2a297.gif* 100 = 4

hello_html_16563da4.gif

hello_html_m541bb88b.gif

hello_html_mb4cf2d9.gif

х = - 2


hello_html_m5134d570.gif= hello_html_614783bd.gif - hello_html_m504caffe.gif

Сгруппируем члены уравнение, содержащие степени числа 3, в левой части, а члены, содержащие степени числа 2, - в правой.

hello_html_m4dae7a2a.gif+ hello_html_m504caffe.gif = hello_html_614783bd.gif + hello_html_30d53a3b.gif

hello_html_3cd64568.gif+ hello_html_m504caffe.gif = hello_html_614783bd.gif + hello_html_30d53a3b.gif

hello_html_m504caffe.gif* (3+1) = hello_html_614783bd.gif * (1+hello_html_m509ca953.gif)

hello_html_m31a857e5.gif* 9

hello_html_m504caffe.gif* hello_html_m48b14914.gif = hello_html_614783bd.gif * hello_html_3c336f41.gif разделим обе части этого уравнения на правую часть


hello_html_m227b4091.gif= 1 по свойствам степени


hello_html_m5a7d92ba.gif= 1


hello_html_58803f8b.gif= 1


hello_html_2a9295f5.gif= 1


(hello_html_29b40dfc.gif = (hello_html_78170999.gif)0


х - hello_html_m4aae006e.gif = 0


х = hello_html_m4aae006e.gif


Уравнение, решаемые разложением на множители

hello_html_m733a30c.gif* hello_html_m504caffe.gif * hello_html_30b2a297.gif = 5400

hello_html_m733a30c.gif* hello_html_m504caffe.gif * hello_html_30b2a297.gif = hello_html_m509ca953.gif * hello_html_241e8f00.gif * hello_html_447a7cfe.gif

Разделим обе части уравнения на его правую часть, получим

hello_html_m3ddae0d2.gif= 1 по свойствам степеней


hello_html_1bc22293.gif* hello_html_m5261e7e3.gif * hello_html_m5590de9.gif = 1

hello_html_1bc22293.gif* hello_html_m187eb78a.gif * hello_html_m5590de9.gif = 1


(2 * 9 * 5)х-2 = 1

hello_html_m275ed772.gif= 900

х-2 = 0

х = 2


Уравнения, содержащие помимо показательных другие функции.

2 * hello_html_30b2a297.gif hello_html_3ea2beb.gif

Перенесём все члены уравнения в левую часть, сгруппируем их и вынесем общие множители за скобки и имеем:

2 * hello_html_57ce897e.gif hello_html_m76c71134.gif = 0

(2 * hello_html_30b2a297.gif hello_html_m21e78f46.gif + (1- hello_html_30b2a297.gif) = 0

2 * hello_html_6de2c3d9.gif (hello_html_699f47ec.gif) = 0

(hello_html_m1e525228.gif) * (2 hello_html_mc214856.gif) = 0

т.к. произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0.

hello_html_699f47ec.gif= 0 или 2 hello_html_mc214856.gif = 0

hello_html_m2ad06911.gif2 hello_html_4f6e66a9.gif

hello_html_30b2a297.gif=hello_html_7421bc7c.gif hello_html_m1a295f82.gif

х = 0 х = (-1)n arcsinhello_html_6eec8aff.gif + π n,

х = (-1)n hello_html_7ad0fc74.gifπ n, nz

Есть показательные уравнения, в которых для решения приходится вводить две новые переменные.

hello_html_5bec56ae.gif+ hello_html_m5cd330e7.gif² - 2 * hello_html_m1477a09.gif

(hello_html_538e710c.gif)2 + (hello_html_m78dd1f5f.gif)2 – 2 * hello_html_m78dd1f5f.gif * hello_html_538e710c.gif = 0

hello_html_538e710c.gif= а

hello_html_2d7fe20c.gifполучаем

а2 + b2 – 2 аb = 0

по формуле сокращенного умножения

(а - b)2 = 0 следовательно а = b

т.е. hello_html_538e710c.gif = hello_html_m78dd1f5f.gif

х + 6 = х2

х2 – х – 6 = 0

D=25, х1 = - 2, х2 = 3

Уравнения, решаемые с помощью их специфики.

7х + 24х = 25х

Можно угадать, что корень уравнения равен 2.

х = 2, действительно 72 + 242 = 252

Разделим все члены уравнения на его правую часть, получим

(hello_html_74468b1d.gif)х + (hello_html_m169b7777.gif)х = 2

Функции (hello_html_74468b1d.gif)х и (hello_html_m169b7777.gif)х убывающие, т.к. основания меньше 1.

Сумма этих функций является функцией убывающей. Поэтому по теореме о корне данное уравнение имеет единственное решение. у


Уравнения, решаемые графически.

hello_html_6c0e3b59.gif3 у2

построим график функции у1 = hello_html_405503be.gif и у2 = hello_html_58d933f1.gif у1 х

Видно, что графики этих функций пересекаются 2

в единственной точке А, абсцисса х = 2 которой

является решением данного уравнения.



Закрепление новой темы. Решить в классе упр.596,598,600,602(нечетные)

Д/З упр.596,598,600(четные)


Общая информация

Номер материала: ДВ-565223

Похожие материалы