Конспект урока математики "Применение первой и второй производной для исследования функций и построения графиков"в 11 классе

Цели: 1) обобщить и систематизировать знания учащихся по применению первой и второй производных для исследования функций;

2)  закрепить умение строить графики функций с применением их предварительного
исследования;

3)  проверить знания и умения учащихся по изученной теме.

План.

1.  Вступительное слово. - 4 мин.

2.              Признак возрастания и убывания функции. - 17 мин.

3.              Критические точки функции, максимумы и минимумы. - 9 мин.

4.              О необходимости применения второй производной. - 2 мин.

5.              Исследование функций на выпуклость (вогнутость). - 8 мин.

6.              Точки перегиба. - 12 мин.

7.              Самостоятельная работа. - 25 мин.

8.              Итоги урока.

За неделю до урока весь класс разбит на 5 групп, каждая из которых получила свое задание по подготовке к семинару-практикуму.

1.  Признак возрастания (убывания) функции.

2.              Критические точки функции, максимумы и минимумы.

3.              Исследование графиков на выпуклость.

4.              Точки перегиба.

5.              Сведения из истории.

Ход урока.

I. Вступительное слово учителя.

( В это время у доски готовится ученик из первой группы по первому вопросу)

До изучения темы «Исследование функций и построение их графиков» мы строили графики функций примерно следующим образом:

1)            Строим оси координат, выбираем масштаб.

2)     Составляем таблицу, выбирая точки xi, хг, хз и х_т из области определения и
вычисляем значения функции в этих точках.

3)     На плоскости отмечаем точки, соответствующие парам чисел и соединяем их
плавной кривой (прямой) линией.

Этот способ обычно называют способом построения по «точкам». Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно быстро приводит к цели.

В случаях, когда функция непрерывна и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необходимую степень точности.

Но если функция в отдельных местах имеет особенности в своем «поведении»: либо ее значения где-то на малом участке резко меняются, либо имеют место разрывы, то этим способом построить график очень сложно (нужно брать большое количество точек).

Существует второй способ построения графиков, основанный на аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от рассмотренного ранее способа. Важной особенностью второго способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, зато те места, где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию. Этими особенностями и являются точки максимума, минимума, точки разрыва функций и др.

Исследовать эти особенности нам позволяет применение первой и второй производных.

1

- Что мы с вами изучили, знаем и умеем по теме «Исследование функций» ?

(Схему исследования, алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания функций, Нахождения критических точек и точек максимума и минимума функции, алгоритм исследования функции на выпуклость, алгоритм нахождения точек перегиба. Умеем строить графики более сложных функций с применением исследования.)^

- Вот эти все знания и умения нам предстоит сегодня повторить и закрепить.

Одна из основных задач исследования функции - это нахождение промежутков ее возрастания и убывания.

- Как провести такое исследование с помощью производной?

II Признаки возрастания и убывания функций. а) Отвечает ученик, который готовился у доски.

Достаточный признак возрастания функции.

Если/ (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция/ возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции.

Если/ (х)< 0 в каждой точке интервала I, то функция/убывает на I.

Док-во: Используется формула Лагранжа.

Если функция дифференцируема, то на интервале (а;Ъ) найдется такая точка

Ъ-а

Возьмем два любых числа Xi и хг из интервала I. Пусть Xj < Х2, тогда по формуле Лагранжа существует число с е (xj; х%) такое, что

2

f_(c) Z fM-fM о

X₂ —X,

Число с принадлежит интервалу I, так как х; и х^ принадлежат I. Если/ (х) > 0 для х е /, то

/ (С,)>0  И ПОЭТОМУ/(X^) <f(Xz) , (ЭТО Следует ИЗ формулы (*)), Т.К. X^ - X; > О (Х2 > Xi ПО

условию). Этим доказано возрастание функции.

Функция /возрастает на множестве P, если для любых Xi и Jt₂ из множества P, таких что Х2> Xi выполнено неравенство f(x₂) > f(xi)l

Если/ (х) < 0 для хе I, то/ (с) < 0 и поэтому/(X^ > /(X^ при условии X/ < X^.

Итак, для нахождения промежутков монотонности:

1)           Находим/ (х).

2)          Составляем и решаем неравенства/ (х) > 0 и/ (х) < 0.

3)          Делаем вывод, используя достаточный признаки возрастания и убывания.

При исследовании функции удобно:

1)            Найти/'(х).

2)           Найти точки, где/ (х) = 0.

3)           Отметить найденные точки на числовой прямой и просчитать знаки производной.

Пример:   f(x) = х³ - Зх².

1)        f'(x)=3x²-6x.

2)        f'(х)=0;    3X²^e_x = O

Зх(х-6) = 0 х = 0 или х~ б =0 х = 6

3)

⁺       .--------- .      ⁺    *?<*>

0                      6

/ (х) > 0 на интервалах  (- оо,- 0) и (6; + go). Значит, f(x) возрастает на промежутках (- оо; 0 ] и [ 6; + оо).

/ (х) < 0 на интервале (0; б).

f(x) убывает на промежутке [ 0;6 ].

б) Устные упражнения: (на готовых чертежах)

з

1) По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках

в)

производная положительна, на каких отрицательна (каждая из функций определена наЮ.

ОТВЕТЫ: &)f'(х) > 0 на (-1; 2), f'(x) < 0 на (- оо ; -1) и (2 ; оо); 6)g'(x)>0 HaR; в) h (х) > 0 на (- оо ; -2) и (1; оо).

2) На каких промежутках функции f(x) и g(x) возрастают, а на каких убывают?

ОТВЕТЫ:    а) функция / возрастает на [ 2; оо), убывает на (- оо; 2 ];

б) функция g убывает на(-оо;-4),[-1;1]и[5;оо); возрастает на [-4;-1]и[1;5].

4

3) При каких значениях а  функция возрастает на всей числовой прямой?

а) у = х ~ ах                     б) у = ax-sinx

в) Исследовать функцию на монотонность (письменно по вариантам, 2 уч-ка на закрытых досках).

I вариант                                                II вариант

х³

f(x) = ------ -                                          g(x) = -4х + sin3x

l + x²

Решение:     I вариант.

D(Ux)) -R                f'(X) - 3*²(*²+3)-*³-2* _ Ъх*₊9х*-2х*  _

D(f(x))~R,             f(xj-            ₍^_2+з)2                       -       ₍^_2+з)2        -

х⁴ + 9х²

—-------- > 0, значит f(x) возрастает на R.

II вариант.

D(g(x))=R,       g'(x)=-4 + cos3x
Т.к        -1 <cos3x>l,
то               - 3 < 3 cos Зх>3,       \3 cos 3 х \ < 3,   значит,

g (х) — - 4 + 3 cos 3 х < 0  при всех значениях х, поэтому g(x) убывает на всей области определения.

III Критические точки функции, максимумы и минимумы.

(Отвечает ученик из второй группы)

Опр. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Только критические точки могут быть точками экстремума

5

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)

Если точка Xo является точкой экстремума функции /ив этой точке существует производная f , то она равна 0: f (х₀) = 0.

Рассмотрим случай / (х) > Q:

По определению производной отношение / (xq) =---------------- — при х—* хо стремится к

X-X₀

положительному числу / (хо) , а следовательно, и само будет положительно при всех х

/Y_x) _ f(_x  Л

достаточно близких к хо.. Для таких х   --------------- — > 0   ,а значит, / (х) >f(xo) для

х -х₀

всех Jc > хо из некоторой окрестности точки х₀ . Поэтому точка х₀ не является точкой максимума.

Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума.

Из того, производная в точке  Xo обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример: f(x) = х³,   f'(x) = Зх² в точке х = 0    f'(x) = 0 (т.е. Зх² = 0 при х = 0), но точка х = 0 не является точкой экстремума.

II случай: / (х) не существует.

Точках = 0 для функции у = ых не является критической: в ней

производная не существует     у = —=■ , но она на является внутренней точкой области

2л]х

определения функции  (D(y) = [ 0; оо)).

В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.

Пример: f(x) =\x\.                                     Эта функция не имеет производной в точке 0.

у = х, при х >0; - х при х <0.

у = 1   и у  = -1

6

Из т. Ферма следует, что при нахождении точек экстремумом функции требуется в первую очередь найти ее критические точки.

Для определения: является ли критическая точка точкой экстремума помогают достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции: Если в точке  хо   производная меняет

знак с плюса на минус, то хо есть точка максимума.

Признак минимума функции:   Если в точке Xo производная меняет

знак с минуса на плюс, то х₀ есть точка минимума.

ПРИМЕР. 1 ученик выполняет задание у доски, остальные в рабочих тетрадях. (В это время ученик из 2 группы готовит свой ответ у доски.)

Найти точки экстремума функции f(x) = 3х-х³.    D(f(x)) = R, f'(x)=3-3x²,   D(f'(x))=R, f'(x) =0      3~3x²=0,   3(1 ~x²) =0,1 ~x²=0, x² = 7, x = l,x = -l.

Xmin      " 1             -^-max        *

- Иногда для построения графика функции недостаточно сведений, полученных путем
исследования с помощью первой производной.

х^ъ ПРИМЕР: f(x) = ~—,

D(f(x)) = R,

1.    Ось Ox, ось Oy - (0;0)

_х^л +9х²

2.   f (х) = —г---- —-   > 0, значит, f(x) возрастает на всей области определения.

(х²+3)²    ~

Критическая точка х = 0 не является точкой экстремума.

-  Имея эту информацию, график данной функции построить достаточно сложно. Как быть
дальше?

-  Нужно продолжить исследование с помощью второй производной.

-  Давайте вспомним, как это сделать.

Слушаем сообщение ученика из 3 группы.

7

IV.   Исследование графиков на выпуклость.

1) Понятия «выпуклость вверх» и «выпуклость вниз» (вогнутость вниз)

Если график функции расположен выше любой проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку, то говорят, что график функции обращен на отрезке [ а;Ь] выпуклостью вниз (рис. 1)

Если график функции расположен ниже любой касательной, то говорят, что он обращен выпуклостью вверх. ( рис. 2).

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции у =f(x), характеризуется знаком ее второй производной:

Если в некотором промежутке / (х) > 0, то кривая выпукла вниз на

этом промежутке; если же / (х) < 0, то кривая выпукла вверх на этом

промежутке.

ПРИМЕР: Найти промежутки выпуклости кривых.

( Учащиеся работают самостоятельно, двое на закрытой доске)

(В это же время готовит ответ у доски учащийся из 4 группы)

a)f(x) = х³                                              б) f(x) = х⁴-2х³ + бх-4

f'(x) = 4х³ -бх² + б

W=³*²

f (x) = бх                                       f (х) =12х² - 12х    ;    12х² - 12х - 0;

бх = 0 при х = О

12x(x-J)=0;

х = 0 или х = 1

(- оо; 0 ] график обращен выпуклостью вверх, [ 0 ; оо) - выпуклость вниз.

(-оо;0]и[-1;оо)- выпуклость вниз, [ О ; 1 ] - выпуклость вверх.

8

V.     Точки перегиба.

Опр. Точка графика функции у =f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

M - точка перегиба.

Внимание:

Следствие     Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке   M (с ;f(c)), необходимо, чтобы либо вторая производная обращалась в нуль в точке с, либо, чтобы точка с была для / (х) точкой разрыва, либо, чтобы вторая производная не существовала в точке с.

Достаточно: рассматривать значения с, при которых / (х) = 0 или не существует. Правило нахождения точек перегиба графика функции у =f(x) :

1) Найти вторую производную -f(x)

T) Найти точки функции у =f(x) , в которых / (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

3) Исследовать знаки второй производной / (х)

Если при переходе через точку с вторая производная функции f(x) меняет знак, то M (с; f(c)) является точкой перегиба для функции/f3cj.

ПРИМЕР: f(x) = бх² - х³ ;     f'(x) = 12х - Зх²; f"(x) =12- бх; f"(x) - О

12 -бх = 0; бх = 12; х = 2

f (х) при переходе через точку х = 2 меняет знак, значит, точка (2; 16) - точка перегиба.

9

ПРИМЕР: f(x) = х + Vx⁷-2 = х + х  -2;   f'(x) = 1 + -х ;     f"(x) =— х     =-~-B точке х = 0 производная не существует. Исследуем знаки / (х) :

Значит, в точке (0 ; - 2 ) - перегиб.

- Вернемся к функции f(x) = —----- , мы выяснили, что она возрастает на всей области

х +3

определения. Проведем дальнейшее ее исследование:

1 ученик у доски:   Найдем вторую производную и построим график.

iw7w.fi+?*!   >Л        f"M     (4*³ + 6*)(1 + 2х² + jc⁴) - (X⁴ + Зх² X4jc + 4х³)

^l)f(x)~^^W -⁰'    ^f(x)=                                     (Г7?7                     ⁼

4х³ + Sx⁵ + 4jc⁷ + 6х + 12х³ + 6;с⁵ - 4х⁵ - 4х⁷ - Ux³ - Ux⁵    ₌  -2jc⁵ + 4jc³ + 6jc ₌

(l + x²)²                                                                                  (l + x²)⁴

_ - 2x(x⁴ -2x² -3) _ - 2x(x² -3)(д:² +1) _ 2x(3-jc²)
(l + x²)⁴                                  (l + x²)⁴                         (l + x²)³   '

/Vx) - 0;      2xf3-x²; =0;  x = 0 шых = ± л/з

2 урок.                                                                                                                   s,

VI .Исследовать функцию   f(x) =у = х³ -бх² + Pjc - 3 и построить ее график.

Решение:   1) D (у) = R.

2)         :f(x) - ни четная, ни нечетная, не периодическая.

3)         Точки пересечения с осями координат:

Ось Ox: (точки пересечения графика функции с осью Ox можно найти, решив уравнение х³ - бх² + 9х- 3 = 0.Ho это довольно сложно, т.к. абсциссы точек пересечения - дробные числа.

Ось Oy: х = 0   у = - 3;    (0; - 3)

4) f (х) = Зх² - 12х + 9;            Критические точки:

a)   Df'(x) =/?    б) f'(x) = 0;     3(х² -4х + 3) = 0;  х =/; х - 3.

f (х) < 0 на интервале (I; 3), следовательно , f(x) убывает на [ 1 ; 3 ]; f (х) > 0 на интервалах (- оо ,-1) и (3 ; оо);    : f(x) возрастает на (- со ; 1 ] и [ 3; сю);

5)f"(x) = бх - 12;    f"(x) = 0;    бх-12 = 0; х = 2

б) Дополнительные точки: ■ f(V=-l

VII. Самостоятельная работа.

1 вариант.                                                 2 вариант.

а) f(x) = 2х³ - Зх²                                                                  a) f(x) = бх - 2 х³

б) f(x)     -х⁴ - х³                                                              б) f(x) = 2 х³    бх + 4

4

S) M - J^                                  в) M - ^
а) задания на «3» ; б) задания на «4» ;   в) задания на «5».