1052940
столько раз учителя, ученики и родители
посетили сайт «Инфоурок»
за прошедшие 24 часа
+Добавить материал
и получить бесплатное
свидетельство о публикации
в СМИ №ФС77-60625 от 20.01.2015
Дистанционные курсы профессиональной переподготовки и повышения квалификации для педагогов

Дистанционные курсы для педагогов - курсы профессиональной переподготовки от 1.410 руб.;
- курсы повышения квалификации от 430 руб.
Московские документы для аттестации

ВЫБРАТЬ КУРС СО СКИДКОЙ ДО 90%

ВНИМАНИЕ: Скидка действует ТОЛЬКО до конца апреля!

(Лицензия на осуществление образовательной деятельности №038767 выдана ООО "Столичный учебный центр", г.Москва)

ИнфоурокМатематикаКонспектыКонспект урока математики "Применение первой и второй производной для исследования функций и построения графиков"в 11 классе

Конспект урока математики "Применение первой и второй производной для исследования функций и построения графиков"в 11 классе

Напоминаем, что в соответствии с профстандартом педагога (утверждён Приказом Минтруда России), если у Вас нет соответствующего преподаваемому предмету образования, то Вам необходимо пройти профессиональную переподготовку по профилю педагогической деятельности. Сделать это Вы можете дистанционно на сайте проекта "Инфоурок" и получить диплом с присвоением квалификации уже через 2 месяца!

Только сейчас действует СКИДКА 50% для всех педагогов на все 111 курсов профессиональной переподготовки! Доступна рассрочка с первым взносом всего 10%, при этом цена курса не увеличивается из-за использования рассрочки!

ВЫБРАТЬ КУРС И ПОДАТЬ ЗАЯВКУ
библиотека
материалов
Скачать материал целиком можно бесплатно по ссылке внизу страницы.

Цели: 1) обобщить и систематизировать знания учащихся по применению первой и второй производных для исследования функций;

  1. закрепить умение строить графики функций с применением их предварительного
    исследования;

  2. проверить знания и умения учащихся по изученной теме.

План.

  1. Вступительное слово. - 4 мин.

  2. Признак возрастания и убывания функции. - 17 мин.

  3. Критические точки функции, максимумы и минимумы. - 9 мин.

  4. О необходимости применения второй производной. - 2 мин.

  5. Исследование функций на выпуклость (вогнутость). - 8 мин.

  6. Точки перегиба. - 12 мин.

  7. Самостоятельная работа. - 25 мин.

  8. Итоги урока.

За неделю до урока весь класс разбит на 5 групп, каждая из которых получила свое задание по подготовке к семинару-практикуму.

  1. Признак возрастания (убывания) функции.

  2. Критические точки функции, максимумы и минимумы.

  3. Исследование графиков на выпуклость.

  4. Точки перегиба.

  5. Сведения из истории.

Ход урока.

I. Вступительное слово учителя.

( В это время у доски готовится ученик из первой группы по первому вопросу)

До изучения темы «Исследование функций и построение их графиков» мы строили графики функций примерно следующим образом:

  1. Строим оси координат, выбираем масштаб.

  2. Составляем таблицу, выбирая точки xi, хг, хз и хт из области определения и
    вычисляем значения функции в этих точках.

  3. На плоскости отмечаем точки, соответствующие парам чисел и соединяем их
    плавной кривой (прямой) линией.

Этот способ обычно называют способом построения по «точкам». Следует отметить, что он прост по идее и сравнительно быстро приводит к цели.

В случаях, когда функция непрерывна и изменяется довольно плавно, такой способ может обеспечить и необходимую степень точности.

Но если функция в отдельных местах имеет особенности в своем «поведении»: либо ее значения где-то на малом участке резко меняются, либо имеют место разрывы, то этим способом построить график очень сложно (нужно брать большое количество точек).

Существует второй способ построения графиков, основанный на аналитическом исследовании функций. Он выгодно отличается от рассмотренного ранее способа. Важной особенностью второго способа является то, что в его основе лежит прежде всего обнаружение и изучение характерных особенностей в поведении кривой. Места, где функция изменяется плавно, не изучаются особенно подробно, зато те места, где функция имеет какие-либо особенности в поведении, подлежат полному исследованию. Этими особенностями и являются точки максимума, минимума, точки разрыва функций и др.

Исследовать эти особенности нам позволяет применение первой и второй производных.

1

- Что мы с вами изучили, знаем и умеем по теме «Исследование функций» ?

(Схему исследования, алгоритмы нахождения промежутков возрастания и убывания функций, Нахождения критических точек и точек максимума и минимума функции, алгоритм исследования функции на выпуклость, алгоритм нахождения точек перегиба. Умеем строить графики более сложных функций с применением исследования.)^

- Вот эти все знания и умения нам предстоит сегодня повторить и закрепить.

Одна из основных задач исследования функции - это нахождение промежутков ее возрастания и убывания.

- Как провести такое исследование с помощью производной?

II Признаки возрастания и убывания функций. а) Отвечает ученик, который готовился у доски.

Достаточный признак возрастания функции.

Если/ (х) > 0 в каждой точке интервала I, то функция/ возрастает на I.

Достаточный признак убывания функции.

Если/ (х)< 0 в каждой точке интервала I, то функция/убывает на I.

Док-во: Используется формула Лагранжа.

Если функция дифференцируема, то на интервале (а;Ъ) найдется такая точка

Ъhello_html_m65b20f41.gif

hello_html_712f3be9.jpg

Возьмем два любых числа Xi и хг из интервала I. Пусть Xj < Х2, тогда по формуле Лагранжа существует число с е (xj; х%) такое, что

2

hello_html_m341cd84d.jpg

f(c) Z fM-fM о

X2X,

Число с принадлежит интервалу I, так как х; и х^ принадлежат I. Если/ (х) > 0 для х е /, то

/ (С,)>0 И ПОЭТОМУ/(X^) <f(Xz) , (ЭТО Следует ИЗ формулы (*)), Т.К. X^ - X; > О (Х2 > Xi ПО

условию). Этим доказано возрастание функции.

Функция /возрастает на множестве P, если для любых Xi и Jt2 из множества P, таких что Х2> Xi выполнено неравенство f(x2) > f(xi)l

Если/ (х) < 0 для хе I, то/ (с) < 0 и поэтому/(X^ > /(X^ при условии X/ < X^.

Итак, для нахождения промежутков монотонности:

  1. Находим/ (х).

  2. Составляем и решаем неравенства/ (х) > 0 и/ (х) < 0.

  3. Делаем вывод, используя достаточный признаки возрастания и убывания.

При исследовании функции удобно:

  1. Найти/'(х).

  2. Найти точки, где/ (х) = 0.

  3. Отметить найденные точки на числовой прямой и просчитать знаки производной.

Пример: f(x) = х3 - Зх2.

  1. f'(x)=3x2-6x.

  2. f'(х)=0; 3X2^ex = O

Зх(х-6) = 0 х = 0 или х~ б =0 х = 6

3)

hello_html_7a9c1801.jpg

+. . + *?<*>

0 6

/ (х) > 0 на интервалах (- оо,- 0) и (6; + go). Значит, f(x) возрастает на промежутках (- оо; 0 ] и [ 6; + оо).

/ (х) < 0 на интервале (0; б).

f(x) убывает на промежутке [ 0;6 ].

б) Устные упражнения: (на готовых чертежах)

з

1) По характеру изменения графика функции укажите, на каких промежутках

hello_html_m5a44224f.jpg

hello_html_mcfb8d77.jpg


hello_html_436931a0.jpg


в)


производная положительна, на каких отрицательна (каждая из функций определена наЮ.

ОТВЕТЫ: &)f'(х) > 0 на (-1; 2), f'(x) < 0 на (- оо ; -1) и (2 ; оо); 6)g'(x)>0 HaR; в) h (х) > 0 на (- оо ; -2) и (1; оо).

2) На каких промежутках функции f(x) и g(x) возрастают, а на каких убывают?

hello_html_m3c83cd8.jpg

ОТВЕТЫ: а) функция / возрастает на [ 2; оо), убывает на (- оо; 2 ];

б) функция g убывает на(-оо;-4),[-1;1]и[5;оо); возрастает на [-4;-1]и[1;5].

4

3) При каких значениях а функция возрастает на всей числовой прямой?

а) у = х ~ ах б) у = ax-sinx

в) Исследовать функцию на монотонность (письменно по вариантам, 2 уч-ка на закрытых досках).

I вариант II вариант

х3

f(x) = - - g(x) = -4х + sin3x

l + x2

Решение: I вариант.

D(Ux)) -R f'(X) - 3*2(*2+3)-*3-2* _ Ъх*+9х*-2х* _

D(f(x))~R, f(xj- (^2+з)2- (^2+з)2 -

х4 + 9х2

> 0, значит f(x) возрастает на R.

II вариант.

D(g(x))=R, g'(x)=-4 + cos3x
Т.к -1 <cos3x>l,
то - 3 < 3 cos Зх>3, \3 cos 3 х \ < 3, значит,

g (х) — - 4 + 3 cos 3 х < 0 при всех значениях х, поэтому g(x) убывает на всей области определения.

III Критические точки функции, максимумы и минимумы.

(Отвечает ученик из второй группы)

Опр. Внутренние точки области определения функции, в которых ее производная равна нулю или не существует, называются критическими точками этой функции.

Только критические точки могут быть точками экстремума

5

Необходимое условие экстремума (теорема Ферма)

Если точка Xo является точкой экстремума функции /ив этой точке существует производная f , то она равна 0: f0) = 0.

Рассмотрим случай / (х) > Q:

По определению производной отношение / (xq) = — при х—* хо стремится к

X-X0

положительному числу / (хо) , а следовательно, и само будет положительно при всех х

/Yx) _ f(x Л

достаточно близких к хо.. Для таких х > 0 ,а значит, / (х) >f(xo) для

х -х0

всех Jc > хо из некоторой окрестности точки х0 . Поэтому точка х0 не является точкой максимума.

Теорема Ферма есть лишь необходимое условие экстремума.

Из того, производная в точке Xo обращается в нуль, необязательно следует, что в этой точке функция имеет экстремум.

Пример: f(x) = х3, f'(x) = Зх2 в точке х = 0 f'(x) = 0 (т.е. Зх2 = 0 при х = 0), но точка х = 0 не является точкой экстремума.

II случай: / (х) не существует.

Точках = 0 для функции у = ых не является критической: в ней

производная не существует у = —=■ , но она на является внутренней точкой области

2л]х

определения функции (D(y) = [ 0; оо)).

В этих точках функция также может иметь или не иметь экстремум.

Пример: f(x) =\x\. Эта функция не имеет производной в точке 0.

hello_html_m222e7895.jpg

у = х, при х >0; - х при х <0.

у = 1 и у = -1

6

Из т. Ферма следует, что при нахождении точек экстремумом функции требуется в первую очередь найти ее критические точки.

Для определения: является ли критическая точка точкой экстремума помогают достаточные условия существования экстремума в точке.

Признак максимума функции: Если в точке хо производная меняет

знак с плюса на минус, то хо есть точка максимума.

Признак минимума функции: Если в точке Xo производная меняет

знак с минуса на плюс, то х0 есть точка минимума.

ПРИМЕР. 1 ученик выполняет задание у доски, остальные в рабочих тетрадях. (В это время ученик из 2 группы готовит свой ответ у доски.)

Найти точки экстремума функции f(x) = 3х-х3. D(f(x)) = R, f'(x)=3-3x2, D(f'(x))=R, f'(x) =0 3~3x2=0, 3(1 ~x2) =0,1 ~x2=0, x2 = 7, x = l,x = -l.

hello_html_m1581b8a.jpg

Xmin " 1 -^-max *

- Иногда для построения графика функции недостаточно сведений, полученных путем
исследования с помощью первой производной.

хъ ПРИМЕР: f(x) = ~—,

D(f(x)) = R,

1. Ось Ox, ось Oy - (0;0)

хл +9х2

2. f (х) = —г —- > 0, значит, f(x) возрастает на всей области определения.

2+3)2 ~

Критическая точка х = 0 не является точкой экстремума.

  • Имея эту информацию, график данной функции построить достаточно сложно. Как быть
    дальше?

  • Нужно продолжить исследование с помощью второй производной.

  • Давайте вспомним, как это сделать.

Слушаем сообщение ученика из 3 группы.

7

IV. Исследование графиков на выпуклость.

1) Понятия «выпуклость вверх» и «выпуклость вниз» (вогнутость вниз)

hello_html_6d1670f9.jpg


hello_html_794247d2.jpg





Если график функции расположен выше любой проведенной к нему касательной и имеет с ней лишь одну общую точку, то говорят, что график функции обращен на отрезке [ а;Ь] выпуклостью вниз (рис. 1)

Если график функции расположен ниже любой касательной, то говорят, что он обращен выпуклостью вверх. ( рис. 2).

Выпуклость вниз или вверх кривой, являющейся графиком функции у =f(x), характеризуется знаком ее второй производной:

Если в некотором промежутке / (х) > 0, то кривая выпукла вниз на

этом промежутке; если же / (х) < 0, то кривая выпукла вверх на этом

промежутке.

ПРИМЕР: Найти промежутки выпуклости кривых.

( Учащиеся работают самостоятельно, двое на закрытой доске)

(В это же время готовит ответ у доски учащийся из 4 группы)

a)f(x) = х3 б) f(x) = х4-2х3 + бх-4

f'(x) = 4х3 -бх2 + б

W=3*2

f (x) = бх f (х) =12х2 - 12х ; 12х2 - 12х - 0;

бх = 0 при х = О

hello_html_181efeb0.jpg

12x(x-J)=0;

х = 0 или х = 1

hello_html_2c7374e9.jpg

(- оо; 0 ] график обращен выпуклостью вверх, [ 0 ; оо) - выпуклость вниз.

(-оо;0]и[-1;оо)- выпуклость вниз, [ О ; 1 ] - выпуклость вверх.

8

V. Точки перегиба.

Опр. Точка графика функции у =f(x), разделяющая промежутки выпуклости противоположных направлений этого графика, называется точкой перегиба.

hello_html_2af621f0.jpg





M - точка перегиба.

Внимание:

Следствие Для того, чтобы график функции имел перегиб в точке M (с ;f(c)), необходимо, чтобы либо вторая производная обращалась в нуль в точке с, либо, чтобы точка с была для / (х) точкой разрыва, либо, чтобы вторая производная не существовала в точке с.

Достаточно: рассматривать значения с, при которых / (х) = 0 или не существует. Правило нахождения точек перегиба графика функции у =f(x) :

1) Найти вторую производную -f(x)

T) Найти точки функции у =f(x) , в которых / (х) обращается в нуль или терпит разрыв.

3) Исследовать знаки второй производной / (х)

Если при переходе через точку с вторая производная функции f(x) меняет знак, то M (с; f(c)) является точкой перегиба для функции/f3cj.

ПРИМЕР: f(x) = бх2 - х3 ; f'(x) = 12х - Зх2; f"(x) =12- бх; f"(x) - О

12 -бх = 0; бх = 12; х = 2

hello_html_m3bc36350.jpg

f (х) при переходе через точку х = 2 меняет знак, значит, точка (2; 16) - точка перегиба.

9

ПРИМЕР: f(x) = х + Vx7-2 = х + х -2; f'(x) = 1 + -х ; f"(x) =— х =-~-B точке х = 0 производная не существует. Исследуем знаки / (х) :

hello_html_24c79f79.jpg

Значит, в точке (0 ; - 2 ) - перегиб.

- Вернемся к функции f(x) = — , мы выяснили, что она возрастает на всей области

х +3

определения. Проведем дальнейшее ее исследование:

1 ученик у доски: Найдем вторую производную и построим график.

iw7w.fi+?*! >Л f"M (4*3 + 6*)(1 + 2 + jc4) - (X4 + Зх2 X4jc + 3)

l)f(x)~^^W -0' f(x)= (Г7?7=

3 + Sx5 + 4jc7 + + 12х3 + 6;с5 - 4х5 - 4х7 - Ux3 - Ux5 =-2jc5 + 4jc3 + 6jc =

(l + x2)2(l + x2)4

_ - 2x(x4 -2x2 -3) _ - 2x(x2 -3)(д:2 +1) _ 2x(3-jc2)
(l + x2)4 (l + x2)4 (l + x2)3 '

hello_html_mb88ee61.jpg


hello_html_33beb088.jpg


/Vx) - 0; 2xf3-x2; =0; x = 0 шых = ± л/з

2 урок. s,

VI .Исследовать функцию f(x) =у = х3 -бх2 + Pjc - 3 и построить ее график.

Решение: 1) D (у) = R.

  1. :f(x) - ни четная, ни нечетная, не периодическая.

  2. Точки пересечения с осями координат:

Ось Ox: (точки пересечения графика функции с осью Ox можно найти, решив уравнение х3 - бх2 + 9х- 3 = 0.Ho это довольно сложно, т.к. абсциссы точек пересечения - дробные числа.

Ось Oy: х = 0 у = - 3; (0; - 3)

4) f (х) = Зх2 - 12х + 9; Критические точки:

a) Df'(x) =/? б) f'(x) = 0; 3(х2 -4х + 3) = 0; х =/; х - 3.

hello_html_70af823a.jpg





f (х) < 0 на интервале (I; 3), следовательно , f(x) убывает на [ 1 ; 3 ]; f (х) > 0 на интервалах (- оо ,-1) и (3 ; оо); : f(x) возрастает на (- со ; 1 ] и [ 3; сю);

5)f"(x) = бх - 12; f"(x) = 0; бх-12 = 0; х = 2

hello_html_m2a04827a.jpg

б) Дополнительные точки: ■ f(V=-l

hello_html_m296bc913.jpg





hello_html_ma9ae620.jpg

VII. Самостоятельная работа.

1 вариант. 2 вариант.

а) f(x) = 3 - Зх2 a) f(x) = бх - 2 х3

б) f(x) -х4 - х3 б) f(x) = 2 х3 бх + 4

4

S) M - J^ в) M - ^
а) задания на «3» ; б) задания на «4» ; в) задания на «5».

hello_html_m26e39092.jpg



hello_html_m1a16a0ae.jpg



hello_html_5dcf2688.jpg
Общая информация

Номер материала: ДВ-029538

Вам будут интересны эти курсы:

Курс повышения квалификации «Табличный процессор MS Excel в профессиональной деятельности учителя математики»
Курс повышения квалификации «Педагогическое проектирование как средство оптимизации труда учителя математики в условиях ФГОС второго поколения»
Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания основ финансовой грамотности в общеобразовательной школе»
Курс повышения квалификации «Специфика преподавания информатики в начальных классах с учетом ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Теория и методика обучения информатике в начальной школе»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Инженерная графика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Развитие элементарных математических представлений у детей дошкольного возраста»
Курс повышения квалификации «Методика преподавания курса «Шахматы» в общеобразовательных организациях в рамках ФГОС НОО»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Черчение: теория и методика преподавания в образовательной организации»

Благодарность за вклад в развитие крупнейшей онлайн-библиотеки методических разработок для учителей

Опубликуйте минимум 3 материала, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную благодарность

Сертификат о создании сайта

Добавьте минимум пять материалов, чтобы получить сертификат о создании сайта

Грамота за использование ИКТ в работе педагога

Опубликуйте минимум 10 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Свидетельство о представлении обобщённого педагогического опыта на Всероссийском уровне

Опубликуйте минимум 15 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данное cвидетельство

Грамота за высокий профессионализм, проявленный в процессе создания и развития собственного учительского сайта в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 20 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Грамота за активное участие в работе над повышением качества образования совместно с проектом "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 25 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную грамоту

Почётная грамота за научно-просветительскую и образовательную деятельность в рамках проекта "Инфоурок"

Опубликуйте минимум 40 материалов, чтобы БЕСПЛАТНО получить и скачать данную почётную грамоту

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.