Государственное казенное общеобразовательное учреждение Самарской области «Центр образования Самарской области», филиал № 5

Урок в 7 классе по теории и вероятности с применением здоровосберегающей технологии на тему:

«Монета и игральная кость в теории вероятностей»

Апрель,2024

Цель урока:

·         Изучение основных понятий теории вероятности и статистики, а также классических моделей теории вероятности: монеты и игральной кости.

План урока (40 мин)

1.Организационный момент (1 мин)

2. Постановка целей и мотивации урока (1 мин).

3. Объяснение нового материала (20 мин)

4. Физкультминутка (2 мин)

5. Решение задач (12 мин)

6. Рефлексия. Подведение итогов урока. Обсуждение вопросов, возникших у обучающихся в ходе урока. (4 мин)

Ход урока

1.Организационный момент.

Приветствие обучающихся. Выявление отсутствующих на уроке.

2.Постановка целей и мотивации урока.

3.Объяснение нового материала.

В жизни разумно следовать правилу: в однократном опыте крайне маловероятные события можно считать невозможными, а практически достоверные события — достоверными. Решающие правила устанавливают, исходя из сложившихся традиций, а также с учетом тяжести последствий, которые наступят, если неприятное маловероятное событие все же

произойдет. Иногда приходится полагаться на случай. До сих пор распространен обычный жребий – орел или решка. Каждый из нас держал в руках монету. На одной стороне (аверсе)

российских монет изображен герб Российского государства — двуглавый орел (впервые орел на монетах появился при Иване III в конце XV в.). Рисунок на другой стороне (реверсе) в 18–19 веках напоминал решетку, на фоне которой был отчеканен номинал монеты (ее достоинство). Поэтому в России стороны монеты традиционно называют «орел» и «решка».

Математическая монета, используемая в теории вероятностей, лишена многих качеств настоящей монеты. Настоящая монета служит иллюстрацией. У математической монеты нет цвета, размера, веса и достоинства. Она не сделана ни из какого материала и не может служить платежным средством. Монету бросают, и она падает либо орлом, либо решкой вверх. Математическая монета считается симметричной. Это означает, что при броске она имеет равные шансы выпасть орлом или решкой. При этом подразумевается, что иные исходы невозможны — монета не может потеряться или «встать на ребро». Настоящая монета может иметь дефекты, которые влияют на результат броска (например, быть немного вогнутой). У математической монеты дефектов нет. Тем не менее, чтобы провести на практике опыты с математической монетой, мы бросали, бросаем и будем бросать обычную монету. Давайте рассмотрим жребий «орел – решка» в повседневной жизни.

Пример 1. Монетой иногда пользуются для принятия решения в случае, когда нет предпочтений. Например, перед началом футбольного матча судья подкидывает монетку и таким образом определяет, какая из команд введет мяч в игру. А прежде так поступали, чтобы определить победителя, если матч заканчивался вничью. Один из самых известных случаев произошел в финальном матче чемпионата Европы 1968 года по футболу между командами Италии и СССР. Матч завершился вничью 0:0, а жребий оказался на стороне

итальянцев. Больше в истории большого футбола такого не случалось. В настоящее время для определения победителя после ничьей применяются послематчевые пенальти.

Пример 2. Орлянка – старинная игра, распространенная во многих странах. Игра проста: один игрок бросает монету, второй загадывает, какой стороной вверх она упадет. Угадал – выиграл; нет – проиграл.

Теперь давайте поговорим о монете и вероятности. Важно! Нельзя доказать, что вероятности орла и решки равны 1/2. Мы сами назначаем эти вероятности, опираясь на симметрию монеты. Равные шансы орла и решки подтверждаются экспериментально, если

монета симметрична.

Пример 3. В случайном опыте бросают две монеты. Какова вероятность того, что выпадут два орла?

Французский ученый Жан Лерон Даламбер вошел в историю теории вероятностей из-за своей печально знаменитой ошибки в решении этой задачи.

По его мнению, вероятность выпадения двух орлов равнялась 1/3, так как возможны три исхода: «два орла», «две решки» и «две разные стороны». (Обсудить с обучающимися, в чем, по их мнению, состоит ошибка Даламбера. Обсуждение должно привести к тому, что эти три исхода неравно возможны, а поэтому их вероятности не равны 1/3).

Чтобы разобраться, пронумеруем монеты. Пусть у нас будут первая монета и вторая.

Решение задачи. Поскольку монеты различны, мы получаем четыре возможных исхода:

ОО, ОР, РО и РР.

Предположим, что первая монета упала орлом вверх. Тогда вторая монета с равными шансами падает вверх орлом или решкой. Поэтому исходы ОО и ОР имеют равные шансы.

Аналогично, если первая монета упала вверх решкой, то из-за симметрии второй монеты исходы РО и РР имеют равные шансы.

Теперь представим, что, бросая первую монету, мы закрыли глаза и не видели, что выпало на ней, но увидели, что на второй монете выпал орел. Но ведь и первая монета тоже симметрична, поэтому два возможных исхода ОО и РО тоже имеют равные шансы. Получается, что все четыре элементарных события имеют равные шансы, если обе монеты симметричны. Единичная вероятность поровну распределяется между четырьмя исходами, и вероятность каждого из них равна ¼.

Итак, мы выяснили, что монета в теории вероятностей — важный инструмент, с помощью которого можно получать два равновозможных исхода. Такие опыты с двумя исходами мы будем называть испытаниями. При двукратном бросании монеты получаются 4 равновозможных исхода, при трехкратном — 8 равновозможных исходов и так далее.

Монета — простейшая вероятностная модель. На опытах с монетами легко и удобно учиться теории вероятностей. Но это не единственная польза от математических монет: с их помощью можно моделировать довольно сложные и ответственные эксперименты.

Бросая монету многократно и наблюдая за формированием графика частот, мы увидим, что частоты иногда чуть быстрее, а иногда чуть медленнее приближаются к значению 0,5. Так мы увидим проявление фундаментального закона природы — закона больших чисел. Этот закон обеспечивает стабильность и устойчивость массовых явлений. Для бросания монеты и события «выпал орел» закон больших чисел можно сформулировать так: «при большом числе бросаний монеты частота выпадения орла, скорее всего, колеблется все меньше

и меньше, приближаясь к числу 0,5».

Игральная кость, как и монета, служит прекрасным средством для получения равновозможных случайных событий. Правильные (симметричные) кости обеспечивают одинаковые шансы выпадения каждой грани. Для этого все грани должны иметь одинаковую площадь, быть плоскими и гладкими. Вершины и ребра должны иметь одинаковую форму. Если они скруглены, то все скругления должны быть одинаковыми. Отверстия, маркирующие очки на гранях, должны быть просверлены на одинаковую глубину. Обычная игральная кость — кубик. У правильного игрального кубика суммы очков на противоположных гранях одинаковы и равны. Игра в кости — одна из древнейших. Первые прообразы игральных костей найдены в Фивах в Египте и датируются ХХ веком до нашей эры. Первоначально кости служили орудием для гаданий. В древности результат броска костей также считался изъявлением воли богов. Название «кость» в русском языке происходит от того, что в древности на Руси игральные кубики часто вырезали из суставов копытных животных. Об играх с костями животных (игры в лодыжки, бабки, костыги, козули) свидетельствуют многочисленные археологические находки на обширной территории. Игры с костями с глубокой древности известны в Индии, Китае, Лидии, Греции и Риме. Встречались очень дорогие кости — из слоновой кости, агата, янтаря, оникса, серебра и золота. В Древней Греции считалось, что игральные кости придумал Паламед во время Троянской войны. По версии же философа Геродота, кости изобрели лидийцы, чтобы отвлечься от голода, болезней и других напастей. В Древнем Риме кости, вероятно, пришедшие из Древней Греции, быстро приобрели популярность. В кости играли все, от рабов до императоров. В средние века игра в кости стала очень популярной в Европе.

Кости периодически запрещались. В III веке до н.э. в Риме игра в кости разрешалась только во время ежегодного празднования сатурналий. В Древнем Китае за игру в кости можно было попасть на каторгу. В средние века кости время от времени запрещались церковью, поскольку, по мнению духовенства, игра в кости была порождением дьявола. Игрок при этом якобы становился слугой дьявола, распространяя зло. Но бывали периоды, когда кости разрешались, и игра в них поощрялась. Французский епископ Виболд даже приписал каждому сочетанию очков, выпавших на трех костях, некоторую христианскую добродетель. Такие крайности свидетельствуют о том, что изжить их церковь не смогла, поэтому пыталась использовать страсть к игре в своих целях. В эпоху ренессанса увлечение костями пошло на спад, а сейчас игры в кости не очень распространены. На сегодняшний день самая популярная игра в кости — крэпс. Кроме того, кости разной формы используются в настольных играх.

А теперь давайте все же разберем, что такое игральная кость и вероятность.

Математическая кость — это математическая модель игрального кубика. Все шесть граней равновозможны. Подобно математической монете, математическая кость не имеет ни цвета, ни размера, ни веса, ни иных материальных качеств. Важно! Нельзя доказать, что вероятность выпадения каждой грани кубика равна 1/6. Мы сами назначаем эти вероятности, опираясь на симметрию кубика. Равные шансы выпадения каждой грани подтверждаются экспериментально.

Одна из первых исторически известных задач про кости — подсчет числа различных исходов при бросании нескольких костей (или при бросании одной кости несколько раз, что то же самое).

Две кости. При бросании двух костей сумма очков может принимать значения от 2 до 12 — всего одиннадцать значений. Означает ли это, что выпадение каждой из этих сумм равновероятно? Не будем повторять ошибку Даламбера. Как и в случае с монетами, будем различать кубики: представим, что один из них синий, а другой — зеленый. Каждый кубик в силу симметрии может с равными шансами выпасть любой из шести граней вверх. Составим таблицу, в которой номер столбца — число, выпавшее на синем кубике, а номер строки —на зеленом. Всего вариантов 36. Каждой ячейке соответствует одно из 36 равновозможных элементарных событий в опыте с бросанием двух костей. Впишем в каждую ячейку сумму очков при каждом возможном исходе (см. рис. 1).

Рисунок 1. Таблица эксперимента с суммами выпавших очков

Из симметрии кубика следует, что все элементарные события равновозможны. В таблице видно, что разные суммы встречаются с разной частотой. Составим таблицу частот для каждой возможной суммы.

Получается, что больше всего шансов у суммы 7; чем сильнее сумма отличается от 7, тем меньше шансов ее получить.

Три кости. Мы уже знаем, что в опыте с двумя костями всего 36 равновозможных элементарных исходов. В 1477 г. в Венеции Бенвенуто д'Имола издал «Божественную комедию» Данте со своими примечаниями. В VI песни «Чистилища» упоминается игра, в которой одновременно бросают три кости:

Когда кончается игра в три кости,

То проигравший снова их берет

И мечет их один в унылой злости..

Пример 4. Сколько всего равновозможных элементарных исходов в опыте с бросанием трех костей, если считать, что кости различны?

Решение. Пронумеруем кости. Первая и вторая кость могут дать нам всего 36 вариантов. При этом третья кость может дать 6 различных вариантов. Удобно сделать небольшую табличку:

Значит, общее число комбинаций равно 36 + 36 + 36 + 36 + 36 + 36 = 36 × 6 = 216.

Более простой способ подсчета: 6 разных очков на первой кости любым образом сочетаются с 6 разными очками на второй и с 6 разными очками на третьей. Получается 6 × 6 × 6 = 63 = 216.

В комментариях к «Божественной комедии» Д'Имола подсчитывает число возможных комбинаций при бросании трех костей и пишет, что всего их 56. Такой же результат был получен уже упомянутым епископом Виболдом. Почему же мы получили 216, а уважаемые люди в средневековье — только 56? Причина в том, что они не различали кости между собой. Они не видели разницы между исходами (3, 2, 6) и (6, 3, 2), поскольку бросали одинаковые кости одновременно. Так можно поступать, но в этом случае разные исходы нельзя считать равновозможными. Гораздо удобнее считать, что кости различны, всего исходов 216, но зато они все имеют равные шансы.

В теории вероятностей кость — мыслимое устройство, которое позволяет получать натуральные числа от 1 до 6 с одинаковыми вероятностями, равными 1/6. Удобно представлять кость в виде обычного симметричного игрального кубика. Опыт, где бросают две кости, имеет 36 равновозможных исходов в силу симметрии всех комбинаций. Если бросают три кости, то возникает 63 = 216 равновозможных исходов. Говоря о бросании кости, мы будем всегда иметь в виду, что кость симметрична (если не сказано иное). Говоря о бросании двух костей, мы всегда будем иметь в виду, что кости различны — это то же самое, что бросать одну кость два раза. Игры в кости послужили отправной точкой в изучении вероятностей. Можно сказать, что игральная кость — родоначальница современной теории вероятностей, которая сейчас шагнула далеко за рамки игровых задач. Тем не менее, монеты и кости до сих пор используются не только для обучения, но и в моделировании сложных, серьезных и ответственных экспериментов.

4. Физкультминутка.

5. Решение задач.

1) В коробке находятся 5 красных и 4 зеленых карандаша. Наугад вытаскивают один карандаш. Какова вероятность того, что он будет красным?

2) Игральная кость подброшена один раз. Найдите вероятность выпадения числа от 1 до 6?

3) Бросают две игральные кости. Какова вероятность, что сумма выпавших очков будет равна 7?

4) В корзине находится 5 красных, 3 зеленых и 2 синих яблока. Наугад вынимают одно яблоко. Какова вероятность того, что оно будет не синим?

5) В мешке находятся шары двух цветов: 6 красных и 4 синих. Наугад достают один шар. Какова вероятность того, что этот шар будет синего цвета?

6) В лотерее участвуют 100 билетов. Из них 5 выигрышных. Какова вероятность выиграть в лотерею?

7) В классе 30 учеников, из которых 15 мальчиков. Учитель наугад вызывает одного ученика. Какова вероятность того, что это будет мальчик?

8) В мешке находится 10 шаров, из которых 3 красных, 2 зеленых и 5 синих. Наудачу достают один шар. Найдите вероятность того, что этот шар окажется не синим.

9) В коробке находится 20 карандашей, из которых 5 красного цвета. Наугад извлекают один карандаш. Найдите вероятность того, что извлеченный карандаш будет красного цвета.

10) В коробке лежит 10 ручек, из которых 4 красные, 3 зеленые и 3 синие. Наугад берут одну ручку. Найдите вероятность того, что эта ручка будет не синей.

11) Игральный кубик бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало число очков, больше, чем 4?

12) Игральную кость бросают дважды. Найдите вероятность того, что сумма двух выпавших чисел нечетна.

6. Рефлексия. Подведение итогов урока. Обсуждение вопросов, возникших у обучающихся в ходе урока.