Конспект урока на тему: "КОНУС" (11 класс)

Урок на тему:
КОНУС

Цели:  проверить  уровень  сформулированности  навыка  решения задач по нахождению элементов цилиндра; ввести понятия конуса, элементов конуса.

Ход урока

I. Самостоятельная работа (15 мин).

Вариант I

1. Сечением цилиндра плоскостью, параллельной оси, служит квадрат, площадь которого равна 20 дм². Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если его диагональ равна 10 дм.

2. Боковая поверхность цилиндра развертывается в квадрат с диагональю, равной  см. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

Вариант II

1. Высота цилиндра 16 см, радиус основания 10 см. Цилиндр пересечен плоскостью параллельно оси так, что в сечении получился квадрат. Найдите расстояние от оси цилиндра до этого сечения.

2. Разверткой боковой поверхности цилиндра служит прямоугольник, диагональ которого, равная 12π, составляет с одной из сторон угол 30°. Найдите площадь полной поверхности цилиндра, если его высота равна меньшей стороне развертки.

II. Объяснение нового материала построить по плану:

1. Понятия конуса, его элементов (вершина, ось, образующие, основание, боковая поверхность конуса). Изображение конуса.

На рисунке проведем касательные из точки S к эллипсу, изображающему основание конуса. Обозначим через K1 и K2 точки касания. Распространенная ошибка заключается в том, что учащиеся принимают треугольник SK1K2 за изображение осевого сечения конуса.

Однако хорда K₁K₂ не проходит через центр О основания конуса. Для построения изображения осевого сечения, проходящего через образующую SK₁ достаточно построить изображение диаметра K₁М и соединить полученную точку М с вершиной S конуса. SK₁ и SK₂ – изображения крайних образующих, то есть они отделяют видимые образующие (их изображения получаются, если соединить произвольную точку дуги K₁МK₂ эллипса с вершиной S от невидимых.

2. Рассмотреть сечение конуса различными плоскостями, выделяя два случая:

1) Секущая плоскость через вершину конуса;

2) Секущая плоскость параллельна основанию конуса.

В первом случае следует рассмотреть пересечение секущей плоскости с окружностью основания конуса.

1 (а). Если они пресекаются в двух точках, то в сечении конуса получаем равнобедренный треугольник, основание которого – отрезок с концами в этих точках. Из всех таких следует особо выделить осевое сечение. Оно получается, если рассматриваемые точки пересечения – концы диаметра основания конуса. Среди конусов выделяется равносторонний (осевое сечение его – равносторонний треугольник). Если R – радиус его основания, то образующая равностороннего конуса равна 2R .

1 (б). Если они имеют только одну общую точку, то рассматриваемая плоскость – касательная к конусу.

Касательная плоскость к конусу может быть определена по-разному.

Определение 1. Плоскость, проходящая через образующую конуса перпендикулярная осевому сечению, проведенному через эту образующую.

Определение 2. Плоскость, имеющая с конусом только одну общую образующую.

Трактовка плоскости, касательной к конусу и плоскости, касательной к цилиндру, должна быть одна и та же в одном учебнике. Следует отметить, что, приняв одно из предложений 1 или 2 в качестве определения, необходимо ознакомить учащихся с другим как свойством касательной плоскости к конусу.

1 (в). Продолжая рассмотрение плоскости, проходящей через вершину конуса, проходим к случаю: если плоскость и окружность основания не имеют общих точек, то рассматриваемая плоскость с конусом имеют только одну общую точку – вершину конуса.

2. При  доказательстве  теоремы  о  сечении  конуса  плоскостью,  параллельной его основанию (№ 556) целесообразно получить следующие выводы:

1. Рассматриваемое сечение – круг.

2. Обозначив через R и r – соответственно радиус конуса и рассматриваемого сечения и через H и h высоту данного и отсеченного конуса, получаем, что = k, где k – коэффициент подобия данного и отсеченного  конусов.  Доказать,  что = k². Обобщить, решая задачу № 557.

Рассмотрение сечения, перпендикулярного оси конуса, позволяет эффективно применять метод гомотетии по аналогии с сечением пирамиды плоскостью, параллельной основанию. Установив форму и расположение сечения, вводят понятие усеченного конуса.

Изображая усеченный конус, удобно сначала нарисовать тот конус, из которого получается усеченный конус.

III. Решение задач: №№ 548 (а), 549.

Домашнее задание: теория (п. 61), №№ 547, 548 (б, в), 550.