Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему: "ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ" (11 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Конспект урока на тему: "ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ" (11 класс)

библиотека
материалов

Урок на тему:
ОБЪЕМ ШАРА И ЕГО ЧАСТЕЙ

Цель: вывести формулу объема шара и его частей.

Ход урока

I. Объяснение нового материала.

1. Объем шара радиуса R равен hello_html_m13be94bf.gifπR3.

Доказательство см. п. 82–83.

2. Шаровым сегментом называется часть шара, отсекаемая от него плоскостью (рис. а, в).

а)


б)


в)

Объем шарового сегмента определяется формулой V = πH2 hello_html_m1b28e31b.gif, где H – высота шарового сегмента.

3. Шаровым слоем называется часть шара, расположенная между двумя параллельными плоскостями, пересекающими шар (рис. б).

4. Шаровым сектором называется тело, которое получается из шарового сегмента и конуса.

а)



б)


Объем шарового сектора определяется формулой V = hello_html_40adbb8a.gifπR2H, где H – высота соответствующего шарового сегмента.

II. Решение задач.

См.: Крамор В. С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии. – М.: Просвещение, 1992.

Задача 1. Чему равен объем шарового сектора, если радиус окружности его основания равен 60 см, а радиус шара равен 75 см?

Решение

1. Под основанием сектора в задаче понимается основание соответствующего сектору сегмента. Пусть R – радиус шара, r – радиус основания сегмента.

2. Наша задача сводится к отысканию высоты этого сегмента: H = PO1. OP – радиус шара, перпендикулярный основанию сегмента.

3. Из прямоугольного треугольника OO1M (hello_html_40701f0d.gifMO1O = 90°) найдем:

OO1 =hello_html_7378c1e4.gif= 45, поэтому H = PO1 =
= OP
OO1 = ROO1 = 75 – 45 = 30.

hello_html_m3954c3f8.gifhello_html_m3c93d2d0.gif

а) б)

4. Объем шарового сектора.

V =hello_html_40adbb8a.gifπR2H =hello_html_40adbb8a.gifπ 752 ∙ 30 = 112 500π см3.

5. Примечание. Поставленная задача имеет два решения:

1) Шаровой сектор, который мы рассматривали, называется выпуклым, и его высота равна ROO, называется невыпуклым. Найдем его объем.

6. Рассмотрим второй случай, где высота сектора H = ROO1 = 120, так что полученный объем будет в 4 раза больше, чем вычисленный: V = π 45 ∙ 104 см3.

7. Таким образом, искомый объем равен либо 112 500π см3, либо 450 000π см3.

Задача 2. В шаре радиуса R выделен шаровой сектор с углом α в осевом сечении. Найдите его объем.

hello_html_1fe737f7.gif

Решение

1. Объем сектора V =hello_html_40adbb8a.gifπR2H.

2. Так как R – известная величина, то остается нам найти H = AO1.

3. Из условия hello_html_40701f0d.gifC1OC = α, значит, hello_html_40701f0d.gifAOC =hello_html_5d30e6d0.gif и соответственно
hello_html_645fcd80.gifAC =hello_html_5d30e6d0.gif, тогда hello_html_40701f0d.gifACO1 =hello_html_40701f0d.gifABC =hello_html_3bf5fa31.gif.

4. Из прямоугольного треугольника AO1C получаем AO1 = AC sinhello_html_3bf5fa31.gif.

5. Из прямоугольного треугольника ABC находим AC = AB sinhello_html_3bf5fa31.gif, или AC = 2R sinhello_html_3bf5fa31.gif, следовательно, H = 2R sin2hello_html_3bf5fa31.gif.

6. Таким образом, hello_html_m7579eca5.gif.

Задача 3. В полусфере радиуса R через середину высоты проведено сечение, параллельное основанию полушара. Найдите объем полученного шарового пояса.

hello_html_m4e9ce5f2.gif

Решение

1. A1O1B1 || AOB, AO = OC = R, OO1 = O1C =hello_html_6cf54856.gif.

2. Объем шарового слоя найдем из равенства V = VполушараVсегм.

3. Vполушара =hello_html_4227c43a.gif.

4. У сегмента H =hello_html_6cf54856.gif, Vсегм = πH2hello_html_m3f4d6a5f.gif.

5. Следовательно, V =hello_html_40adbb8a.gifπR3hello_html_m6659fdce.gif.

Задача 4. Круговой сектор радиуса R с дугой 120° вращается около прямой, проходящей через центр и составляющей с сектором угол 30°. Найдите объем тела вращения.

Решение

1. Дано: AO = R, hello_html_645fcd80.gifAB = 120°, hello_html_40701f0d.gifBOD = 30°.

2. hello_html_645fcd80.gifAB = 120°, hello_html_40701f0d.gifAOB = 120°, тогда hello_html_40701f0d.gifAOO1 = 180° – (120° + 30°) =
= 30°. Следовательно, объемы двух полученных секторов будут равны. Тогда

hello_html_595162f7.gif

Vт. в. = Vшара – 2Vсект.

3. Из прямоугольного треугольника OO2B найдем:

OO2 = R cos 30° =hello_html_m56bbff01.gif.

4. Vт. в. =hello_html_m4f3dabcc.gif=
=
hello_html_m992816c.gif, Vт. в. =hello_html_61e765cc.gif.

Задача 5. Круговой сектор с углом 30° и радиусом R вращается около одного из боковых радиусов. Найдите объем полученного тела (рис.).

hello_html_m4dc89725.gif

Решение

1. По условию hello_html_40701f0d.gifBOA = 30°, значит, hello_html_40701f0d.gifBOC = 60°, OB = OC = R, поэтому треугольник BOC правильный, причем его сторона BC отсекает от радиуса OA отрезок DA, равный высоте H соответствующего шаровому сектору сегмента.

2. H = AD = AO – OD = R – Rhello_html_m86a23f1.gif= Rhello_html_m6e127fa0.gif.

3. Объем сектора hello_html_188459fd.gif.

Задача 6. Плоскость, перпендикулярная диаметру шара, делит диаметр на части 3 и 9 см. На какие части делится объем шара?

Решение

1. Радиус шара hello_html_m251bc331.gif= 6.

2. Высота меньшего сегмента H = 3, объем его

V1 = πH2hello_html_m1b28e31b.gif= 45π см3.

3. Объем всего шара V3 = hello_html_m13be94bf.gifπR3 = 288π см3.

4. Объем второго сегмента V1 = V3 – V1 = 288π – 45π = 243π см3.

Задача 7. Из деревянного равностороннего цилиндра выточен наибольший возможный шар. Сколько процентов материала сточено?

Решение

1. Из условия вытекает, что высота цилиндра H = 2R, подставим значение H в формулу объема цилиндра: V4 = πR2H = 2πR3.

2. Объем шара Vш =hello_html_m13be94bf.gifπR3.

3. Найдем, сколько сточено материала: V4 – Vш = 2πR3 hello_html_m13be94bf.gifπR3.

4. Найдем, сколько процентов составляет сточенный материал: hello_html_m4678415f.gif.

Домашнее задание: теория (п. 82–83), №№ 710, 711, 717.



Общая информация

Номер материала: ДБ-098472

Похожие материалы