Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему: "Параллельные прямые в пространстве"

Конспект урока на тему: "Параллельные прямые в пространстве"



Осталось всего 4 дня приёма заявок на
Международный конкурс "Мириады открытий"
(конкурс сразу по 24 предметам за один оргвзнос)


  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

Тема: «Параллельные прямые в пространстве»

 Цели урока:

1) рассмотреть взаимное расположение 2-х прямых в пространстве. Ввести понятие параллельных и скрещивающихся прямых;

2) доказать теоремы о параллельности прямых и параллельности 3-х прямых;

3) закрепить эти понятия на моделях куба, призмы, пирамиды.

Ход урока

I. Организационный момент

Сообщить тему урока, сформулировать его цели.

 

II. Актуализация знаний.

Вспомнить материал из планиметрии о параллельности прямых (повторение)

1) Определение параллельных прямых;

2) Взаимное расположение 2-х прямых на плоскости (либо пересекаются, либо параллельны);

3) Как через точку А, заданную вне данной прямой а, провести прямую, параллельную а?

4) Сколько таких параллельных (к а через А) можно провести? Почему? (только одну, по аксиоме параллельных);

5) Аксиома параллельных (подчеркнуть, что через точку А вне прямой а можно провести единственную прямую, параллельную а).

 

III. Изучение нового материала

1) Каково расположение 2-х прямых на плоскости (совпадают, пересекаются, параллельны) (рис. 1 а, б, в).

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image076.jpg

рис 1

 2) Перейдем к взаимному расположению 2-х прямых в пространстве. Как и в планиметрии, две различные прямые в пространстве либо пересекаются в одной точке, либо не пересекаются (не имеют общих точек). Однако второй случай допускает две возможности: прямые лежат в одной плоскости (параллельны) или прямые не лежат в одной плоскости. В первом случае они параллельны, а во втором - такие прямые называются скрещивающимися.

Даем определение. Сопровождаем показ параллельности, пересечения, скрещивания прямых хотя бы на модели куба, параллелепипеда, пирамиды (рисунки с обозначениями).

Определение: Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

3) Докажем теорему о параллельных прямых.

Теорема:

Дано: А; А  а. Провести через А прямую b || а, доказать ее единственность (рис. 2).

 

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image077.jpg

 рис 2

Доказательство:

По условию даны прямая а и не лежащая на ней точка А. По ранее доказанной теореме через прямую и не лежащую на ней точку можно провести плоскость, и притом только одну. Проведем плоскость α. Теперь в плоскости а через току А проведем прямую b || а, а из планиметрии известно, что через точку А вне прямой а можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну. Теорема доказана.

В дальнейшем нам понадобятся такие понятия: два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых, аналогично определяются параллельность отрезка и прямой, параллельность двух лучей.

Докажем лемму о пересечении плоскости параллельными прямыми, которой будем пользоваться в дальнейшем.

Лемма: а || b; α; а  α = А (рис. 3).

Доказать, что b  α.

 

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image078.jpg

  рис 3

Доказательство:

1. а || b определяют плоскость β.

2. Получили, что α и β имеют общую точку А, по аксиоме А3 http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image079.jpg поэтому http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image080.jpg поэтому В  α следовательно, В  b, b  α.

Докажем, что прямая b не имеет других общих точек с плоскостью α, кроме точки В. А это означало бы, чтоb  α.

Если бы прямая b имела еще хотя бы одну общую точку с плоскостью α, то она целиком бы лежала в плоскости α, а это значит, что она была бы общей прямой плоскости α и плоскости β, то есть b  m, но это невозможно, так как по условию а || b, и а  m. Значит, b  α = B. Лемма доказана.

4) Из планиметрии известно:

Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Аналогичное утверждение имеет место и для 3-х прямых в пространстве.

Теорема: Дано: а || с; b || с (рис. 4). Доказать, что а || b, то есть 1) лежат в одной плоскости; 2) не пересекаются.

 

http://compendium.su/mathematics/geometry10/geometry10.files/image081.jpg

 рис 4

Доказательство:

1) Возьмем на прямой b точку М и через а и М проведем плоскость α. Докажем, что b  α.

Если допустить, что b  α, то по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми прямая с  α, но а || с, значит, а  α, что невозможно, так как а  α.

2) Прямая a  b, так как в противоположном случае через точку их пересечения проходили бы две прямые (а и b), параллельные с, что невозможно. И значит, а || b и теорема доказана.

 

IV. Закрепление изученного материала

Задача № 17

Дано: М - середина BD; N - середина CD; Q - середина АС; Р - середина АВ; AD = 12 см; ВС = 14 см (рис. 5).

Найти: PMNQP - ?

В

А

С

D

 

image50

рис 5 

Решение:

1. MN || BC по составу средней линии  MN || PQ; PQ || BC.

2. РМ || AD по составу средней линии  PM || QN; NQ || DA.

3. По определению MNQP - параллелограмм.

4. PQ = 7; РМ = 6  РMNQP = 2(7 + 6) = 26. (Ответ: 26 см.)

 

V. Подведение итогов

 

Домашнее задание

П. 4, 5, теоремы.

Задача № 16

Дано: hello_html_70514e60.gif  (рис. 6).

Доказать: с  α.

 

image51

рис 6

 

Доказательство: По условию а  с = А; b  с = В, значит А  α и В  α, так как а  α и b  α, по А2 с  α, что и требовалось доказать.





57 вебинаров для учителей на разные темы
ПЕРЕЙТИ к бесплатному просмотру
(заказ свидетельства о просмотре - только до 11 декабря)


Автор
Дата добавления 18.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров385
Номер материала ДВ-464550
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх