Конспект урока на тему " Прогрессия и банковские расчёты" (9 класс, углублённое изучение математики)

СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА №120 московского района

 С УГЛУБЛЕННЫМ ИЗУЧЕНИЕМ ОТДЕЛЬНЫХ ПРЕДМЕТОВ

Республики Татарстан ,г.Казани .

Учитель математики Арефьева Л.В.

Конспект урока в 9 классе с углублённым изучением математики

Тема: «Прогрессии и банковские расчёты»

Цели урока:

-обучающие: иметь понятие сложных процентов, уметь решать задачи на проценты.

-развивающие:  логические и творческое мышление, внимательность, аккуратность в записях, коммуникативность.

-воспитывающие: уметь работать в коллективе , в паре, толерантность.

Ход урока:

1.Огр. момент.

2.Устные вопросы.(актуализация)(8 мин)

А) что такое 1% ?

Б) а понизилась на 10% (  а∙(1-0,1)=а ∙0,9 )

В) а повысилась на 10 % ( а∙(1+0,1)=а ∙1,1 )

Задачи ( устно) на доске

Учитель: Цена товара повысилась на 20%. Затем понизилась на 30%. Как изменилась цена товара?

Учащийся: Х- цена товара . Х∙ (1+0,2)∙(1-0,3)=Х ∙1,2 ∙0,7=Х∙0,84     1-0,84=0,16

                Цена товара понизилась на 16%

Учитель : 1) Число а увеличили на p % в 3 раза   

Учащийся:   а∙(1+p/100)∙ (1+p/100)∙ (1+p/100)=а∙(1+0,01∙p)³

  Учитель :  2)Число а увеличили на p % в n раз  

   Учащийся:    а∙(1+0,01∙p)ⁿ

3 .( 32 мин)

Учитель :   В экономике это формула показывает будущую стоимость денежной единицы.

На доске ( интердоске)

«FV (future)-будущая стоимость денег

RV (present volum) – текущая стоимость денег (на данный период)

I – ставка банка.

N – количество периодов начисления (год, квартал, месяц,  год или день)

FV= PV∙ (1+i)ⁿ»

Начисление сложных процентов увеличивается с каждым шагом во времени.

Если k – число периодов начисления в году , то формула вычисляется так

FV= PV ∙(1+i/k)* ,где * = n∙k ( на доске)

1.Задача. В банк помещены 100 $ под 12% годовых. Определить размер накопленной суммы через 4 года при начислении процентов : ежегодно ;каждое полугодие.

FV=100$     I = 12% = 0,12   N = 4 года Найти FV-? При n = 4

                                                                            FV - ? при n ∙k= 8 , k = 2

Решение :           а) n = 4    FV = 100∙(1+0,12)⁴ = 100 ∙ 1,57352 = 157 $

                           б)  FV = 100 ∙ (1 + 0,12/2)⁸ = 100 ∙ 1,59385 = 159 $

                                                              157 $ < 159 $
Ответ : За год 157 $.За два полугодия 159 $.Выгодно начисления в каждом полугодии.

2.Задача. На размещённые в банке 100 000$ по условию годового депозита начисляются 32% годовых, с пересчётом в конце каждого квартала. Определить величину вклада в конце года.

 PV = 100 000$ , I  = 0,32  n = 1  k = 4 ( в году 4 квартала). Найти- FV- ?

Решение :

                                FV = 100 000 ∙ (1+ 0,32/4)⁴ = 100 ∙ 1,3604889 = 136048,89 $

Ответ : Величина вклада  в конце года  136048,89 $.

Учитель предлагает для учащихся решить задачу самостоятельно .

3.Задача : Определите будущую стоимость 5 000$ , вложенных  под 12 % годовых на 18 месяцев с пересчётом накопления

                                                 а) в конце каждого полугодия

                                                 б) в конце каждого месяца

PV = 5 000$ I = 0,12 n = 1,5 года  а)   k = 2  б) k = 12  Найти FV-?

Учащиеся .

-Решение :

      А) n ∙ k = 3 ,  FV= 5000 ∙ (1 + 0,12/2)³ = 5000 ∙ 1,262477 = 6312,38 $

      Б) n ∙ k = 12 ∙ 1,5 = 18 ,  FV=5000 ∙ (1 + 0,12/12)¹⁸ = 5000 ∙ 1,01¹⁸ = 5980,73 $

Ответ: а)  6312,38 $, б) 5980,73 $.

Учитель : -Теперь рассмотрим случай , когда рассматриваются серия равномерных равновеликих вкладов под проценты в течении определённого количества периодов.

На доске (интердоске): « Серия равномерных платежей (РМТ – payment) разделённых одинаковыми временными периодами называется  аннуитетом.)

 Учитель : Будущая стоимость обычного аннуитета рассчитывается по формуле

На доске (интердоске) 

«  FV = РМТ ∙ (( 1+ I )ⁿ - 1) : i      FV = РМТ ∙ (( 1 + i/k)* - 1 ) : i/k ,где  *=  n∙k»

 I – ставка банка , n = количество периодов начисления, k =  число платежей в году.

 4.Задача . Предприниматель Н. , каждый год кладёт на свой счёт 1 000$ , под 12% годовых .Какая сумма накопится на счёте за 8 лет?

РМТ = 1 000 $ , I = 0,12 , n = 8лет . Найти   FV - ?

Решение :   FV = 1 000 ∙(( 1 + 0,12)⁸ - 1) : 0,12 =                                                

 =  1 000 ∙ (1,12⁸ - 1)/0,12 = 1 000 ∙ 12,29969 = 12 299,69 $

Ответ : примерно 12 300$

Учитель предлагает для учащихся решить задачу самостоятельно

5.Задача.Молодая семья копит деньги для первоначального взноса  за квартиру. Сколько денег будет на счету через 3 годя и 4 месяца , если в конце каждого месяца могут вносить 100$ под 12%годовых.

РМТ = 100$ I = 0,12 n = 3 ⅓  года k = 12 мес. Найти FV - ?

Учащиеся -Решение : 

3 ⅓ ∙ 12 = 40    FV = 100 ∙ ((1 + 0,12/12)⁴⁰ -1 ) : 0,12/12  =    100 ∙ ((1  + 0,01)⁴⁰ - 1  ) : 0,01  = 100 ∙ (1,48886 -1)/0,01   = 4 888,6$

Ответ :на счету будет 4 888,6$

Учитель : Итак сегодня мы познакомились с понятием сложных процентов . В финансовой математике изучается шесть денежных функций. Мы изучили только две.

 - Будущая стоимость денежной единицы.

- Будущая стоимость аннуитета.

4. Итог урока .Выставление оценок.(5 мин)

   Дом.задание. :Задача 1. На размещение в банке 100 000$ по условию годового депозита начисляются 32%., с пересчётом накопления в конце каждого квартала (4месяца).Определить величину вклада в конце года.

                             Задача 2.Допустим Вы решили накопить в течении 30 лет деньги. С этой целью завели депозитный счёт , на который ежегодно вносится 500$ под 8% годовых. Какова будет сумма к концу срока , если платежи вносятся в конце года.( FV = 500 ∙ ((1 + 0,08)³⁰ - 1)/0.08 = 56641,5$)

 Приложение .

Решение задач( для см.работы или контр. работы)

1 Определите будущую стоимость 600$ , вложенных под 12% годовых  на 18 месяцев при ежеквартальным начислении процентов.

            Решение: i= 0,12 ,n = 1,5 , k = 4 , PV = 600$

FV = PV  ∙ (1+i)ⁿ = 600(1+ 0,12/4)*, где * = 6 , FV = 600 ∙ 1,03* = 600 ∙ 1,19405=716,43$.

2.Участок  земли куплен сегодня за 50 000$ .Покупатель ожидает прироста её стоимости в среднем на 2% в год. Предполагается через семь лет продать этот участок. Сколько выручит за него собственник.

            Решение : PV  = 50 000$ , I = 2% = 0,02 , n = 7

FV = 50 000(1+0,02)ⁿ = 50 000 ∙ 1,02ⁿ = 50 000∙ 1,1487=57434,27 $.

3.Какова будущая стоимость 1000$, вложенных под 10% годовых на 30 месяцев ,при ежегодном начислении процентов.

Решение : PV = 1000$  , I = 0,1 , n= 2,5

FV = 1000 ∙ (1+ 0,1)ⁿ = 1000 ∙1,1ⁿ = 1000 ∙ 1,26918=1269,18$.

4. Дом  за городом куплен три года назад за 98500 $ .Стоимость недвижимости в этом районе увеличивается  в среднем на 5 % в год. Определите сегодняшнюю рыночную стоимость этого дома.

Решение :PV = 98500 $ , I = 0,05  FV = 98500 ∙ (1 + 0,05)³ = 114026,06 $

5 .Некто откладывает деньги к выходу на пенсию через 10 лет. Планируется вносить на счёт по 100 $ в конце каждого года под 12% годовых. Какая сумма накопится на счёте к моменту выхода на пенсию.

Решение : РМТ = 100 $ , I = 0,12 , n = 10

FV = 100 ∙ ((1 + 0,12)¹⁰  - 1) : 0,12 = 100 ∙ 17,549  ~ 1755 $

6.Вы хотите приобрести микроавтобус « Газель» за 6 000$. Через сколько лет удастся реализовать ваш план , если ежемесячные вклады составят 50 $ под 18 % годовых.

Решение : FV = 6 000$ , РМТ = 50$ , I = 0,18 , k = 12 , n-?

6000 = 50 ∙ ((1 + 0,18/12)* - 1) : (0,18/12) , где  * = n ∙12

6 000  ∙ 0,015/50 = 1,015*-1

1,8 +1 = 1,015*

2,8 = 1,015*

N ~ 6 лет

7. Решив купить гараж , Вы в конце каждого квартала откладываете по 400 $. Какую сумму удастся  накопить за четыре года при 10% годовых.

Решение : РМТ = 400 $ , n = 4 , I = 0,1 , k = 4

FV = РМТ ∙ (( 1 + I/k )*- 1) : I /k , где * = n ∙ k

FV = 400 ∙ ((1 + 0,1/4)⁴˙⁴ - 1 ) : 0,1/4 = 400 ∙ ((1 + 0,025)⁴˙⁴ - 1) : 0,025 = 400 ∙ 0,484505  /0,025 = 400 ∙ 19,3802 = 7752,08 $

8. Молодая семья хочет купить дачу через 6 лет. Имея возможность откладывать ежегодно по 1200$ под 14 % годовых на какую сумму они могут рассчитывать к концу срока накопления.

А) откладывают в конце года

РМТ = 1200 $ ,I = 0,14 , n = 6лет , FV = 1200 ∙( (1+ 0,14)ⁿ - 1) : 0,14 ,где  n = 6

FV = 1200 ∙ 8,5355 = 10242,62$

Б) откладывают в начале года

FV = 1200 ∙( (( 1 + 0,14)* - 1) : 0,14 -1 ) ,где * = 6+1

FV = 1200 ∙ (((1,14* - 1 ) : 0,14 – 1) = 1200 ∙ (10,73049 – 1)= 1200 ∙ 9,7305 = 11676,53$