Конспект урока на тему " Радианная мера угла"

1.                 Число:

2.                 Тема урока: Радианная мера угла

3.                 Тип урока: урок ознакомления с новым материалом

4.                 Цель урока: познакомить учащихся с понятием радианная мера угла

5.                  Учебно-воспитательные задачи урока:

Образовательные

·         Рассмотреть связь между радианной и градусной мерами угла;

·         Закрепить умения выполнять переход от радианной меры угла к градусной мере и наоборот.

·         Развивающие

·         Развитие умений выделять главное, существенное в изученном материале

·         Формирований умений пользоваться алгоритмом перевода радианной меры угла к градусной мере и наоборот

·         Воспитательные

·         воспитания интереса к предмету

·         воспитание ответственного отношения к своему образованию.

6.     Средства обучения: индивидуальные конспекты, записи на доске, учебник «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 Ш.А.Алимов, Ю.М.Колягин, М.В.Ткачева, Н.Е.Федорова, М.И.Шабунин.  М.: Просвещение, 2014.

7.                 План урока

№	Этапы урока	время	Методы и методические приемы
1	Орг.момент	1 мин	Словесный(приветствие)
2	Сообщение темы и целей урока	1 мин	Словесный, практический
3	Изложение нового материала	15 мин	Словесный, практический
4	Закрепление материала	20 мин	Практический
5	Подведение итогов. Домашнее задание. Рефлексия	3 мин	Словесный (запись на доске), оценивание

8. Ход урока

I. Организационный момент. Приветствие учителя. Проверка готовности класса к уроку.

II. Сообщение темы и целей урока.

III. Объяснение нового материала.

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы, давайте вспомним некоторые понятия из курса геометрии.

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Градусом называют величину центрального угла, которому соответствует    часть окружности. 

Градусная мера угла – это положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в измеряемом угле.

Углы можно измерять только в градусах? Сегодня на уроке мы рассмотрим ещё одну единицу измерения углов.

Давайте изобразим окружность с центром в точке   и радиусом   . Затем проведём вертикальную прямую, которая касается окружности в точке   . Эту прямую мы будем считать числовой осью с началом отсчёта в точке  . Положительным направлением на прямой будем считать направление вверх. За единичный отрезок на числовой оси возьмём радиус окружности.

Отметим на прямой несколько точек:   и ,  и ,  и ,  и ,  и .

Теперь представим нашу прямую в виде нерастяжимой нити, которая закреплена на окружности в точке   . Будем наматывать нить на окружность. При этом точки на числовой прямой с координатами  , , ,  перейдут соответственно в точки окружности , , , . При этом длина дуги  равна , длина дуги  равна , длина дуги  равна , длина дуги  равна .

Получается, что каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Так, точке прямой с координатой  ставится в соответствие точка . А значит, угол  можем считать единичным? Да, и его мерой мы будем измерять другие углы. Например, угол  следует считать равным , а угол  равным .  Такой способ измерения углов считается измерением  в радианной мере.

Единичный угол   называют углом в один радиан. Записывают так:  рад.

И напомним, что длина дуги    равна радиусу нашей окружности.

Сейчас давайте рассмотрим окружность радиуса  . И отметим на ней дугу  , равную длине радиуса окружности, и угол .

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

Давайте найдём градусную меру угла в один радиан. Мы знаем из курса геометрии, что дуге длиной , то есть полуокружности, соответствует центральный угол, равный . Следовательно, дуге окружности длиной  соответствует угол в  раз меньший. 

Выше мы назвали такой угол углом в один радиан, а значит, можем записать, что рад . , тогда рад .

Если угол содержит  рад, то

 рад   (1) -формула перехода от радианной меры к градусной.

Пример: найдём градусную меру угла, равного  рад.

Воспользуемся формулой перехода от радианной меры к градусной. Подставим  вместо : .  Получим .

Можно перейти от градусной меры к радианной: так как угол в  равен  рад, то  рад. Тогда

  рад   (2) - формула перехода от градусной меры к радианной.

Пример: найдём радианную меру угла, равного .

Воспользуемся формулой перехода от градусной меры к радианной. Подставим  вместо : . Получим .

При обозначении меры угла в радианах слово «радиан» обычно не пишут: .

Обозначение градуса в записи меры угла пропускать нельзя.

В следующей таблице представлены углы в градусной и радианной мере, с которыми мы будем встречаться чаще всего.

Радианная мера угла удобна для вычисления длины дуги окружности. Так, выше мы выяснили, что угол в  рад стягивает дугу, длина которой равна радиусу , а значит, угол в  рад стягивает дугу длиной:    (3).

 Если , то эта формула принимает совсем простой вид: , то есть длина дуги равна величине центрального угла, стягиваемого этой дугой.

Сейчас, прежде чем приступить к выполнению заданий, мы докажем, что площадь кругового сектора радиуса , образованного углом в  рад, равна                       (4)   , где .

Докажем это. Известно, что площадь круга вычисляется по формуле:  Площадь полукруга, то есть кругового сектора в  рад: . Тогда площадь сектора в  рад в  раз меньше, то есть . Следовательно, площадь сектора в  рад равна .

И немного истории: Впервые радиан как единица измерения был использован английским математиком Роджером Котсом в 1713 году. Он считал, что радиан является наиболее естественной единицей измерения углов. Термин «радиан» впервые появился в печати в 1873 году в экзаменационных билетах Университета Квинса в Белфасте, составленных британским инженером и физиком Джеймсом Томсоном.

В 1960 году XI Генеральной конференцией по мерам и весам радиан был принят в качестве единицы измерения плоских углов в Международной системе единиц (СИ).

IV. Закрепление материала

Пример 1. Найти градусную меру угла, равного  рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим . Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Решение:   рад

 рад  Ответ:  рад,  рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3), получим: 

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла  .

Решение: По формуле (4) вычисляем 

Ответ: 45  м²

Физкультминутка.

Дополнительные задания:

1. Найдите градусную меру угла, выраженную в радианах:

 а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Решение.

2. Найдите радианную меру угла, выраженного в градусах:

 а) ; б) ; в) ; г) .

Решение.

3. Чему равен радиус окружности, если дуге длиной  см соответствует центральный угол в  рад?

Решение.

4. Дуге кругового сектора соответствует угол, равный  рад. Чему равна площадь сектора, если радиус круга равен  см?

Решение.

V. Итоги урока. Рефлексия

 Домашнее задание.  П.21 . №№ 407,408, 411.