Для всех учителей из 37 347 образовательных учреждений по всей стране

Скидка до 75% на все 778 курсов

Выбрать курс
Инфоурок Алгебра КонспектыКонспект урока на тему "Решение тригонометрических неравентсв"

Конспект урока на тему "Решение тригонометрических неравентсв"

библиотека
материалов

Решение тригонометрических неравенств.

Урок-лекция


Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для
восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и
вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений. Особый упор нужно делать на методике обучения решения 
простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические
неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших
тригонометрических неравенств.

  1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.

  2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.

  3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Рt1, другую точку – Рt2.

  4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток удовлетворяющий данному неравенству.

  5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.

  6. Определяем направление движения по дуге (от точки Рt1 к точке Рt2по дуге),
    изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для
    контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения
    неравенства 
    по графику синуса или косинуса и по окружности).

  7. Находим координаты точек Рt1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Рt2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t1и t2.

  8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Конспект урока по теме: “Решение
тригонометрических неравенств”.


Задача урока

изучить тему решение тригонометрических неравенств,содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы,
самопроверки;

воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету,
уважения к одноклассникам.

формирование учебно-познавательных,информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование:

Проектор, компьютер,раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок - лекция. 

Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемнопоисковые,индивидуального и фронтального опроса, устного иписьменного самоконтроля, самостоятельной работы. Учебная дисциплина:Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока:урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

Цели урока:

1) образовательные:

  • показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

  • учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

2) развивающие:

  • развитие умения обобщать полученные знания;

  • развитие логического мышления;

  • развитие внимания;

  • развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

3) воспитательные:

  • учить высказывать свои идеи и мнения;

  • формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

  • формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Методы обучения:

  • наглядно - иллюстративный;

Дидактическая цель урока: Создание условий:

  • для соединения новой информации с уже изученным материалом;

  • для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

  • для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

  • для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование:

  • учебник Никольского «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

  • проектор, доска;

  • презентация MS PowerPoint.

План урока

  1. Оргмомент 1 мин

  2. Проверка д\з 3 мин

  3. Объяснение нового материала 35 мин

  4. Д\з 3 мин

  5. Подведение итогов 3 мин

Ход урока

1.Оргмомент

2. Проверка д\з у доски №11.29-11.31(в,г)

3.Объяснение нового материала

На этом занятии мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим тригонометрических неравенства вида sint. Вот они:hello_html_m2decb2b4.jpg

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

hello_html_19bb8bab.jpg

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).hello_html_m6aa7c9a2.jpg

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

hello_html_488abd3a.jpg

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса. hello_html_m378eacd1.jpg Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

.hello_html_m4fccfe18.jpg Проводим прямую.

hello_html_m7dfe509f.jpg

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

hello_html_m7358683d.jpg

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

hello_html_1c1b054c.jpg

Решим второе неравенство.

hello_html_431301f1.jpg

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1клетку вниз.

hello_html_173bd0f3.jpg

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

hello_html_7506da1f.jpg

hello_html_m48e49fd3.jpgЗаписываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

hello_html_169c7faa.jpg

hello_html_342e1632.jpg

hello_html_m7927a84e.jpgВ выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместоt подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

 И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤а≤1) справедлива формула:

π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Мы решили три неравенства вида sint. На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a, где -1≤а≤1.

hello_html_e3a2966.jpg

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем первое неравенство:

hello_html_m7886accd.jpg

.

hello_html_m36ebba5d.jpg

hello_html_4497ba57.jpg

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t, удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х.Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

hello_html_m41de861a.jpg

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида:sint≥a. Далее  мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

hello_html_m5fb23fdf.jpg

Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга)  применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута. Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Если sint>a, где  -1≤a≤1, то  arcsin a + 2πn < t < π arcsin a + 2πn, nєZ.


Рассмотрим неравенства вида cost:

hello_html_e11eef6.jpg

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (tбудет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функцииy=cosx также называют синусоидой!)

Первое неравенство.

hello_html_m3752970c.jpg

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

hello_html_6b69f9a7.jpg

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функцииy=sinx., т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

hello_html_3496031f.jpg

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

hello_html_m61e137c6.jpg а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

hello_html_23f1a090.jpg

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx.

hello_html_m1a602060.jpg

hello_html_m321d72d7.jpg

hello_html_m5e2269dd.jpg

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

hello_html_31da6e03.jpg

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

hello_html_m3efc55d7.jpg

Второе неравенство.

hello_html_m46af5b0.jpg

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

hello_html_m5f5f47a.jpg

hello_html_7548a9e3.jpg

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства  для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Выразим х.

Ответ запишем в виде промежутка.

Третье неравенство.

hello_html_m78a10528.jpg

hello_html_m3c26ba48.jpg

hello_html_m3b9955f2.jpg

А теперь формула, которой вам следует воспользоваться на экзамен ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost

Если  cost, (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Примените эту формулу для решения рассмотренных неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!    

Рассмотрим тригонометрические неравенства вида: cost>a.

hello_html_m6ef1fa51.jpg

Используем алгоритм решения, как в предыдущем случае:

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Пример 1.

hello_html_m6804589e.jpg

hello_html_7ca41c28.jpg

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t, при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х.

hello_html_6d86d49a.jpg

Пример 2.

hello_html_m2356f6ee.jpg

Выделяем промежуток значений t, при которых синусоида находится выше прямой.

hello_html_9571168.jpg

hello_html_45f524ce.jpg

Записываем в виде двойного неравенства значения t,удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен. Возвращаемся к переменной х, постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Пример 3.

hello_html_m774aab8a.jpg

hello_html_m4cbd3600.jpg

Нас будет интересовать промежуток значений t, при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

hello_html_56e41225.jpg

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для и выразим х. Ответ запишем в виде числового промежутка.

hello_html_m68d5171f.jpg


И снова формула, которой вам следует воспользоваться на ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost>a.

Если  cost>a, (-1≤а≤1), то - arccos a + 2πn < t < arccos a + 2πn, nєZ.

Применяйте  формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы  сэкономите время на экзаменационном тестировании.



4.Домашнее задание №11.33-11.37 (а-Б)

5.Подведение итогов

Курс повышения квалификации
Курс профессиональной переподготовки
Учитель математики
Найдите материал к любому уроку,
указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
также Вы можете выбрать тип материала:
Общая информация
Учебник: «Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Алгебра и начала математического анализа (базовый и углублённый уровни) (в 2 частях)», Ч.1.: Мордкович А.Г., Семенов П.В.; Ч.2.: Мордкович А.Г. и др., под ред. Мордковича А.Г.
Тема: Глава 3. Тригонометрические уравнения

Номер материала: ДБ-921033

Вам будут интересны эти курсы:

Курс профессиональной переподготовки «Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Изучение вероятностно-стохастической линии в школьном курсе математики в условиях перехода к новым образовательным стандартам»
Курс профессиональной переподготовки «Экономика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и предоставление туристских услуг»
Курс повышения квалификации «Основы управления проектами в условиях реализации ФГОС»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС технических направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Организация практики студентов в соответствии с требованиями ФГОС медицинских направлений подготовки»
Курс повышения квалификации «Особенности подготовки к сдаче ОГЭ по математике в условиях реализации ФГОС ООО»
Курс профессиональной переподготовки «Математика и информатика: теория и методика преподавания в образовательной организации»
Курс повышения квалификации «Страхование и актуарные расчеты»
Курс повышения квалификации «Финансы предприятия: актуальные аспекты в оценке стоимости бизнеса»
Курс повышения квалификации «Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО»
Курс профессиональной переподготовки «Организация и управление процессом по предоставлению услуг по кредитному брокериджу»
Курс профессиональной переподготовки «Технический контроль и техническая подготовка сварочного процесса»

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.