Конспект урока на тему "Решение тригонометрических неравентсв"

Решение тригонометрических неравенств.

Урок-лекция

Тема “Тригонометрические неравенства” является объективно сложной для
восприятия и осмысления учащимися 10-го класса. Поэтому очень важно последовательно, от простого к сложному формировать понимание алгоритма и
вырабатывать устойчивый навык решения тригонометрических неравенств.

Успех освоения данной темы зависит от знания основных определений и свойств
тригонометрических и обратных тригонометрических функций, знания
тригонометрических формул, умения решать целые и дробно-рациональные неравенства, основные виды тригонометрических уравнений. Особый упор нужно делать на методике обучения решения простейших тригонометрических неравенств, т.к. любое тригонометрическое неравенство сводится к решению простейших неравенств

Первичное представление о решении простейших тригонометрических неравенств предпочтительно вводить, используя графики синуса, косинуса, тангенса и котангенса. И только после учить решать тригонометрические
неравенства на окружности.

Остановлюсь на основных этапах рассуждения при решении простейших
тригонометрических неравенств.

1. Находим на окружности точки, синус (косинус) которых равен данному числу.

2. В случае строгого неравенства отмечаем на окружности эти точки, как выколотые, в случае нестрогого – как заштрихованные.

3. Точку, лежащую на главном промежутке монотонности функции синус (косинус), называем Р_t1, другую точку – Р_t2.

4. Отмечаем по оси синусов (косинусов) промежуток удовлетворяющий данному неравенству.

5. Выделяем на окружности дугу, соответствующую данному промежутку.

6. Определяем направление движения по дуге (от точки Р_t1 к точке Р_t2по дуге),
   изображаем стрелку по направлению движения, над которой пишем знак “+” или “-” в зависимости от направления движения. (Этот этап важен для
   контроля найденных углов. Ученикам можно проиллюстрировать распространенную ошибку нахождения границ интервала на примере решения
   неравенства по графику синуса или косинуса и по окружности).

7. Находим координаты точек Р_t1 (как арксинус или арккосинус данного числа)и Р_t2т.е. границы интервала, контролируем правильность нахождения углов, сравнивая t₁и t_2.

8. Записываем ответ в виде двойного неравенства (или промежутка) от меньшего угла до большего.

Конспект урока по теме: “Решение
тригонометрических неравенств”.

Задача урока

– изучить тему решение тригонометрических неравенств,содержащих функции синус и косинус, перейти от простейших неравенств к более сложным.

Цели урока:

 закрепление знаний тригонометрических формул, табличных значений тригонометрических функций, формул корней тригонометрических уравнений;

 формирование навыка решения простейших тригонометрических неравенств;

 освоение приёмов решения более сложных тригонометрических неравенств;

 развитие логического мышления, смысловой памяти, навыков самостоятельной работы,
самопроверки;

 воспитание аккуратности и чёткости в оформлении решения, интереса к предмету,
уважения к одноклассникам.

 формирование учебно-познавательных,информационных, коммуникативных компетенций.

Оборудование:

Проектор, компьютер,раздаточные карточки с готовыми чертежами тригонометрических кругов, переносная доска, карточки с домашним заданием.

Форма организации обучения – урок - лекция. 

Методы обучения, используемые на уроке – словесные, наглядные, репродуктивные, проблемнопоисковые,индивидуального и фронтального опроса, устного иписьменного самоконтроля, самостоятельной работы. Учебная дисциплина:Математика.

Тема: «Решение простейших тригонометрических неравенств»

Тип урока:урок усвоения нового материала с элементами первичного закрепления.

Цели урока:

1) образовательные:

• показать алгоритм решения тригонометрических неравенств с использованием единичной окружности.

• учить решать простейшие тригонометрические неравенства.

2) развивающие:

• развитие умения обобщать полученные знания;

• развитие логического мышления;

• развитие внимания;

• развитие у учащихся грамотной устной и письменной математической речи.

3) воспитательные:

• учить высказывать свои идеи и мнения;

• формировать умения помогать товарищам и поддерживать их;

• формировать умения определять, чем взгляды товарищей отличаются от собственных.

Методическая цель: показать технологию овладения знаниями на уроке изучения новых знаний.

Методы обучения:

• наглядно - иллюстративный;

Дидактическая цель урока: Создание условий:

• для соединения новой информации с уже изученным материалом;

• для развития умения осуществлять анализ и отбор необходимой информации;

• для развития умений делиться своими идеями и мнениями.

• для развития логики, навыков рефлексии.

Форма организации учебной деятельности: коллективная, индивидуальная.

Оборудование:

• учебник Никольского «Алгебра и начала анализа», 10-11 класс;

• проектор, доска;

• презентация MS PowerPoint.

План урока

1. Оргмомент 1 мин

2. Проверка д\з 3 мин

3. Объяснение нового материала 35 мин

4. Д\з 3 мин

5. Подведение итогов 3 мин

Ход урока

1.Оргмомент

2. Проверка д\з у доски №11.29-11.31(в,г)

3.Объяснение нового материала

На этом занятии мы будем решать графическим способом тригонометрические неравенства одного какого-то вида. Сегодня мы решим тригонометрических неравенства вида sint. Вот они:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду.

Для построения графика функции y=sinx выберем единичный отрезок, равный двум клеткам. Тогда по горизонтальной оси Ох значение π (≈3,14) составит шесть клеток. Рассчитываем остальные значения аргументов (в клетках).

Вот как будет выглядеть координатная плоскость.

Эти точки мы взяли из таблицы значений синуса.  Также используем свойство нечетности функции y=sinx (sin (-x)=-sinx), периодичность синуса (наименьший период Т=2π) и известное равенство: sin (π-x)=sinx. Проводим синусоиду

. Проводим прямую.

Теперь нам предстоит определить такие две точки пересечения синусоиды и прямой, между которыми синусоида располагается ниже, чем прямая. Крайняя точка справа определена, абсцисса ближайшей искомой отстоит от начала отсчета влево на 8 клеток. Построим ее и определим.

Между этими (выделенными) значениями аргумента и находится та часть синусоиды, которая лежит ниже данной прямой, а значит, промежуток между этими выделенными точками удовлетворяет данному неравенству. Учтем период синуса, запишем результат в виде двойного неравенства, а ответ в виде числового промежутка.

Решим второе неравенство.

Синусоиду строим так же, а прямая будет параллельна оси Оt и отстоять от нее на 1клетку вниз.

Определяем промежуток, внутри которого точки синусоиды лежат ниже прямой.

Записываем промежуток значений введенной переменной t. Возвращаемся к первоначальному значению аргумента (2х). Все части двойного неравенства делим на 2 и определяем промежуток значений х. Записываем ответ в виде числового промежутка.

Аналогично решаем и третье неравенство.

В выделенном промежутке синусоида располагается ниже прямой, поэтому, учитывая периодичность функции синуса, запишем в виде двойного неравенства значения t. Затем вместоt подставим первоначальный аргумент синуса и будем выражать х из полученного двойного неравенства.

Ответ запишем в виде числового промежутка.

 И, напоследок: знаете ли вы, что математика — это определения, правила и ФОРМУЛЫ?!

Конечно, знаете! И самые любознательные, изучив эту статью и просмотрев видео, воскликнули: «Как долго и сложно! А нет ли формулы, позволяющей решать такие неравенства безо всяких графиков и окружностей?» Да, разумеется, есть!

ДЛЯ РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ ВИДА: sint (-1≤а≤1) справедлива формула:

— π — arcsin a + 2πn < t < arcsin a + 2πn,  nєZ.

Примените ее к рассмотренным примерам и вы получите ответ гораздо быстрее!

Мы решили три неравенства вида sint. На этом уроке мы рассмотрим три неравенства вида sint>a, где -1≤а≤1.

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=sint  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков (поближе к оси Оу), между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период синуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решаем первое неравенство:

.

Учитывая периодичность функции синуса, запишем двойное неравенство для значений аргумента t, удовлетворяющий последнему неравенству. Вернемся к первоначальной переменной. Преобразуем полученное двойное неравенство и выразим переменную х.Ответ запишем в виде промежутка.

Решаем второе неравенство:

При решении второго неравенства нам пришлось преобразовать левую часть данного неравенства по формуле синуса двойного аргумента, чтобы получить неравенство вида:sint≥a. Далее  мы следовали алгоритму.

Решаем третье неравенство:

Имейте ввиду, что такие способы решения тригонометрических неравенств, как приведенный выше графический способ и, наверняка, вам известный, способ решения с помощью единичной тригонометрической окружности (тригонометрического круга)  применимы лишь на первых этапах изучения раздела тригонометрии «Решение тригонометрических уравнений и неравенств». Думаю, вы припомните, что и простейшие тригонометрические уравнения вы вначале решали с помощью графиков или круга. Однако, сейчас вам не придет в голову решать таким образом тригонометрические уравнения. А как вы их решаете? Правильно, по формулам. Вот и тригонометрические неравенства следует решать по формулам, тем более, на тестировании, когда дорога каждая минута. Итак, решите три неравенства этого урока по соответствующей формуле.

Если sint>a, где  -1≤a≤1, то  arcsin a + 2πn < t < π — arcsin a + 2πn, nєZ.

Рассмотрим неравенства вида cost:

Составим алгоритм решения.

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается ниже прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса Т=2π (tбудет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Решение тригонометрических неравенств с помощью графиков надежно страхует нас от ошибок только в том случае, если мы грамотно построим синусоиду. (График функцииy=cosx также называют синусоидой!)

Первое неравенство.

Преобразуем левую часть неравенства по формуле косинуса двойного аргумента:

Координатную плоскость готовим так же, как готовили для построения графика функцииy=sinx., т.е. единичный отрезок берем равным двум клеткам, тогда значение π изображаем равным шести клеткам и т.д. Вот так должна выглядеть координатная плоскость для построения синусоид:

Воспользуемся таблицей значений косинусов некоторых углов:

 а также свойствами: графиков четных функций, непрерывностью и периодичностью функции косинуса. Отмечаем точки:

Проводим через эти точки кривую — график функции y=cosx.

Определяем промежуток значений х, при которых точки синусоиды лежат ниже точек прямой.

Учтем периодичность функции косинуса и запишем в виде двойного неравенства решение данного неравенства:

Второе неравенство.

Находим абсциссы точек пересечения графиков, между которыми график косинуса лежит ниже прямой.

Концы этого промежутка тоже являются решениями неравенства, так как неравенство нестрогое.

Запишем решение в виде двойного неравенства  для переменной t.

Подставим вместо t первоначальное значение аргумента.

Выразим х.

Ответ запишем в виде промежутка.

Третье неравенство.

А теперь формула, которой вам следует воспользоваться на экзамен ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost

Если  cost, (-1≤а≤1), то arccos a + 2πn < t < 2π — arccos a + 2πn, nєZ.

Примените эту формулу для решения рассмотренных неравенств, и вы получите ответ гораздо быстрее и безо всяких графиков!    

Рассмотрим тригонометрические неравенства вида: cost>a.

Используем алгоритм решения, как в предыдущем случае:

1. Если аргумент — сложный (отличен от х), то заменяем его на t.

2. Строим в одной координатной плоскости tOy графики функций y=cost  и y=a.

3. Находим такие две соседние точки пересечения графиков,  между которыми синусоида располагается выше прямой у=а. Находим абсциссы этих точек.

4. Записываем двойное неравенство для аргумента t, учитывая период косинуса (t будет между найденными абсциссами).

5. Делаем обратную замену (возвращаемся к первоначальному аргументу) и выражаем значение х из двойного неравенства, записываем ответ в виде числового промежутка.

Пример 1.

Далее, по алгоритму, определяем те значения аргумента t, при которых синусоида располагается выше прямой. Выпишем эти значения в виде двойного неравенства, учитывая периодичность функции косинуса, а затем вернемся к первоначальному аргументу х.

Пример 2.

Выделяем промежуток значений t, при которых синусоида находится выше прямой.

Записываем в виде двойного неравенства значения t,удовлетворяющих условию. Не забываем, что наименьший период функции y=cost равен2π. Возвращаемся к переменной х, постепенно упрощая все части двойного неравенства.

Ответ записываем в виде закрытого числового промежутка, так как неравенство было нестрогое.

Пример 3.

Нас будет интересовать промежуток значений t, при которых точки синусоиды будут лежать выше прямой.

Значения t запишем в виде двойного неравенства, перезапишем эти же значения для 2хи выразим х. Ответ запишем в виде числового промежутка.

И снова формула, которой вам следует воспользоваться на ЕГЭ при решении тригонометрического неравенства вида cost>a.

Если  cost>a, (-1≤а≤1), то - arccos a + 2πn < t < arccos a + 2πn, nєZ.

Применяйте  формулы для решения тригонометрических неравенств, и вы  сэкономите время на экзаменационном тестировании.

4.Домашнее задание №11.33-11.37 (а-Б)

5.Подведение итогов