Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему "Решение задач ЕГЭ по геометрии (стереометрия)"
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 26 апреля.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока на тему "Решение задач ЕГЭ по геометрии (стереометрия)"

библиотека
материалов


МБОУ «БАШКИРСКИЙ ЛИЦЕЙ №2» ГОРОДСКОГО ОКРУГА ГОРОД УФА РЕСПУБЛИКИ БАШКОРТОСТАН

















Открытый урок в рамке недели математики на тему:

«Решение задач ЕГЭ по геометрии (стереометрия)»















 Подготовила и провела учитель высшей категории: Газизова Г.С.









Уфа 2014

Тема: Решение задач ЕГЭ по геометрии (стереометрия)

Класс: 10-11

Школа: « Башкирский лицей № 2»

Цель урока: Формирование навыков решения задач по геометрии (стереометрия).

Задачи:

- образовательные: организовать деятельность учащихся по применению знаний при решении задач;

- развивающие: развитие логического мышления, памяти, наблюдательности, умения правильно обобщать данные и делать выводы, сравнивать;

- воспитательные: воспитание аккуратности и внимательности.

Тип урока: урок обобщения и систематизации знаний.

Структура урока:

  1. Организационный момент

  2. Актуализация опорных знаний

  3. Применение знаний при решении задач

  4. Подведение итогов урока.

1) Организационный момент

Единый государственный экзамен (ЕГЭ) — это форма объективной оценки качества подготовки лиц, освоивших образовательные программы среднего (полного) общего образования, с использованием контрольных измерительных материалов (КИМ)

ЕГЭ по математике, как и по русскому языку, является обязательным для сдачи при окончании 11-го класса. Это один из самых сложных экзаменов, об этом говорит статистика сдачи за прошлые годы. По сравнению с русским языком 100 баллов по математике получило в 9 раз меньшее количество сдававших, а процент двоек – выше в 2 раза. Также по статистике каждый третий учащийся не приступает к части С. Не стоит пугаться статистики, ведь чем сложнее экзамен, тем меньше конкуренция среди сдавших при поступлении в вузы.

2) Актуализация опорных знаний

Стереометрии в экзаменационных вариантах ЕГЭ по математике посвящены задачи B10, В13(повышенного уровня сложности) и C2 (высокого уровня сложности).

Задачи B10 В13 - площади и объемы многогранников:

  1. Довольно интересная стереометрическая задача. По условию, дается простой многогранник, затем его немного изменяют (растягивают, сжимают, секут плоскостями). Требуется найти объем или площадь нового многогранника. Иногда вместо многогранника дают тела вращения: шары, цилиндры и конусы — смысл задачи от этого не меняется.

  2. Дан многоугольник (тело вращения) и известны его стороны, ребра, (диаметр, высота). Требуется найти его площадь (объем).

  3. Одна из самых распространенных задач в части B— такая, где надо посчитать объем или площадь поверхности многогранника, из которого какая-нибудь часть вырезана.

  4. Следующий тип задач — когда одно объемное тело вписано в другое.

  5. Еще один тип задач — такие, в которых надо найти объем части конуса, или части пирамиды.

  6. Последний тип задач- задачи на нахождении площади сечения тел вращения (многогранников).

Почти все задачи B10 в настоящем ЕГЭ по математике решаются элементарно. Иногда — вообще устно. Есть, конечно, и такие, где приходится работать «напролом» и много считать. Для них разработаны специальные приемы из высшей математики. Их мы рассмотрим ниже.

Задача C2 — углы и отрезки в стереометрии:

В задаче C2 рассматриваются многогранники, на основе которых, как правило, нужно найти одну из следующих величин:

  1. Угол между скрещивающимися прямыми 

  2. Угол между прямой и плоскостью 

  3. Угол между двумя плоскостями 

Нововведением в задание С2 являются задачи на нахождение отношений величин, например, отношение объема части фигуры к объему всей фигуры, в каком отношении полученная плоскость делит фигуру.

Давайте вспомним:

1) многогранники:

- куб

Площадь куба:

Объем куба:

- параллелепипед

hello_html_15393595.png

Объем параллелепипеда: , где - высота.

Площадь прямоугольного параллелепипеда: , где – ширина, длина и высота параллельного параллелепипеда.

Диагональ

Объем прямоугольного параллелепипеда: .

- призма

hello_html_m4fa1fd9c.png

Площадь призмы:

Объем призмы:

- пирамида

hello_html_78313de9.png

Площадь пирамиды:

Объем пирамиды:

2) Тела вращения

- цилиндр

hello_html_m6dbaf888.png

Площадь цилиндра:

Объем цилиндра:

- конус

hello_html_68f46908.jpg

Площадь конуса: , - образующая


Объем конуса:

- шар

hello_html_725bd2d.jpg

Площадь шара:

Объем шара:

Основные аксиомы, теоремы и определения стереометрии

  1. Рассмотрим систему аксиом стереометрии Погорелова А. В :

Аксиома 1. Какова бы ни была плоскость, существуют точки, принадлежащие плоскости и точки, не принадлежащие ей.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. Если две различные плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Следствие 2. Если две точки прямой принадлежат плоскости, то вся прямая принадлежи этой плоскости.

Аксиома 3. Если две различные прямые имеют общую точку, то через них можно провести плоскость, и притом только одну.

Следствие 3. Через три точки, не лежащие на прямой, можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 1. Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Теорема 2. Через параллельные прямые можно провести единственную плоскость.

Теорема 3. Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

  1. Прямые в пространстве

Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общей точки или совпадают.

Теорема 2.1. Через точку вне данной прямой можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 2.2.если одна из двух параллельных прямых пересевает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема 2.3. (Транзитивность параллельности). Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Другими словами, если a || c и b || c, то a || b.

Две прямые, лежащие в одной плоскости и имеющие одну общую точку называются пересекающиеся прямые.

Теорема 2.1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей, то и другая прямая ей тоже перпендикулярна.

Теорема 2.2. Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую и только одну.

Прямые, которые не пересекаются и не лежат в одной плоскости, называются скрещивающимися.

Теорема 2.3. (Признак). Если одна прямая лежит в плоскости, а другая пересекает эту плоскость в точке, не принадлежащей первой прямой, то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема 2.4. (Признак).Если две прямые содержат четыре точки, не лежащие в одной плоскости, то эти прямые скрещиваются.

Теорема 2.5. (Признак).Если прямые AB и CD скрещиваются, то прямые AC и BD тоже скрещиваются.

Теорема 2.6. (Признак).Если две прямые a и b параллельны, а прямая c пересекает а, но не пересекает прямую b,то прямые b и с скрещиваются.

Теорема 2.7.Через каждую из двух скрещивающихся прямых можно провести плоскость, параллельную другой прямой, и притом только одну.

Теорема 2.8.Скрещивающиеся прямые лежат в единственной паре параллельных плоскостей.

Теорема 2.9. Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр и притом только один.

Теорема 2.10. Общий перпендикуляр двух скрещивающихся прямых является общим перпендикуляром параллельных плоскостей, проходящих через эти прямые.

Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых называется отрезок с концами на этих прямых, являющийся перпендикуляром к каждой их них.

  1. Прямая и плоскость в пространстве

Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если прямая перпендикулярна каждой прямой, лежащей в плоскости.

Теорема 3.1.если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Теорема 3.2. Если две прямые перпендикулярны одной плоскости, то они параллельны.

Теорема 3.3. (Признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым на плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема 3.4. Если две плоскости перпендикулярны одной прямой, то они параллельны.

Теорема 3.5. Если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и другая ей перпендикулярна.

Теорема 3.6. (Теорема существования и единственности). Через любую точку пространства проходит плоскость, перпендикулярная данной прямой, и притом только одна.

Теорема 3.7. (Теорема существования и единственности). Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная данной плоскости, и притом только одна.

Теорема 3.8. Все прямые, перпендикулярные данной прямой и проходящие через данную точку, лежат в одной плоскости, перпендикулярной этой прямой.

Перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости.

Конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра.

Наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости.

Конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной.

Отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.

Теорема 3.9. (Теорема о трех перпендикулярах) Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна к наклонной.

Теорема 3.10. (Обратная теореме о трех перпендикулярах) Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и её проекции.

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общей точки или прямая лежит в плоскости.

Теорема 3.11. (Признак параллельности прямой и плоскости). Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

Теорема 3.12. Если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема 3.13. Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая либо параллельна этой плоскости, либо принадлежит ей.

Углом между наклонной и плоскостью называется угол между этой наклонной и ее ортогональной проекцией на эту плоскость.

Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

  1. Плоскость в пространстве

Две плоскости называется взаимно перпендикулярными, если угол между ними равен .

Теорема 4.1. (Признак перпендикулярности плоскостей). Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Теорема 4.2. Если плоскость перпендикулярна линии пересечения двух плоскостей, то она перпендикулярна каждой из этих плоскостей.

Теорема 4.3. Если плоскости взаимно перпендикулярны, то любая прямая, лежащая в одной из них перпендикулярная к линии их пересечения, перпендикулярная другой плоскости.

Теорема 4.4. Если через точку одной из двух перпендикулярных плоскостей проходит прямая, перпендикулярная другой плоскости, то она лежит в первой плоскости.

Теорема 4.5. Если плоскость перпендикулярна каждой из двух пересекающихся плоскостей, то она перпендикулярна линии их пересечения.

Теорема 4.6. Если плоскость и не лежащая в ней прямая перпендикулярны другой плоскости, то они параллельны.

Теорема 4.7. Если плоскость параллельна прямой, перпендикулярной другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Теорема 4.8. Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема 4.9. Через прямую, не перпендикулярную данной плоскости, можно провести плоскость, перпендикулярную данной, и притом только одну.

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общей точки или совпадают.

Теорема 4.10. (Признак параллельности плоскостей). Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

Теорема 4.11. Если прямая пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую.

Теорема 4.12. Если плоскость пересекает одну из двух параллельных плоскостей, то она пересекает и другую, причем линии пересечения параллельны.

Теорема 4.13. (Теорема существования и единственности). Через точку, не принадлежащую данной плоскости, можно провести плоскость, параллельную данной, и притом только одну.

Теорема 4.14. Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Теорема 4.15. Две плоскости, параллельные третьей, параллельны.

Теорема 4.16. Все прямые, проходящие через данную точку и параллельные данной плоскости, лежат в одной плоскости, которая параллельна данной.

Углом между двумя пересекающимися прямыми плоскостями называется наименьший из двугранных углов, образованных соответствующими полуплоскостями.

3) Применение знаний при решении задач

В10.1)Объем правильно треугольной призмы равен 6. Каким будет объем призмы, если стороны его основания увеличить в 3 раза, а высоту уменьшить в 2 раза?

hello_html_4a8eda04.png

Решение:

Ответ: 27.

2) Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со

стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

hello_html_37039f2d.png

Решение:

Ответ: 7,5

3) Диагональ основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6. Высота пирамиды равна 4. Найдите длину бокового ребра .

hello_html_7fc79d50.png

Решение: Т. к. - квадрат, то . ∆ - прямоугольный. По Теореме Пифагора имеем:

Ответ: 5.

В13. 1) Площадь основания конуса равна 12, высота – 6. Найдите площадь сечения этого конуса плоскостью,параллельной плоскости основания и отстоящей от вершины конуса на расстояние 3.

hello_html_m751c92e7.png

Решение:

Ответ: 3.

2) Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы совпадает с центром основания конуса. Радиус сферы равен . Найдите образующую конуса.

hello_html_m3d7372c4.png

Решение: .

Ответ: 20.

3) В прямоугольном параллелепипеде известно, что найдите длину ребра .

hello_html_m45838ab5.png

Решение: По Теореме Пифагора


Тогда длина ребра равна


Ответ: 2.

С2. 1) В единичном кубе на диагоналях граней и взяты точки E и F так, что Найти длину отрезка EF.

hello_html_7b994be4.png

Решение: Длину отрезка EF найдем по теореме косинусов из , в котором  (). Имеем ,откуда .

Ответ:

2) В прямоугольном параллелепипеде известны ребра: Тогда О принадлежит ребру и делит его в отношении 2 : 3, считая от вершины B. Найдите площадь сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки

hello_html_411126d5.png

Решение: Сечение плоскостью пересекает ребро в точке . Отрезок .

Следовательно, искомое сечение  параллелограмм .


Значит,  ромб. hello_html_5a318673.png

Найдем диагонали этого ромба:



Тогда

Ответ:

3) Сторона основания правильной треугольной призмы равна 2, а диагональ боковой грани равна . Найдите угол между плоскостью и плоскостью основания призмы.

hello_html_m1d5fd784.png

Решение: Обозначим Н середину ребра ВС. Т. к. ∆ - равностор., а ∆ - равнобедр, . След-но, - линейный угол двугранного угла с гранями и .

Из ∆

Из ∆

Из ∆

Значит .

Ответ: .

4) Подведение итогов урока.

Сегодня мы с вами повторили материал, который нам понадобится при решении задач ЕГЭ части В – 10 и 13, части С – 2. А также применили его на практике.







Автор
Дата добавления 07.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров193
Номер материала ДБ-330200
Получить свидетельство о публикации

Идёт приём заявок на международный конкурс по математике "Весенний марафон" для учеников 1-11 классов и дошкольников

Уникальность конкурса в преимуществах для учителей и учеников:

1. Задания подходят для учеников с любым уровнем знаний;
2. Бесплатные наградные документы для учителей;
3. Невероятно низкий орг.взнос - всего 38 рублей;
4. Публикация рейтинга классов по итогам конкурса;
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://urokimatematiki.ru


Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ


"Инфоурок" приглашает всех педагогов и детей к участию в самой массовой интернет-олимпиаде «Весна 2017» с рекордно низкой оплатой за одного ученика - всего 45 рублей

В олимпиадах "Инфоурок" лучшие условия для учителей и учеников:

1. невероятно низкий размер орг.взноса — всего 58 рублей, из которых 13 рублей остаётся учителю на компенсацию расходов;
2. подходящие по сложности для большинства учеников задания;
3. призовой фонд 1.000.000 рублей для самых активных учителей;
4. официальные наградные документы для учителей бесплатно(от организатора - ООО "Инфоурок" - имеющего образовательную лицензию и свидетельство СМИ) - при участии от 10 учеников
5. бесплатный доступ ко всем видеоурокам проекта "Инфоурок";
6. легко подать заявку, не нужно отправлять ответы в бумажном виде;
7. родителям всех учеников - благодарственные письма от «Инфоурок».
и многое другое...

Подайте заявку сейчас - https://infourok.ru/konkurs

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх