Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему: "СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ" (11 класс)
Обращаем Ваше внимание: Министерство образования и науки рекомендует в 2017/2018 учебном году включать в программы воспитания и социализации образовательные события, приуроченные к году экологии (2017 год объявлен годом экологии и особо охраняемых природных территорий в Российской Федерации).

Учителям 1-11 классов и воспитателям дошкольных ОУ вместе с ребятами рекомендуем принять участие в международном конкурсе «Законы экологии», приуроченном к году экологии. Участники конкурса проверят свои знания правил поведения на природе, узнают интересные факты о животных и растениях, занесённых в Красную книгу России. Все ученики будут награждены красочными наградными материалами, а учителя получат бесплатные свидетельства о подготовке участников и призёров международного конкурса.

ПРИЁМ ЗАЯВОК ТОЛЬКО ДО 21 ОКТЯБРЯ!

Конкурс "Законы экологии"

Конспект урока на тему: "СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ" (11 класс)

библиотека
материалов

Урок на тему:
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Цель: сформировать навык вычисления углов между векторами, прямыми и плоскостями.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Диктант.

Запомните пропуски, чтобы получить верное высказывание.

1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы…

1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно…

2. Если A (5; 4; 0), B (3; –6; 2) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…

2. Если A (4; –4; –2), B (–8; 4; 0) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…

3. hello_html_m4074b00c.gif. Длина вектора равна…

3. hello_html_15eeb25d.gif. Длина вектора равна…

4. Вектор hello_html_30f207bd.gif имеет координаты hello_html_30f207bd.gif{–3; 3; 1}. Его разложение по координатным векторам hello_html_m2176b4e.gif, hello_html_m7b38d6ad.gif и hello_html_m5b624ef.gif равно…

4. Вектор hello_html_30f207bd.gif имеет координаты hello_html_30f207bd.gif{–2; –1; 3}. Его разложение по координатным векторам hello_html_m2176b4e.gif, hello_html_m7b38d6ad.gif и hello_html_m5b624ef.gif равно…

5. A (2; 7; 9), B (–2; 7; 1). Координаты вектора hello_html_494acf75.gif равны…

5. A (–3; 5; 5), B (3; –5; –2). Координаты вектора hello_html_494acf75.gif равны…

6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). A – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…

6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). В – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…

7. Скалярное произведение векторов hello_html_30f207bd.gif{–4; 3; 0} и hello_html_m264ed169.gif{5; 7; –1} равно …

7. Скалярное произведение векторов hello_html_30f207bd.gif{2; –8; 1} и hello_html_m264ed169.gif{–3; 0; 2} равно…

8. Если hello_html_aa9b387.gif= 5, то угол между векторами hello_html_30f207bd.gif и hello_html_m264ed169.gif

8. Если hello_html_aa9b387.gif= –2, то угол между векторами hello_html_30f207bd.gif и hello_html_m264ed169.gif

9. Угол между векторами hello_html_30f207bd.gif{2; –2; 0} и hello_html_m264ed169.gif{3; 0; –3} равен…

9. Угол между векторами hello_html_30f207bd.gif{hello_html_40017531.gif; hello_html_40017531.gif; 2} и hello_html_m264ed169.gif{–3; –3; 0} равен…

10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами hello_html_m65b2925a.gif и hello_html_m4cae7477.gif равен…

10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами hello_html_494acf75.gif и hello_html_26e6b369.gif равен…

III. Объяснение нового материала.

А. Алгоритм нахождения угла между векторами hello_html_30f207bd.gif{x1; y1; z1} и hello_html_m264ed169.gif{x2; y2; z2}, заданными своими координатами.

1. Вычислить длины векторов hello_html_30f207bd.gif и hello_html_m264ed169.gif:

hello_html_m6598a235.gif, hello_html_21f0547a.gif.

2. Найти скалярное произведение hello_html_aa9b387.gif:

hello_html_aa9b387.gif= x1x2 + y1y2 + z1z2.

3. Найти косинус угла α между векторами hello_html_30f207bd.gif и hello_html_m264ed169.gif по формуле:

cos α =hello_html_3a7f95a1.gif.

Примеры.

1. (№ 451 (д)). hello_html_30f207bd.gif{hello_html_40017531.gif; –hello_html_40017531.gif; 2}, hello_html_m264ed169.gifhello_html_6fc04dcf.gif.

Найдите угол между векторами hello_html_30f207bd.gif и hello_html_m264ed169.gif.

1) hello_html_29eeb8ba.gif. hello_html_m4cde33c4.gif.

2) hello_html_799aa03b.gif– 2 ∙ 1 = –1 – 1 – 2 = –4 .

3) cos α =hello_html_131ab9a5.gif= –1 hello_html_m226e8471.gif α = 180°.

2. (аналогичный № 453).

Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Найдите угол между hello_html_494acf75.gif и hello_html_26e6b369.gif.

1) A (1; 3; 0), B (2; 3; –1) hello_html_m226e8471.gifhello_html_494acf75.gif{2 – 1; 3 – 3; –1 – 0}.

hello_html_494acf75.gif{1; 0; –1} hello_html_m226e8471.gifhello_html_m1a2d7d.gif.

A (1; 3; 0), C (1; 2; –1) hello_html_m226e8471.gif hello_html_26e6b369.gif{1 – 1; 2 – 3; –1 – 0}.

hello_html_26e6b369.gif{0; –1; –1} hello_html_m226e8471.gifhello_html_26e6b369.gif=hello_html_40017531.gif.

2) hello_html_494acf75.gif{1; 0; –1}, hello_html_26e6b369.gif{0; –1; –1} hello_html_m226e8471.gifhello_html_m1132c830.gif= 1 ∙ 0 + 0 ∙ (–1) + 1 ∙ 1 = 1.

3) cos α =hello_html_46e3b7e3.gifhello_html_m226e8471.gif cos α = 60°.

Найдите угол между hello_html_494acf75.gif и hello_html_m65b2925a.gif.

α = 180° – 60° = 120°.

hello_html_m1dc04ef.gif

В. Нахождение угла между прямыми.

Ввести понятие направляющего вектора прямой.

Так как угол между прямыми принято считать острым, то
cos
α =hello_html_m432fb817.gif, где hello_html_30f207bd.gif и hello_html_m264ed169.gif – направляющие векторы прямых.

Пример (№ 464 (а)). Вычислите угол α между прямыми hello_html_494acf75.gif и hello_html_31ea6d4e.gif, если A (3; –2; 4), B (4; –1; 2), C (6; –3; 2), D (7; –3; 1).

1. hello_html_494acf75.gif{1; 1; –2}, hello_html_m7eb040d8.gif.

hello_html_31ea6d4e.gif{–1; 0; 1}, hello_html_2f225637.gif.

2. hello_html_4ae1d9bc.gif= 1 ∙ (–1) + 1 ∙ 0 – 2 ∙ 1 = –3.

3. cos α =hello_html_57284b87.gifα = 30°.

С. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Пусть hello_html_30f207bd.gif{x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a.

Вектор hello_html_5ba75bd3.gif{x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α.

sin α = cos β =hello_html_64eaf522.gif.

Пример (№ 469 (а)).

Дано: ABCDA1B1C1D1куб,
AC hello_html_m5ecafa.gifBD = N, M hello_html_e0f872e.gif A1D1, A1M : MD1 =
= 1 : 4.

Вычислить sinhello_html_2b92f9c2.gif(MN, (ABC)).

Решение

1. Введем систему координат.

2. Пусть AB = a. Тогда B (0; 0; 0), A (a; 0; 0), A1 (a; 0; a), C (0; a; 0),
N hello_html_61ef9e4e.gif, M hello_html_maa17eed.gif.

3. hello_html_3e302c19.gif.

hello_html_1453586d.gif

4. hello_html_40a62a19.gif{0; 0; a}.

5. hello_html_55a4cfe4.gif.

6. hello_html_m229e6bb0.gif.

Домашнее задание: теория (п. 51), №№ 451, 453, 464 (б, в, г), 469 (б, в).



Общая информация

Номер материала: ДБ-098476

Похожие материалы