Конспект урока на тему: "СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ" (11 класс)

Урок на тему:
СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ

Цель: сформировать навык вычисления углов между векторами, прямыми и плоскостями.

Ход урока

I. Проверка домашнего задания.

II. Диктант.

Запомните пропуски, чтобы получить верное высказывание.

Вариант I	Вариант II
1. Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы…	1. Если два вектора перпендикулярны, то их скалярное произведение равно…
2. Если A (5; 4; 0), B (3; –6; 2) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…	2. Если A (4; –4; –2), B (–8; 4; 0) – координаты концов отрезка AB, то его середина имеет координаты…
3. . Длина вектора равна…	3. . Длина вектора равна…
4. Вектор  имеет координаты {–3; 3; 1}. Его разложение по координатным векторам ,  и  равно…	4. Вектор  имеет координаты {–2; –1; 3}. Его разложение по координатным векторам ,  и  равно…
5. A (2; 7; 9), B (–2; 7; 1). Координаты вектора  равны…	5. A (–3; 5; 5), B (3; –5; –2). Координаты вектора  равны…
6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). A – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…	6. Даны точки A (0; 1; 3), B (5; –3; 3). В – середина отрезка CB. Координаты точки C равны…
7. Скалярное произведение векторов {–4; 3; 0} и {5; 7; –1} равно …	7. Скалярное  произведение векторов  {2; –8; 1}  и  {–3; 0; 2} равно…
8. Если = 5, то угол между векторами  и …	8. Если = –2, то угол между векторами  и …
9. Угол между векторами {2; –2; 0} и {3; 0; –3} равен…	9. Угол между векторами {;  ; 2} и {–3; –3; 0} равен…
10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами  и  равен…	10. Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Угол между векторами  и  равен…

III. Объяснение нового материала.

А. Алгоритм нахождения угла между векторами {x₁; y₁; z₁} и {x₂; y₂; z₂}, заданными своими координатами.

1. Вычислить длины векторов  и :

, .

2. Найти скалярное произведение :

 = x₁ ∙  x₂ + y₁ ∙  y₂ + z₁ ∙  z₂.

3. Найти косинус угла α между векторами  и  по формуле:

cos α =.

Примеры.

1. (№ 451 (д)). {; –; 2}, .

Найдите угол между векторами  и .

1) .   .

2) – 2 ∙  1 = –1 – 1 – 2 = –4 .

3) cos α == –1  α = 180°.

2. (аналогичный № 453).

Даны точки A (1; 3; 0), B (2; 3; –1), C (1; 2; –1). Найдите угол между  и .

1) A (1; 3; 0), B (2; 3; –1) {2 – 1; 3 – 3; –1 – 0}.

{1; 0; –1} .

A (1; 3; 0), C (1; 2; –1)  {1 – 1; 2 – 3; –1 – 0}.

{0; –1; –1} =.

2) {1; 0; –1}, {0; –1; –1} = 1 ∙  0 + 0 ∙  (–1) + 1 ∙  1 = 1.

3) cos α = cos α = 60°. Найдите угол между  и . α = 180° – 60° = 120°.

В. Нахождение угла между прямыми.

Ввести понятие направляющего вектора прямой.

Так  как  угол  между  прямыми  принято  считать  острым,  то
cos α =, где  и  – направляющие векторы прямых.

Пример (№ 464 (а)). Вычислите угол α между прямыми  и , если A (3; –2; 4), B (4; –1; 2), C (6; –3; 2), D (7; –3; 1).

1. {1; 1; –2}, .

{–1; 0; 1}, .

2. = 1 ∙  (–1) + 1 ∙  0 – 2 ∙  1 = –3.

3. cos α =α = 30°.

С. Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Пусть {x1; y1; z1} направляющий вектор прямой a. Вектор {x2; y2; z2} – ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости α. sin α = cos β =.

Пример (№ 469 (а)).

Дано: ABCDA1B1C1D1 – куб, AC BD = N, M  A1D1, A1M : MD1 = = 1 : 4. Вычислить sin(MN, (ABC)).

Решение

1. Введем систему координат.

2. Пусть AB = a.  Тогда  B (0; 0; 0),  A (a; 0; 0),  A₁ (a; 0; a),  C (0; a; 0),
N  , M .

3. .

4. {0; 0; a}.

5. .

6. .

Домашнее задание:  теория  (п. 51),  №№ 451,  453,  464  (б, в, г),  469 (б, в).