Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015
Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему "Способы решения задач на проценты"

Конспект урока на тему "Способы решения задач на проценты"

  • Математика

Поделитесь материалом с коллегами:

МБОУ « Башкирский лицей №2»

Ленинского района городского округа г. Уфа РБ


















Тема урока

«Способы решения задач на проценты»














Урок подготовила и провела:

учитель высшей категории

Газизова Г. С.








Тема урока: «Способы решения задач на проценты».

Опорные сведения: нахождение процента от величины;

нахождение величины по ее проценту; нахождение процента одной

величины от другой.

Цели: сообщить историю появления процентов, привести

примеры повседневного использования процентных вычислений в

настоящее время; устранить пробелы в знаниях по решению основных задач на проценты: нахождение процента от величины, нахождение величины по проценту, нахождение процента одной величины от другой.

Метод обучения: лекция, объяснение, устные упражнения, письменные упражнения.

Формы контроля: проверка самостоятельно решенных задач.

Ход урока: I История возникновения процентов

Проценты — одно из математических понятий, которые часто встречаются в повседневной жизни. Так, мы часто читаем или слышим, что, например, в выборах приняли участие 52,5 % избирателей, рейтинг победителя хит-парада равен 75 %, промышленное производство сократилось на 1.З %, уровень инфляции составляет 8 % в год, банк начисляет 12 %годовых, молоко содержит 3,2 % жира, материал содержит 60 % хлопка и 40 % полиэстера и т. д.

Слово «процент» происходит от латинского слова pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях, Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т. е. пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов.

Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т. е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы.

Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно сtо. Отсюда путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошел современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга - руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо сtо напечатал %.

Если речь идет о проценте от данного числа, то это число и принимается за 100 %. Например, 1 % от зарплаты — это сотая часть зарплаты; 100 % зарплаты — это сто сотых частей зарплаты. Т. е. вся зарплата. Подоходный налог с зарплаты берется в размере 13 %, т. е. 13 сотых от зарплаты. Надпись «60 %» хлопка на этикетке означает, что материал содержит 60 сотых хлопка, т. е. более чем на половину состоит из чистого хлопка. 3,2 % жира в молоке означает, что 3,2 сотых массы продукта составляет жир (или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,2 грамма жира).

II. Устная работа.

Упражнения на закрепление понятия «процент». Предлагаются упражнения по переводу дроби в проценты, а проценты — в десятичные дроби.

1. Представьте данные десятичные дроби в процентах:

0,5 0,24 0,867 0,032 1,3

0,01 154 3,2 2 0,5 0,7

2. Представьте проценты десятичными дробями:

2% 12,5% 2,67% 0,06% 32,8%

1000% 510% 0,5% 213% 0,1%

III. Повторение и закрепление изученного ранее.

Целесообразно напомнить основные сокращенные процентные отношения и записать в тетрадь.

100 %=1; 50%=1/2; 25 % =1/4; 12, 5 % =1/8; 200 %= 2;

10 % =1/10; 5 %= 1/20; 1 % =1/100

Различные обозначения:

IV. Систематизация знаний.

Основные понятия, связанные с процентами, три основных действия:

1. Нахождение процентов данного числа.

Чтобы найти а % от b, надо b*0,01а, т. е. х=b*0.01a

Пример. 30 % от 60 составляет: 60*0,3 = 18.

2. Нахождение числа по его процентам.

Если известно, что, а % числа х равно b, то х = b: 0,01а

Пример. 3% числа х составляют 150.

x =150:0, 03; х =5000.

3. Нахождение процентного отношения чисел.

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100 %:

х= a/b*100%

Пример. Сколько процентов составляет 150 от 600?

150/600*100%

V. Решение основных задач на проценты.

1. Основные типы задач на проценты.

1) Одна величина больше (меньше) другой на р %.

а) Если а больше b на р %, то

а = b+ 0,01 рb = b(1 + 0.01р).

б) Если а меньше b на р %, то

а= b—0.01рb =b(1 —0.01р).

Пример

На сколько процентов надо увеличить число 90, чтобы получить 120?

Решение:

120=90+90*0,01р,

120=90(1+0,01р)

1 + 0,01 р=120/90=4/3

0.01p=1/3; p=100/3 или =33 1/3 Ответ: 33 1/3.

Аналогично, а) если а возросло на р %, то новое значение равно а(1 + 0,01р).

Пример. Увеличить число 60 на 20 %:

60 + 60*0,2 = 72 или 60*(1 + 0,2) = 72;

б) если а уменьшили на р %, то новое значение равно а(1 —0,01 р).

Пример. Число 72 уменьшили на 20 %:

72— 72*0,2 = 57,6 или 72(1 —0,2) = 57,6.

Объединив а) и б), запишем задачу в общем виде: увеличили число а на р %, а затем полученное уменьшили на р %:

х = а(1 + 0,01р)(1 – 0,01р) =a(1-(0.01p)2)

Замечание. Результат не изменится, если увеличение (уменьшение) следует за уменьшением (увеличением).

Задача. Цену товара снизили на 30 %, затем новую цену повысили на 30 %. Как изменилась цена товара?

Решение. Пусть первоначальная цена товара а, тогда:

a – 0,3а = 0,7а - цена товара после снижения,

0,7а+ 0,7а*0.3 = 0.91а-новая цена.

1,00 – 0,9 =0.09 или 9%.

Используя формулу: а(1 + 0,01р)(1 – 0,01р) =a(1-(0.01p)2), получим:

a(1– (p/100)2)=а(1– 0.32)=0,91а. Ответ: цена снизилась на 9 %.

Задача. Цену товара повысили на 20 %, затем новую цену снизили на 20 %.

Как изменится цена товара?

Решение. a (1-(20/100)2)=а(10000-400)/10000=0,96а

Ответ: цена снизилась на 4 %.

Решить задачу в общем виде.

Увеличили число а на р %. На сколько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить а?

Решение. a(1+p/100)- a(1+p/100)*x/100=a.

a(1+/100)* (1-x/100)=a.

1-x/100=100/100+p.

x/100=p/100+p.

x=100p/100+p Увеличили число а на р %. На столько процентов надо уменьшить полученное число, чтобы получить а

Задача. Цена товара была повышена на 12 %. На сколько процентов надо снизить новую цену, чтобы получить первоначальную?

Решение. а- первоначальная цена.

р- процентные снижения.

а + 0,12а = 1,12а-цена после повышения.

1,12а-1,12а*p/100-после снижения.

По условию 1,12а-1,12а*p/100=a. p=10 5/7. Ответ:10 5/7 %.

Используя формулу x=100p/100+p,

получим х=100*12/100+12=1200/112= =10 5/7%.

Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины, полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов:

b=a(1+0.01p)n, где

а-первоначальное значение величины;

b-новое значение величины;

р-количество процентов;

n-количество промежутков времени.

Если изменение происходит на разное число процентов, то формула выглядит так b=a*(1+0.01p1)*(1+0.01p2)…(1+0.01pn).

Задача 1.Зарплату рабочему повысили сначала на 10 %, а через год еще на 20%.На сколько процентов повысилась зарплата по сравнению

с первоначальной?

Решение. Так как проценты находятся от величины, полученной после начисления процентов, то можно применить формулу сложных процентов.

Пусть зарплата рабочего была х, тогда

b=x(1+0.1)*(1+0.2)=1.32x b= a(1+0.01p1)(1+0.01p2)

1.32x-x=0.32x Ответ: 32%

Задача. Выпуск продукции завода за 4 года увеличился в 16 раз. На сколько процентов в среднем увеличивался выпуск продукции за каждый год по сравнению с предыдущим годом?


Решение.

Пусть х— искомое число процентов, тогда (1+x/100)4=16.

Из уравнения х = 100 %. b=a(1+0.01p)n

Ответ: на 100%.

Домашнее задание: задачи ОГЭ,тест №25,тест№30

Итог урока.

Автор
Дата добавления 07.11.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров23
Номер материала ДБ-330189
Получить свидетельство о публикации
Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх