Конспект урока на тему "Теория пределов"

ОБОБЩАЮЩИЙ УРОК ПО ТЕМЕ «ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ»

Цели урока:

1. Обучающие:

• закрепить умения вычислять пределы функций;
• продолжить формирование умений применять теорию пределов в решении математических задач.

2. Развивающие:

• развитие памяти студентов; 
• развитие умственных операций (обобщение, сравнение, анализ, синтез);
• развитие познавательного интереса;
• развитие психических процессов мышления, смысловой памяти, аргументированной речи, доказательного воспроизведения в процессе деятельности;
• развитие творческих способностей студентов.

3. Воспитательные:

• воспитание доброжелательности, дисциплинированности, взаимоуважения, трудолюбия;
• воспитывать ответственность за свой учебный труд; воспитывать культуру ученического труда;
• развитие эстетических норм и качеств.

План урока:

1. Организационный момент (презентация 1).
2. Проверка домашнего задания (презентация 2).
3. Устная работа (презентация 3).
4. Конкурс капитанов (жеребьевка).
5. Повторение теоретического материала.
6. Решение задач матбоя.
7. Вызов команд.
8. Подготовка к докладам. Обсуждение заданий.
9. Итог урока, задание на дом.

Ход урока

1. Организационный момент.

     Сегодня мы проводим заключительное занятия по разделу «Теория пределов» в том объеме, т.е. мы проводим урок – обобщение, на котором будем вычислять пределы функций, исследовать функции на непрерывность, классифицировать точки разрыва,  находить асимптоты графика функции,  находить приближенные значения корней уравнений. Цель сегодняшнего  занятия: обобщить знания по данной теме.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ 1

     Значение теории пределов для математики трудно переоценить – это центральное понятие математического анализа, на основе которого формируются понятия производной, дифференциала и интеграла. Но предел нашел применение не только в математике. Предельный анализ в экономике исследует изменяющиеся величины затрат или результатов при изменении объемов производства или потребления на основе анализа их предельных значений. Задачи на темы: рост вклада, рост населения страны, распад радиоактивного вещества, размножение бактерий решаются с помощью второго замечательного предела.

     Но такое признание теория пределов имела не всегда. В 17 веке известный математик Мишель Ролль писал, что эта наука есть коллекция гениальных ошибок. А великий французский мыслитель - Вольтер заметил, что исчисление пределов представляет собой искусство вычислять и точно измерять вещи, существование которых не может быть доказано. Начальный период развития новых ветвей математики, связанных с понятиями функции, бесконечно малых величин, пределов и производных, был охарактеризован Марксом как «мистический».

    Многие десятилетия величайшие математики, в том числе Ньютон и Лейбниц, предпринимали попытки дать строгое определение предела. Но лишь в 19 веке великому французскому математику Огюстену Луи Коши удалась это сделать.

2. Итак, начнем с проверки домашнего задания (с актуализацией опорных знаний).

ПРЕЗЕНТАЦИЯ 2 (С САМОПРОВЕРКОЙ)

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

1. Вычислить пределы

1. а)       б)            2. а)    б)

3. а)    б)        4. а)     б)

2. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва:  

3. Решить неравенство

4. Найти корни уравнения х³ + х² – 1= 0 на отрезке [0; 1] с точностью до 0,1.

РЕШЕНИЕ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ

1. Вычислить пределы:

1. а)       

    б)

2. а)

     б)

3. а)

     б)

4. а)

     б)

     2. Исследовать функцию на непрерывность, определить характер разрыва,

изобразить схематично график функции   

1) D(f) = R.

2) Разрывы могут быть лишь в точках x₀ = 0 или x₀ = 4.
3) Найдем односторонние пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

x₀ = 0:
   
Так как , то в точке x₀ = 0 функция имеет неустранимый разрыв 1 рода. Скачок равен 3.
x₀ = 4:

     Кроме того f(4) = 16, значит в точке

x₀ = 4 функция непрерывна.

     3. Решить неравенство

Рассмотрим функцию f(x) =  Эта функция представляет собой произведение и частное непрерывных функций на их области определения, а значит, также непрерывна при х ≠ 12.

2) D(f) = (8; 12); (12; ∞)

3) Нули функции:

х = 4 (не входит в область определения функции); х = 9.

Нули функции и точки разрыва функции разбивают область определения функции на промежутки, на каждом из которых функция непрерывна, не обращается в нуль, а значит знакопостоянна.

             (8; 9]; (12; ∞)

Ответ: (8; 9]; (12; ∞)

     4. Найти корни уравнения х³ + х² – 1= 0 на отрезке [0; 1] с точностью до 0,1.
1) Проверим принимает ли функция на этом отрезке разные по знаку значения:

 у(0) = – 1 < 0, у(1) = 1 > 0.

2) Разобьем отрезок [0; 1] на более мелкие отрезки и составим таблицу:

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
f (x)	–1	–0,952	–0,776	–0,424	0,152	1

Вывод: так как функция меняет знак на отрезке [0,6; 0,8], то корень уравнения с точностью до 0,1 будет равен x = 0,7.

Ответ: х = 0,7
5. Найти асимптоты графика функции .

1) D(f) = (– ∞; 6); (6; + ∞).

2) х = – 6 – вертикальная асимптота.

3) у = х + 9 – наклонная асимптота.

3. Устная работа. Установить по графику характер разрыва функции.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ 3.

Слайд 1

                          

Слайд 2

                                     

Слайд 3

                             

Слайд 4

                 

4. Конкурс капитанов (жеребьевка).

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КАПИТАНОВ

ПРЕЗЕНТАЦИЯ 4.

1. Какой математический закон описывает изображенную на рисунке ситуацию?

2.  Какие из данных функций являются бесконечно малыми при х → 0?

y = cos x, у = tg x, y = sin x + arcsin x, y = cos x – 1, y = ctg x, y = x².

3. В какой точке функция имеет разрыв 2 рода? 

4. Вычислить предел функции   .

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ КАПИТАНОВ

1. Какой математический закон описывает изображенную на рисунке ситуацию?

(Теорема о двух милиционерах).

2.  Какие из данных функций являются бесконечно малыми при х → 0?

y = cos x, у = tg x, y = sin x + arcsin x, y = cos x – 1, y = ctg x, y = x².

( у = tg x, y = sin x + arcsin x, y = cos x – 1, y = x²).

3. В какой точке функция имеет разрыв 2 рода?  (х = 0)

4. Вычислить предел функции     ().

5. Повторение теоретического материала.

ПРЕЗЕНТАЦИЯ 5.

1) Какая функция называется непрерывной в точке?

    Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и её окрестности и предел функции при х →х₀  равен значению функции в этой точке.

.

Другими словами, функция будет непрерывной в точке х₀, если она определена в этой точке и ее окрестности, ее односторонние пределы равны и совпадают со значением функции в этой точке, т. е.

2) Какая функция называется непрерывной в интервале?

    Функция у = f(x) называется непрерывной в интервале (а; b),если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

3) Какая функция называется непрерывной на отрезке [а;b]?

     Если функция непрерывна в интервале (а;b) и в точке х = а непрерывна справа, а в точке х = b непрерывна слева, то она непрерывна на всём отрезке.

4) Если функции f (x) и g (x) непрерывны в точке а, то что можно сказать о их сумме, произведении и о частном?

f (x) + g (x) – непрерывная функция; f (x) * g (x) – непрерывная функция; – непрерывная функция, если g (x) ≠ 0.

5) Что можно сказать о непрерывности элементарных функций?

     Элементарные функции непрерывны на своей области определения.

6) Какими свойствами обладают непрерывные функции?

     1) Если функция f(x) непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.

     2) Если f (x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на его концах значения разных знаков, то она обращается в нуль хотя бы в одной точке этого отрезка, причем для монотонной функции эта точка единственная.

     3) Если функция f (x) непрерывна на интервале (a;b) и не обращается в нуль ни в одной точке этого интервала, то она имеет один и тот же знак во всех точках данного интервала.

ТОЧКИ РАЗРЫВА И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

1) Какие точки называются точками разрыва функции?

     Точки, в которых нарушается непрерывность функции называются точками разрыва.

Если х = х₀ – точка разрыва функции, то в этой точке не выполняется хотя бы одно условие непрерывности:

     1) Функция определена в окрестности х₀,  но определена в самой точке х₀..

     2) Функция определена в точке х₀  и в ее окрестности, но не существует предела функции в этой точке.

     3) Функция определена в точке х₀  и в ее окрестности, существует предел функции в точке х₀, но этот предел не равен значению функции в этой точке.

2) В каком случае мы говорим о точке разрыва первого рода?

     В точке х₀ функция имеет устранимый разрыв первого рода, если односторонние пределы равны, но они не равны значению функции в точке, то есть

     В точке х₀ функция имеет неустранимый разрыв первого рода, если односторонние пределы НЕ равны, то есть  . Точку х₀ в этом случае называют точкой скачка функции. Скачок равен модулю разности значений односторонних пределов.

3) Какая точка называется точкой разрыва второго рода или точкой бесконечного разрыва?

     В точке х₀ функция имеет разрыв второго рода, если по крайне мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.

     Таким образом, при исследовании функции на непрерывность следует:

1) найти область определения функции;

2) установить точки, в которых функция терпит разрыв;

3) вычислить односторонние пределы в точках разрыва;

4) указать характер разрыва функции в точке

6. Решение задач математического боя.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БОЯ

1. Вычислить пределы:    а) ;   б)

2. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер разрыва, изобразить схематично график функции

3. Решить неравенство 

4.  Доказать, что уравнение x³ – 3x + 1 = 0 имеет корень на отрезке [0; 1] и найти его с точностью до 0,1.

5. Найти асимптоты графика функции  f(x) =.

РЕШЕНИЕ ЗАДАНИЙ ДЛЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО БОЯ

1. Исследовать функцию на непрерывность, установить характер разрыва, изобразить схематично график функции

1) D(f) = R.

2) Разрывы могут быть лишь в точках x₀ = – 1 или x₀ = 1.
3) Найдем односторонние пределы слева и справа от этих точек, а также значения исходной функции в этих точках.

x₀ = – 1:
   
Так как , то в точке x₀ = – 1 функция имеет неустранимый разрыв 1 рода. Скачок равен 2.
x₀ = 1:

     Кроме того f(1) = 1, значит в точке x₀ = 1 функция непрерывна.

2. Вычислить пределы

а) ;   б)

3. Решить неравенство

а) (х² – 4х)(log_1/2 (3 – х) + 1) ≤ 0.

Рассмотрим функцию f(x) = (х² – 4х)(log_1/2 (3 – х) + 1). Эта функция представляет собой произведение двух непрерывных функций, а значит непрерывна на области определения.

2) D(f) = (– ∞; 3)

3) Нули множителей:

х = 4 не входит в область определения функции.

Нули функции разбивают область определения функции на промежутки, на каждом из которых функция непрерывна, не обращается в нуль, а значит знакопостоянна.

          

Ответ: (– ∞; 0] ; [1; 3).

б)

1) Рассмотрим функцию f(x) =  которая представляет собой частное функций, непрерывных на их области определения, а значит функция f(x) также непрерывна, если

функция, стоящая в знаменателе, отлична от нуля.

2) D(f) = х ≥ – 5; х ≠ – 3; х ≠ 1.

3) Нули функции: ; х = – 4.

4) Точки разрыва: x² + 2 x – 3 = 0;  x₁ = – 3, x₂ = 1.

     [- 4; - 3); (1; + ∞)

Ответ:     [- 4; - 3); (1; + ∞).

4.  Докажите, что уравнение x³ – 3x + 1 = 0 имеет корень на отрезке [0; 1]

и найдите его с точностью до 0,1.

Рассмотрим функцию f (x) = x³– 3x + 1, она непрерывна на всей числовой прямой, а её значения f (0) = 1; f (1) = –1.Так как функция принимает значения разных знаков на концах отрезка, то на этом отрезке она может обратиться в нуль хотя бы в одной точке.

 Разобьем отрезок [0; 1] на более мелкие отрезки и составим таблицу:

x	0	0,2	0,4	0,6	0,8	1
f (x)	1	0,408	–0,135	–0,584	–0,888	–1

Вывод: так как функция меняет знак на отрезке [0,2; 0,4], то корень уравнения с точностью до 0,1 будет равен x = 0,3.

Ответ: x = 0,3.

7. Подготовка к докладам. 

8. Обсуждение заданий.

8. Подведение итогов, домашнее задание.

Домашнее задание.