Добавить материал и получить бесплатное свидетельство о публикации в СМИ
Эл. №ФС77-60625 от 20.01.2015

Опубликуйте свой материал в официальном Печатном сборнике методических разработок проекта «Инфоурок»

(с присвоением ISBN)

Выберите любой материал на Вашем учительском сайте или загрузите новый

Оформите заявку на публикацию в сборник(займет не более 3 минут)

+

Получите свой экземпляр сборника и свидетельство о публикации в нем

Инфоурок / Математика / Конспекты / Конспект урока на тему: Тригонометрические неравенства и их графики.
ВНИМАНИЮ ВСЕХ УЧИТЕЛЕЙ: согласно Федеральному закону № 313-ФЗ все педагоги должны пройти обучение навыкам оказания первой помощи.

Дистанционный курс "Оказание первой помощи детям и взрослым" от проекта "Инфоурок" даёт Вам возможность привести свои знания в соответствие с требованиями закона и получить удостоверение о повышении квалификации установленного образца (180 часов). Начало обучения новой группы: 24 мая.

Подать заявку на курс
  • Математика

Конспект урока на тему: Тригонометрические неравенства и их графики.

библиотека
материалов

11 класс. (алгебра).

Урок №3.

Дата: 7.09

Тема урока: Тригонометрические неравенства и их графики. 

Цель: повторить способы решения тригонометрических неравенств и построение их графиков.

Развивать знания, умения , навыки по предмету.

Воспитывать аккуратность, трудолюбие.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

Вариант 1

Решите уравнение:

image585

Вариант 2

Решите уравнение:

image583

III. Повторение материала за курс 10 класса по данной теме.

Решение тригонометрических неравенств (как и уравнений), как правило, сводится к решению простейших тригонометрических неравенств. Поэтому прежде всего остановимся на решении таких неравенств. Их удобно решать, используя единичную окружность.

Пример 1Решим неравенство sin x > 1/2.

 

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1643.jpg

 

На единичной окружности по оси ординат отложим значение sin х = 1/2 и построим соответствующие углы http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1644.jpg  (углы откладываются против часовой стрелки и являются положительными). На рисунке видно, что неравенству sin х > 1/2 удовлетворяют значения http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1645.jpg Учтем, что период функции синуса составляет 2π, и получим решение данного неравенства http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1646.jpg или http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1647.jpg

 

 

Пример 2

Решим неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1648.jpg

 

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1649.jpg

 

На оси котангенсов для единичной окружности отложим значение http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1650.jpg и построим соответствующий угол http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1651.jpg Видно, что неравенству http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1652.jpg удовлетворяют значения http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1653.jpgУчитывая период функции котангенса (равный π), получим решение данного неравенства: http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1654.jpg или http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1655.jpg где n Z.

В случае сложного аргумента тригонометрической функции рекомендуется обозначить его новой переменной, решить для него неравенство, а затем вернуться к старой неизвестной.

 

Пример 3

Решим неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1656.jpg

 

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1657.jpg

 

Обозначим аргумент косинуса http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1658.jpg и получим простейшее тригонометрическое неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1659.jpg Решим это неравенство. На единичной окружности по оси абсцисс отложим значение http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1660.jpgи построим соответствующие углы http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1661.jpg Тогда неравенству http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1662.jpg удовлетворяют значения http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1663.jpg Учтем периодичность функции cos y и получим решения http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1664.jpg

Теперь вернемся к старой неизвестной х и получим двойное линейное неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1665.jpg Ко всем частям неравенства прибавим число π/6. Отсюда http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1666.jpg Все части неравенства разделим на положительное число 3. При этом знак неравенства сохраняется. Получим: http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1667.jpg или http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1668.jpg где n Z.

Если неравенство не является простейшим, то используя преобразования, аналогичные тем, которые применялись для уравнений, сводим неравенство к простейшему.

 

Пример 4

Решим неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1669.jpg

 

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1670.jpg

 

Введем новую переменную у = tg x и получим квадратное неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1671.jpg Это неравенство имеет решение http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1672.jpg Вернемся к старой неизвестной x и получим двойное неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1673.jpg На единичной окружности по оси тангенсов отложим значения 1 и http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1674.jpg и построим соответствующие углы http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1675.jpg Тригонометрическому неравенству удовлетворяют значения http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1676.jpg Учтем периодичность функции тангенса и получим решение данного неравенства: http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1677.jpg или http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1678.jpg

Также при решении тригонометрических неравенств можно использовать метод интервалов (который является универсальным для всех неравенств).

 

Пример 5

Решим неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1679.jpg

 

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1680.jpg

 

На единичной окружности отметим значения х, при которых обращается в нуль числитель http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1681.jpg  (откуда http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1682.jpg) и знаменатель sin 2х = 0 (тогда http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1683.jpg) http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1684.jpg  (откуда http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1685.jpg) дроби. Определим знак этой дроби, например, при х = π/6 и получим:

 

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1686.jpg

Учтем, что при переходе через отмеченные значения х знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Также учтем значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). Теперь легко выписать решения неравенства: http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1687.jpg Учитывая, что через 2пn (где n Z) ситуация повторяется, выпишем решения данного неравенства: http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1688.jpghttp://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1689.jpg

При наличии в неравенстве функций тангенса и котангенса удобно перейти к функциям синуса и косинуса и использовать рассмотренный метод интервалов.

 

Пример 6

Решим неравенство http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1690.jpg

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1691.jpg 

Учтем, что http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1692.jpg и запишем неравенство в виде http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1693.jpg Отметим на единичной окружности значения х, при которых обращается в нуль числитель sin xcos x = 0 (откуда http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1694.jpg и http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1695.jpg) и знаменатель sin x cos x = 0 (тогда http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1696.jpg и x = 2π) дроби. Определим знак данной дроби, например, при х = π/3 и получим:

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1697.jpg

Учтем, что при переходе через отмеченные значения x знак неравенства меняется на противоположный. Построим диаграмму знаков данной дроби. Учтем также значения х, при которых знаменатель дроби обращается в нуль (они отмечены кружками). С учетом периодичности функций синуса и косинуса, входящих в неравенство, запишем окончательное решение данного неравенства http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1698.jpg где n Z.

При использовании метода интервалов необходимо помнить, что тригонометрическое выражение может иметь кратные корни. При переходе через корень нечетной кратности знак выражения меняется на противоположный, при проходе через корень четной кратности знак сохраняется.

IV. Задание на уроке и на дом

Решите неравенство:

http://compendium.su/mathematics/algebra10/algebra10.files/image1706.jpg

Ответы: image602

image603

image604

 V. Подведение итогов урока



Автор
Дата добавления 01.02.2016
Раздел Математика
Подраздел Конспекты
Просмотров170
Номер материала ДВ-400860
Получить свидетельство о публикации

Выберите специальность, которую Вы хотите получить:

Обучение проходит дистанционно на сайте проекта "Инфоурок".
По итогам обучения слушателям выдаются печатные дипломы установленного образца.

ПЕРЕЙТИ В КАТАЛОГ КУРСОВ

Похожие материалы

Включите уведомления прямо сейчас и мы сразу сообщим Вам о важных новостях. Не волнуйтесь, мы будем отправлять только самое главное.
Специальное предложение
Вверх