Конспект урока обобщения и систематизации знаний по теме "Квадратные уравнения" (8 класс)

Тема: Квадратные уравнения.

Цель урока: обобщение и систематизация способов решения квадратных уравнений, формирование умения выбора рационального способа.

Задачи:

Образовательные: систематизировать знания, выработать умение выбирать рациональный способ решения квадратных уравнений и создать условия контроля (самоконтроля, взаимоконтроля) усвоения знаний и умений.

Развивающие: способствовать развитию внимания, развитию логического мышления, математической интуиции, умению анализировать, применять знания в нестандартных ситуациях.

Воспитательные: воспитывать информационную культуру, самостоятельность, умение слушать.

Оборудование: презентации по теме урока, тесты

Ход урока.

1. Организационное начало урока

Герберт Спенсер, английский философ, когда-то сказал: “Дороги не те знания, которые откладываются в мозгу, как жир, дороги те, которые превращаются в умственные мышцы”.

Проверим, кто из вас порадовал бы Герберта Спенсера.

2. Сообщение темы и цели урока.

А) постановка проблемы.

- Посмотрите на доску. Это лишь некоторые задания экзаменационной работы 9 класса. На сегодняшний день мы не знаем многих тем и алгоритмов решения некоторых заданий.

Но как вы думаете, что их объединяет?

Для их выполнения нужно уметь решать квадратные уравнения.

Применение тестовой системы приводит к необходимости в быстром решении уравнений. Поэтому мы должны научиться приемам, которые помогут экономить время и эффективно решать квадратные уравнения.

- А что для этого нужно знать? (способы решения квадратных уравнений)

Тема урока «Квадратные уравнения. Способы их решения»

- Как вы думаете, как можно сформулировать цель нашего урока исходя из его темы?

- Другими словами обобщить и систематизировать весь предшествующий опыт решения квадратных уравнений. А зачем нам это надо?

(Для возможности выбора рационального пути решения).

- Итак, наша цель: обобщить опыт решения квадратных уравнений, научиться выбирать рациональный путь решения.

- Откройте тетради. Запишите число. Классная работа.

3. Обобщение и систематизация знаний.

а) актуализация знаний учащихся.

- Вспомним, как традиционно решаются квадратные уравнения.

- Какое уравнение называется квадратным?

- От чего зависит количество корней квадратного уравнения?

- По какой формуле вычисляется дискриминант ?

Закончите таблицу (3 ученика к доске)

- Понятие Д придумал английский ученый Сильвестр, он называл себя даже “математическим Адамом” за множество придуманных терминов.

- Проверим составленную таблицу.

- Количество корней квадратного уравнения зависит от дискриминанта.

Проведем цифровой диктант.

- Вычислим дискриминант.

- Укажите количество корней уравнения 2, 1 или 0.

- Запишите полученное пятизначное число. Проверка 10220

- Можно ли, не решая уравнения, определить, имеет ли оно корни или нет?
(Да, можно. Уравнение всегда имеет  корни, если  первый коэффициент и свободный член имеют противоположные знаки.)
- А если они одного знака?
-(Тогда надо находить дискриминант)

Имеет ли корни квадратное уравнение 2x²​+5x−7=0?

1) применение формул корней квадратного уравнения.

Задание 1. Решите уравнение 2x²​+5x−7=0. (самостоятельно)

- К какому виду относится следующее квадратное уравнение x²​−7x=8.

(приведенное)

- Какую теорему используют для решении приведенных квадратных уравнений ?

(т. Виета)

- Напомним формулировку теоремы Виета и обратной ей.

- Знаменитый французский учёный Франсуа Виет(1540-1603) был по профессии адвокатом. Свободное время он посвящал астрономии. Занятия астрономией требовали знания тригонометрии и алгебры. Виет занялся этими науками и вскоре пришёл к выводу о необходимости их усовершенствования, над чем и проработал ряд лет.

Виет сделал много открытий, но сам он больше всего ценил зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, которая теперь называется «теоремой Виета».

«Если числа m и n  таковы, что их сумма равна – р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + p x + q = 0».

- Как будем рассуждать при подборе корней этого уравнения x²​−7x- 8=0.

2) подбор корней с применением теоремы Виета

Задание 2. Найдите корни квадратного уравнения x² ​−7x - 8=0. (

Задание 3. Пусть х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения х²+7х-11=0.

- Не решая уравнения, найдите значение выражения .

- Какую теорему применили?

Задание 4. Работа в группах.

Решить уравнения, составить таблицу.

Таблица 1. (Группа 1,3)

Вывод: Если в квадратном уравнении ах² + вх + с = 0 сумма коэффициентов равна нулю (а + в + с = 0), то один из корней равен 1, а другой .

Вывод: Пусть дано квадратное уравнение ах² + вх +с = 0. Если а – в + с = 0 или в = а + с, то х₁ = –1, х₂ = – .
Запись на доске и в тетрадях.

а + b+ с = 0

х₁ = 1,

а – b + с = 0

или

b = а + с

х₁ = - 1,

Это ещё один способ решения квадратных уравнений

3) применение свойств коэффициентов.

Задание 5. Выберите уравнения, которые можно решить, используя это свойство?

Запишите корни.

203х²+220х+17=0

5x²​−9x+4=0.

x²+6x−16=0 

25х² – 20х – 5 = 0

2х² – 11х + 15 = 0.

Проверка

- Чем удобен это способ?

( позволяет устно найти корни уравнения)

Помимо традиционных методов решения квадратных уравнений есть еще специальные и общие методы. Рассмотрим каждый из специальных методов в отдельности. И оценим его “перспективы”.

4) Метод “переброски” старшего коэффициента.

В некоторых случаях удобно решать сначала не данное уравнение ax² + bx + c = 0, а приведенное y²+by+ac=0, которое получается из данного “переброской” коэффициента а, а затем разделить найденные корни на а для нахождения корней исходного уравнения. и 

Пример: решите уравнение

2х² - 9х - 5=0

заменим приведенным квадратным уравнением с “переброской” коэффициента а

( D>0 ), по теореме, обратной теореме Виета, подбором найдем корни

вернемся к корням исходного уравнения

 

Ответ: 5; -0,5

Замечание: метод хорош для квадратных уравнений с “удобными” коэффициентами. В некоторых случаях позволяет решить квадратное уравнение устно.

«Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решить одну и ту же задачу различными способами, чем решать три-четыре различные задачи. Решая одну задачу различными способами, можно путем сравнения выяснить, какой из них короче и эффективнее. Так вырабатывается опыт». У. У. Сойер.

Задание 6. Решение одного уравнения разными способами.

Решите уравнение х² - 4х + 3 = 0 различными методами

- У доски 5 обучающихся. Метод, которым придется решать, написан в произвольно выбираемой карточке: 1) по общей формуле; 2) по формуле с четным вторым коэффициентом; 3) по теореме Виета; 4) по сумме коэффициентов; 5) графическим способом.

- Каким из способов проще и быстрее решить данное уравнение?

Задание 7. Тестирование с самопроверкой.

-Чтобы проверить, как вы умете применять полученные знания выполним тест. (Приложение 1.)

Время выполнения теста 5 - 7 минут. Выпишите буквенный код в тетрадь.

- Свои предварительные результаты вы можете узнать уже сейчас. Проверьте правильность выполнения заданий. Критерии выставлении оценки следующие :

Критерии оценки

«5» - 5 заданий

«4» - 4 задания

«3» - 3 задания

«2» - 1 – 2 задания

4. Подведение итогов.

– Какие способы решения квадратных уравнений существуют.

- Это, конечно, далеко не все способы решения квадратных уравнений.

Методы решения квадратных уравнений

Помните, что при решении уравнений, нужно выбирать наиболее рациональный способ решения.

Ф.И. __________________________________________________

Вариант 1.

1. Какое из чисел -2, -1, 3, 5 является корнем уравнения

4х² – 11х – 3 = 0 ?

А. -1 Б. -2 В. 3 Г. 5

2. Чему равна сумма корней уравнения 7х² - 19х + 4 = 0

А. Б. В. Г.

3. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

А. 4х² – 3х – 4 = 0 В. 9х² + 6х + 1 = 0

Б. х² + 4х + 3 = 0 Г. 5х² – х + 1 = 0

4. Найдите корни квадратного уравнения 2x²​−3x+1=0.

А. – 0,5; -1 В. 0,5; 1

Б. 0,5; -1 Г. - 0,5; 1

5.Укажите наибольший корень квадратного уравнения

313х² – 326х + 13 = 0

А. 1 В. 326

Б. 13 Г. 313

Приложение

Ф.И. __________________________________________________

Вариант 2.

1. Какое из чисел 2, 1, 3, является корнем уравнения

3х² +2х – 1 = 0 ?

А. 1 Б. 2 В. 3 Г.

2. Чему равна сумма корней уравнения 12х² +7х + 1 = 0 ?

А. Б. В. 7 Г. -7

3. Какое из предложенных квадратных уравнений не имеет корней?

А. х² – х + 5 = 0 В. 2 х² + 6х + 4,5 = 0

Б. х² + 4х + 3 = 0 Г. 2х² – 3х – 8 = 0

4. Найдите корни квадратного уравнения 5x²​−12x+7=0.

А. – 1, 4; -1 В. 1; 1,4

Б. ; 1 Г. 0,5; 1

5.Укажите наибольший корень квадратного уравнения

4271x² – 4272x + 1 = 0.

А. 1 В. 4271

Б. – 4272 Г.  4272