Логотип Инфоурока

Получите 30₽ за публикацию своей разработки в библиотеке «Инфоурок»

Добавить материал

и получить бесплатное свидетельство о размещении материала на сайте infourok.ru

Инфоурок Информатика КонспектыКонспект урока "Общие сведения о системах счисления. Двоичная система счисления

Конспект урока "Общие сведения о системах счисления. Двоичная система счисления

Конспект урока "Общие сведения о системах счисления. Двоичная система счисления

8 класс



В современной жизни человек постоянно сталкивается с числами. К примерам можно отнести номера телефонов, цены в магазинах, адреса проживания и много другое.

hello_html_7161ea33.pnghello_html_m543cbc69.pnghello_html_34835ba7.png

На протяжение долгого времени у каждого народа формировалось своё написание чисел, с помощью которых они писали и считали. Но принципы записи чисел были совершенно другими, не такими, как сейчас.

hello_html_11d554d2.png

hello_html_m1c7394da.pnghello_html_m3eaef921.png

hello_html_m1386605a.pnghello_html_m3d9b81c.png

В наше время для записи числа человек использует десятичную систему счисления.

hello_html_m594abed3.png

На этом уроке мы с вами узнаем, что такое система счисления, какие существуют разновидности систем счисления, а также подробно остановимся на двоичной системе счисления.

Итак, система счисления – это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Цифры – это знаки, с помощью которых записываются числа.

Алфавит системы счисления – это совокупность цифр.

В любой системе счисления цифры служат для обозначения чисел, которые называются узловыми.

hello_html_6ca7b7f8.png

Остальные числа, которые называются алгоритмическими, получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

hello_html_56e594d1.png

Давайте разберёмся на примере.

Рассмотрим вавилонскую систему счисления. В ней узловыми являлись числа один, десять и шестьдесят.

hello_html_m6ffa9a0.pnghello_html_24fe8180.pnghello_html_6547137b.png

Чтобы досчитать до девяти нужно было поставить девять единичек.

hello_html_m79b1cb87.png

Например, число пятнадцать будет состоять из десяти и пяти единичек.

hello_html_m1c7d6695.png

Число двадцать будет состоять из двух десяток и так далее.

hello_html_m4afc3562.png

А теперь перейдём к видам систем счисления. Системы счисления различаются выбором узловых чисел и способами образования алгоритмических чисел. Можно выделить унарнуюнепозиционные и позиционные системы счисления.

Унарная система счисления – это самая древняя и простейшая система счисления. В качестве единственной цифры в ней используется единица. Она может быть изображена в виде чёрточки, камушка, палочки и так далее.

hello_html_1ead67ce.png

Длина записи числа при таком кодировании прямо связана с его величиной. Эта система счисления используется для обучения детей счёту, при подсчёте голосов на выборах в маленьких группах, в домино при подсчёте очков.

hello_html_544a0512.pnghello_html_3b91bb8.pnghello_html_m23ee19f2.png

Такую систему счисления использовал Робинзон Крузо в виде зарубок на дереве для ведения календаря на необитаемом острове.

hello_html_m3bb96158.png

Переходим к непозиционным системам счисления.

Непозиционная система счисления – это система счисления, в которой количественный эквивалент (количество значений) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

hello_html_m74a39774.png

То есть можно сказать, что каждая цифра имеет своё значение, и от перестановки местами таких цифр значение числа не меняется.

hello_html_346f3cb.pnghello_html_204db4a0.pnghello_html_m75bb7052.png

В большинстве таких систем числа образуются путём сложения узловых чисел.

К примерам таких систем относится египетская система. Рассмотрим её.

hello_html_7fae6d71.png

Вам предоставлена таблица с символами и с их значениями. В этой системе счисления числа, которые не являлись степенью десяти, записывались путём повторения этих цифр. Каждая цифра могла повторяться от одного до девяти раз. Например, число две тысячи триста пятьдесят шесть будет выглядеть следующим образом.

hello_html_1c0c3126.png

Определённого порядка в записи числа нет. Числа могли записываться слева направо или справа налево и даже вертикально.

hello_html_m50cb3532.pnghello_html_5691c642.png

Например, две следующие иероглифические записи обозначают одно и то же число – двенадцать.

hello_html_642a6f95.png

Римская система счисления также относится к непозиционным. Рассмотрим таблицу с обозначениями чисел.

hello_html_m7ee622a9.png

В этой системе числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел.

Для подсчёта следует придерживаться определённого правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитает его.

hello_html_6c7b787f.png

Позиционная система счисления – это система счисления, в которой количественный эквивалент цифры зависит от её положения (позиции) в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

hello_html_4f64199e.png

hello_html_36746751.png

То есть, можно сказать, что один и тот же числовой знак (цифра) в записи числа имеет различные значения в зависимости от того места, где он расположен.

К примеру позиционной системы счисления относится десятичная, которой мы привыкли пользоваться в повседневной жизни.

Десятичная система счисления – это позиционная система по целочисленному основанию десять. Она является одной из наиболее распространённых систем. В ней используются цифры от 0 до 9. Эти цифры называются арабскими.

hello_html_m39dbc877.png

Есть предположение, что основание системы, число 10 связано с количеством пальцев на руках у человека.

hello_html_m78693df5.png

Алгоритмические числа образуются в ней следующим образом: значения цифр умножаются на «веса» соответствующих разрядов, и все полученные значения складываются. Мы с вами знаем следующие виды разрядов: единицы, десятки, сотни и так далее. Число сто двадцать три получается следующим образом:

hello_html_146d81.png

Основанием позиционной системы счисления может служить любое натуральное число q > 1. Алфавитом позиционной системы счисления с основанием q служат числа 0, 1 … q – 1, каждое из которых может быть записано с помощью одного уникального символа. Младшей цифрой всегда будет являться 0.

Разберёмся на примере. Нам дана знакомая всем десятичная система счисления. То есть q=10. Алфавитом этой системы будут цифры от 0 до q – 1. То есть q – 1 = 9. Получим следующие цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Если сосчитать их, то получится 10.

При кодировании информации в компьютере используется двоичная система. То есть q=2. Цифры, которые входят в эту систему будут начинаться с 0 и до q – 1.

2 – 1 = 1. Соответственно в двоичной системе счисления будет использоваться алфавит из двух цифр 0 и 1.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число можно представить в виде:

hello_html_m59ff05a5.png

А – это само число.

q – основание системы счисления.

ai – цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления.

n – количество целых разрядов числа.

m – количество дробных разрядов числа.

qi – «вес» итого разряда.

Наша формула записана в развёрнутом видеСвёрнутая форма записи числа – это представление числа в следующем виде:

hello_html_75177d5.png

Разберёмся на примере. Итак, перед нами представлено число 1 675,21 в свёрнутой форме.

Записано это число в десятичной системе счисления. Давайте распишем это число и посмотрим, как оно выглядит в развёрнутой форме.

Поставим знак равно. Из условия понятно, что q=10. Остаётся определиться с n. Для этого расставим над цифрами числа, которые будут обозначать степень числа q в развёрнутой записи числа. Обратимся к математике. Запишем степени числа десять.

hello_html_3786ec18.png

Из этой записи видно, что разряд единиц соответствует нулевой степени числа десять, разряд десятков соответствует первой степени числа десять и так далее. Запишем эти степени над цифрами нашего числа.

hello_html_d6b5a2d.png

Над цифрами, которые располагаются после запятой, поставим числа минус один и минус два.

hello_html_7f76b1e8.png

Теперь мы можем записать развёрнутую форму нашего числа.

an – 1 – это первая цифра нашего числа, то есть 1. Она умножается на qn – 1, то есть на 103. Ставим плюс. an – 2 – это вторая цифра нашего числа, то есть 6. Умножаем её на 102. Аналогичным образом распишем всё число.

hello_html_m6678f6bf.png

Нам не привычно видеть его таким, но это – развёрнутая форма записи числа 1 675,21.

А сейчас давайте перейдём к двоичной системе счисления. Двоичная система счисления – это позиционная система счисления с основанием два. Как мы уже знаем, для записи чисел в этой системе используются только две цифры: 0 и 1. Например, число 16 в двоичной системе счисления будет выглядеть следующим образом: hello_html_m2d4e9dcd.png.

Для обозначения системы счисления, в которой представляется число, используется нижний индекс, указывающий на основание системы.

hello_html_5c4aed0.png

Так мы можем сразу видеть, что число 16 записано в десятичной системе, а второе – в двоичной.

Формула развёрнутой формы записи числа для целых двоичных чисел будет выглядеть следующим образом:

hello_html_m4ff3946a.png

Из этой формулы можно вывести правило перевода натуральных двоичных чисел в десятичную систему счисления: необходимо вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа.

Давайте проверим и переведём следующее число hello_html_202fc100.png из двоичной системы счисления в десятичную. Для начала над всеми цифрами напишем степени для q начиная с 0 справа налево.

hello_html_m1bdbacfd.png

Ставим равно. Пишем первую 1 и умножаем её на 23, прибавляем 0, умноженный на 22, затем прибавим 1, умноженную на 21 и 1, умноженную на 20.

hello_html_m6a2b9fd4.png

Ставим равно и посчитаем всё это.

1 · 23 = 8.

Ставим плюс.

0 · 22 = 0.

1 · 21 = 2.

1 · 20 = 1.

hello_html_m2d582b01.png

Посчитав это всё получим число одиннадцать в десятичной системе счисления.

Для закрепления давайте переведём ещё одно число 100012 из двоичной в десятичную систему счисления. Но перед этим запишем чему равны степени числа два.

hello_html_12e533cb.png

Итак, снова проставляем степени начиная с нуля справа налево.

hello_html_m4b16b24e.png

Ставим равно. После равно слаживаем цифры, умноженные на два в соответствующей степени.

hello_html_m228343b5.png

После подсчёта получим число семнадцать.

Для перевода чисел из десятичной системы счисления в двоичную, нужно делить число на 2. Если полученное частное больше нуля, то его снова необходимо разделить на два и т. д., пока частное не станет равным 0. В результате нужно записать в одну строку, справа налево все остатки, начиная с последнего.

Давайте посмотрим на примерах, как это делается. Переведём число 25 из десятичной системы счисления в двоичную. Будем делить в столбик. Итак, делим 25 на 2. Получится 12, а в остатке 1.

hello_html_277d73de.png

Теперь число 12 делим на 2. Получается 6, а в остатке 0.

hello_html_m26465a55.png

Делим число 6 на 2, получаем 3, а в остатке 0.

hello_html_m4ebf85de.png

Далее разделим 3 на 2, получим 1 и 1 в остатке.

hello_html_7f8cb541.png

Делим 1 на 2, получим 0 и 1 в остатке.

hello_html_4c1aac1a.png

Больше число не будет делиться на цело. А теперь обведём все наши остатки.

hello_html_27f69118.png

Они нам понадобятся для записи числа в двоичной системе счисления. Записывать их будем справа налево.

hello_html_4b97cc39.png

Первая идёт 1. Запишем её.

2510 = 1

Затем идёт ещё одна 1 из остатка, также её запишем.

2510 = 11

Аналогично перепишем все наши остатки в одну строку.

2510 = 110012

Мы перевели с вами число двадцать пять из десятичной системы счисления в двоичную.

Если число большое, то будет более удобно представить его в виде таблицы.

hello_html_m2bcb39ec.png

Давайте посмотрим, как это можно сделать. Переведём число 142 в двоичную систему счисления. Наша таблица будет содержать две строки. В первой будем записывать число, которое получается при делении на 2, а во второй остаток. Итак, в первой строке первого столбца запишем число 142.

hello_html_m6c0a5f60.png

При делении этого числа на 2 получим 71 и 0 в остатке. Число 71 запишем во второй столбец первой строки, а остаток в первый столбец второй строки.

hello_html_4696c0fa.png

Делим 71 на 2. Получим 35 и 1 в остатке. 35 запишем в третью ячейку первой строки, а остаток 1 во вторую ячейку второй строки.

hello_html_m29903009.png

35 : 2 = 17 и 1 в остатке. 17 запишем в следующую ячейку после 35, а остаток – под число 35.

hello_html_m65a35d3a.png

Далее 17 делим на 2 получим 8 и 1 в остатке. Запишем наши числа в соответствующие ячейки.

hello_html_m36c79fd1.png

8 :2 = 4 и 0 остаток. Заполним таблицу.

hello_html_7c9344da.png

4 :2 = 2 и 0 в остатке. Также запишем их.

hello_html_mbf2d58b.png

2 :2 = 1 и 0 в остатке. Пишем 1 в следующую ячейку после 2, а под 2 запишем 0.

hello_html_1abb2d22.png

Делим 1 на 2 получим 0 и 1 в остатке. Не будем наш 0 записывать в таблицу. Внесём в неё только остаток от деления – 1 в соответствующую ячейку.

hello_html_m29d28cc1.png

Теперь нам осталось записать наше число в строку. Для этого перепишем все числа, которые находятся во второй строке, справа налево и получим следующее:

14110 = 100011102

Мы перевели число 142 из десятичной системы счисления в двоичную.

Пришла пора подвести итоги урока.

Сегодня мы узнали, что такое система счисления, познакомились с унарной, непозиционными и позиционными системами счисления. Также мы научились переводить из двоичной системы счисления в десятичную и наоборот.



Просмотрено: 0%
Просмотрено: 0%
Скачать материал
Скачать материал

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 488 103 материала в базе

Материал подходит для УМК

Скачать материал

Другие материалы

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

  • Скачать материал
    • 29.10.2019 672
    • DOCX 1.1 мбайт
    • Оцените материал:
  • Настоящий материал опубликован пользователем Елисеева Елена Геннадьевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

    Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

    Пожаловаться на материал
  • Автор материала

    Елисеева Елена Геннадьевна
    Елисеева Елена Геннадьевна
    • На сайте: 4 года и 7 месяцев
    • Подписчики: 1
    • Всего просмотров: 1602
    • Всего материалов: 4